2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十一講等式與不等式性質(zhì)

第二十一講：等式與不等式性質(zhì)【教學(xué)目標(biāo)】1.了解等式的性質(zhì).2.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題．【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：等式的基本性質(zhì)1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知識(shí)點(diǎn)二：不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正【題型目錄】考點(diǎn)一：等式的性質(zhì)考點(diǎn)二：不等式性質(zhì)考點(diǎn)三：利用不等式性質(zhì)證明考點(diǎn)四：不等式求解范圍（一）考點(diǎn)五：不等式求解范圍（二）【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：等式的性質(zhì)例1．下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【詳解】如果，當(dāng)時(shí)，那么不成立，故A錯(cuò)誤；如果，由等式的性質(zhì)知，故B正確；如果當(dāng)時(shí)，那么不成立，故C錯(cuò)誤；如果，那么或，故D錯(cuò)誤.故選：B.變式訓(xùn)練1．下列變形錯(cuò)誤的是（） A．如果，則 B．如果，則 C．如果，則 D．如果，則【答案】B【詳解】A、，兩邊都加，得，故A正確；B、時(shí)，兩邊都除以無意義，故B錯(cuò)誤；C、因?yàn)?，方程兩邊同除以，得，故C正確；D、兩邊都乘以，故D正確；故選：B．變式訓(xùn)練2．下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，顯然不成立；選項(xiàng)B，如果，那么或，顯然不成立；選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，無意義，不成立；選項(xiàng)D，如果，則，故，即，成立故選：D變式訓(xùn)練3．設(shè)，下列命題中為假命題的是（） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】解：對(duì)于A，若，兩邊平分可得，故A為真命題；對(duì)于B，，所以，故B為真命題；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，無意義，故C為假命題；對(duì)于D，若，由等式的性質(zhì)可得，故D為真命題.故選：C.考點(diǎn)二：不等式性質(zhì)例2．下列命題為真命題的是（） A．若，則 B．若，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】C【詳解】對(duì)于A，取特殊值，，，滿足條件，但不滿足結(jié)論，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由同向不等式的性質(zhì)知，，可推出，故C正確；對(duì)于D，取，滿足條件，但，故D錯(cuò)誤.故選：C.變式訓(xùn)練1．下列命題是真命題的為（） A．若，則 B．若，則或 C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】對(duì)于A，若，則，故A是假命題．對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿足，但或不成立，故B是假命題．對(duì)于C，因?yàn)椋鶕?jù)不等式的性質(zhì)得，故C是真命題．對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，與沒有意義，故D是假命題．故選：C變式訓(xùn)練2．已知，，，d均為實(shí)數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)成立的是（） A．若， B．若， C．若， D．若，【答案】D【詳解】由，，可得，則選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；由，，可得，則選項(xiàng)B判斷錯(cuò)誤；，又，則.則選項(xiàng)C判斷錯(cuò)誤；由，可得，又，則，則.則選項(xiàng)D判斷正確.故選：D變式訓(xùn)練3．若，，，，則下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，取，滿足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，滿足，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，又，所以，故C正確.故選：C.考點(diǎn)三：利用不等式性質(zhì)證明例3．證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解【詳解】（1）證明：，因?yàn)?，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）證明：因?yàn)閍＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，成立；因?yàn)?，，所以，，又，所以，成?所以，有.變式訓(xùn)練1．證明下列不等式：(1)已知，求證(2)已知，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【詳解】（1）證明：，，，，又因?yàn)?，即，所?（2）證明：，，；又，，；.變式訓(xùn)練2．證明不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【詳解】（1），兩邊同乘以，則又，兩邊同乘以，則即（2），兩邊同乘以，得；兩邊同乘以，得，所以又，則，又，則，即變式訓(xùn)練3．（1）若，，求證：；（2），，，求證：【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以?）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即考點(diǎn)四：不等式求解范圍（一）例4．已知,則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可求得答案【詳解】因?yàn)?所以,由,得,故選：A變式訓(xùn)練1．已知，，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】,，又，故選：C變式訓(xùn)練2．已知，，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋杂?，所以，所以的取值范圍是，故選：A.變式訓(xùn)練3．已知，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以所以．故選：B．考點(diǎn)五：不等式求解范圍（二）例5．已知，，則的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)，所以，則，又，所以，，由不等式的性質(zhì)得：，則的取值范圍為.故選：D.變式訓(xùn)練1．已知且，求4a2b的取值范圍（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，故選：B變式訓(xùn)練2．已知，則的取值范圍為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，則有，將不等式的兩邊同時(shí)乘以可得：，所以，故選：.變式訓(xùn)練3．已知，，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則解得，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，即．故選：D【課堂小結(jié)】1．知識(shí)清單：(1)等式的性質(zhì)．(2)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用．2．方法歸納：作商比較法、乘方比較法．3．常見誤區(qū)：注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性，即每條性質(zhì)是否具有可逆性．【課后作業(yè)】1、已知等式，則下列變形正確的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A，滿足，但無意義，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩邊同時(shí)加上2，該等式仍然成立，故正確；對(duì)于C，當(dāng)，，滿足，但得不到，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，無法得到，故錯(cuò)誤；故選：B2、已知，則下列比例式成立的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋瑒t，則，，故B選項(xiàng)正確，ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.3、曾侯乙編鐘現(xiàn)存于湖北省博物館，是世界上目前已知的最大、最重、音樂性能最完好的青銅禮樂器，全套編鐘可以演奏任何調(diào)性的音樂并做旋宮轉(zhuǎn)調(diào)．其初始四音為宮、徵、商、羽．我國古代定音采用律管進(jìn)行“三分損益法”．將一支律管所發(fā)的音定為一個(gè)基音，然后將律管長度減短三分之一（即“損一”）或增長三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宮音為基音，宮音“損一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“損一”得羽音，則羽音律管長度與宮音律管長度之比是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)以宮音為基音的律管長度為，則徵音的律管長度為，商音的律管長度為，羽音的律管長度為，所以，羽音律管長度與宮音律管長度之比是.故選：C.4、下列命題為真命題的是（） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】B【詳解】對(duì)于A，若，則，當(dāng)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，所以，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，取，計(jì)算知不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，取，計(jì)算知不成立，故D錯(cuò)誤.故選：B.5、若，則下列關(guān)系正確的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，∵，∴，∵，由不等式性質(zhì)可得，D正確，故選：D．6、已知，其中，則下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，取，滿足，而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由不等式的性質(zhì)知，若，則，故C正確；對(duì)于D，取，滿足，而，故D錯(cuò)誤.故選：C7、對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，命題： ①若，，則； ②若，則； ③若，則； ④若，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】時(shí)，若，則，①錯(cuò)誤；若，則，②錯(cuò)誤；若，則，∴，③正確；，若，仍然有，④錯(cuò)誤．正確的只有1個(gè)．故選：A8、下列說法正確的是（） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】B【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)滿足，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，則，．所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：B．9、下列命題為真命題的是（） A．若則 B．若則 C．若則 D．若，則【答案】A【詳解】A選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)，，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，，，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：A．10、若，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，即的取值范圍是．故選：C．11、角滿足，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，則，所以，即，又，所以.故選：A.12、設(shè)，滿足，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】∵，滿足，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：A13、已知，則的取值范圍是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，即；故選：A.14、已知實(shí)數(shù)滿足則（） A．的取值范圍為 B．的取值范圍為 C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】ABD【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，則，故A正確；因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，所以，故B正確；因?yàn)椋?，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則，故D正確.故選：ABD.15、已知，，則下列正確的是（） A． B． C． D．【答案】AB【詳解】因?yàn)?，，所以，，則，，，即，，，則；故AB正確，CD錯(cuò).故選：AB.16、已知實(shí)數(shù)滿足，則（） A． B． C． D．【答案】AC【詳解】因?yàn)?，所以，A正確；因?yàn)?，所以，解得，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，C正確；，，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC.17、已知，滿足.（1）求證：；（2）現(xiàn)推廣：把的分子改為另一個(gè)大于1的正整數(shù)，使對(duì)任意恒成立，試寫出一個(gè)，并證明之.【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析.【詳解】（1）由于，所以，，，要證，只需證明.左邊（2）要使，只需，左邊，所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面過程即可.18、若，,（1）求證：；（2）求證：；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足所求式？若能，請(qǐng)直接寫出該代數(shù)式；若不能，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）能，.【詳解】（1