留數(shù)教案講義

留數(shù)定理§5.1孤立奇點若在點的某一去心鄰域內解析，但在點不解析，則稱為的孤立奇點。若是的一個奇點，且在點的無論多么小的鄰域內總還有除點外的其它奇點，則稱點為的非孤立奇點。例如，為的孤立奇點，為的非孤立奇點。去心鄰域可看作內圓周縮為一點的環(huán)域。若為的一個孤立奇點，則總存在著正數(shù)，使得在點的去心鄰域內可展成洛朗級數(shù)。這里的正數(shù)，顯然最大可取為與的離最近的一個奇點間的距離。在孤立奇點去心鄰域內的洛朗展開，有時也稱為在孤立奇點的洛朗展開。1.孤立奇點的分類設為函數(shù)的有限孤立奇點，在去心鄰域內的洛朗展式為。前面已知，右邊第二個級數(shù)稱為在點的解析部分，其和函數(shù)在包括點的鄰域內是解析的，故在點的奇異性質完全體現(xiàn)在的洛朗展式的負冪項部分，所以從出現(xiàn)奇異性來說，我們稱為在點的主要部分。根據主要部分僅可能出現(xiàn)三種情況，將的有限孤立奇點作如下分類：定義5.1.1：設為的有限孤立奇點。（1）若在點的主要部分為零，則稱為的可去奇點。（2）若在點的主要部分為有限多項，設為，則稱為的階極點。一階極點也稱為簡單極點。（3）若在點的主要部分有無限多項，則稱為的本性奇點。【注】：定義中的第（1）種情形為什么叫可去奇點？其由來是：因主要部分為零，函數(shù)在可去奇點去心鄰域內的洛朗展式只有非負冪項的解析部分，前面已知，這解析部分的和函數(shù)在包括點的鄰域內解析，。于是在內，當我們適當補充或改變在點的定義，令之后，在鄰域內就沒有奇點了。這就是可去奇點名稱中“可去”的由來。下面幾個在洛朗展式基礎上證明的定理，分別描述了解析函數(shù)在三類有限孤立奇點附近的性態(tài)，也給出了各類奇點的判別法。定理5.1.1：若為的孤立奇點，則下列兩條中的每一條都是為階極點的充要條件：（1）在點的主要部分為；（2）在點的某去心鄰域內能表成，其中在點的鄰域內解析，且；2.解析函數(shù)在有限孤立奇點的性質定理5.1.2：若為的孤立奇點，則下列三條中的每一條都是為可去奇點的特征（即每一條都是為可去奇點的充要條件）：（1）在點的主要部分為零；（2）（有限復數(shù)）；（3）在點的某去心鄰域內有界。定理5.1.3：的孤立奇點為極點。定理5.1.4：的孤立奇點為本性奇點不存在有限或無限的極限。3.解析函數(shù)的零點與極點的關系定義5.1.2：設函數(shù)在點的某鄰域內解析。若，則稱為解析函數(shù)的零點。若，但，則稱為解析函數(shù)的階零點。特別，當時，也稱為的簡單零點。若在鄰域內解析，不恒為零，則為的階零點時，在內的泰勒展式形式為。右端提取公因式，并記，容易證明在鄰域內解析，且。于是在鄰域內有。反之，當在內解析，并能表成上述形式時，由泰勒定理中的關系式，立即可知為的階零點。這樣我們就證明了下述定理：定理5.1.5：不恒為零的解析函數(shù)以為階零點在點的鄰域內，其中在鄰域內解析，且。解析函數(shù)的零點與極點，有如下關系：定理5.1.6：若為的孤立奇點，則為階極點的充要條件是為的可去奇點，將作為的解析點看待，為的階零點。4.解析函數(shù)在無窮孤立奇點的性質定義5.1.3：若函數(shù)在無窮遠點去心鄰域內解析，則稱點為的一個孤立奇點。若點是的奇點的聚點，則點是的非孤立奇點。定義5.1.4：設為的孤立奇點，作倒數(shù)變換后有。若為的可去奇點（視為解析點），則稱為的可去奇點（解析點）；若為的階極點，則稱為的階極點；若為的本性極點，則稱為的本性極點。我們可按廣義連續(xù)性來定義函數(shù)在點處的值：定義。同樣雖在點處沒有定義差商，從而沒有定義函數(shù)在無窮遠點處的可微性，但現(xiàn)在有了定義5.1.4之后，今后我們稱在點解析，其意義是指：點為的可去奇點，且定義。設由上面式確定的在去心鄰域內的洛朗展式為，換回到變量，即令，就得到在無窮遠點去心鄰域內的洛朗展式,(5.1.1)其中，即在原點去心鄰域的展式中的負冪項系數(shù)，與在無窮遠點去心鄰域的展式中的相應正冪項系數(shù)相等,而前者展式中的正冪項系數(shù)與后者負冪項相應系數(shù)相等。根據這個關系，應用對有限孤立奇點的討論結果，我們得知，就洛朗展式看：可去奇點展式(5.1.1)中不含的正次冪，為的階極點展式(5.1.1)中只有有限個正次冪，且最高次冪為，本性奇點展式(5.1.1)中有無限多個正次冪。就函數(shù)的極限值看：可去奇點（有限復數(shù)），為的階極點，本性奇點不存在?！?.2留數(shù)5.1留數(shù)的定義我們知道，若于閉路（即圍線）上及其內部解析，則依柯西積分定理有；但若內含有的孤立奇點，則不一定等于。對于后者情況，現(xiàn)在我們先把進行羅朗展開，然后再來對它進行積分：事實上，設于去心鄰域內解析，則它有羅朗展式此級數(shù)在上述去心鄰域內的圍線上一致收斂，故沿該圍線可逐項積分，所以對上式兩邊積分，有但該式右端除了這一項外，全部等于（依據書中P73例2的積分得），于是有。由此可見，羅朗展式中系數(shù)是個特別的數(shù)，它是在上述逐項積分后唯一殘留下來的系數(shù)。若不計因子，它就代表了對圍線積分的值。鑒于此，我們作如下定義：定義5.2.1：若函數(shù)以有限點為孤立奇點，即在點的去心鄰域內解析，則在點的去心鄰域內可以展成羅朗級數(shù)，，我們稱此級數(shù)中這一項的系數(shù)或積分（它正好就能依羅朗系數(shù)公式(4.4.6)取時得出）為在孤立奇點的留數(shù)（也稱殘數(shù)），記為或（是residue的縮寫），即，或。定義5.2.2：設是函數(shù)的孤立奇點，即在點的去心鄰域內解析，則在點的去心鄰域內可以展成羅朗級數(shù)，，我們稱級數(shù)中這一項的系數(shù)的反號數(shù)或積分為在點的留數(shù)，記為或，即，或其中指取的順時針方向（之所以這樣取向，是因為這個方向正是繞無窮遠點的正向）。5.2留數(shù)的基本定理有界區(qū)域的留數(shù)定理：定理5.2.1（留數(shù)定理）：若在圍線或復圍線所圍區(qū)域內除有限個奇點外解析，在閉域上除外連續(xù)，則?！甲C〗：在內以每個為中心作半徑充分小的圓周（），使得這些小圓周及其內部均含于，并且彼此互相隔離。應用多連通區(qū)域上的柯西積分定理得又由留數(shù)定義有代入上式，即知定理中的結果式子成立?！鯏U充復平面上的留數(shù)定理：定理5.2.2：若在擴充復平面上除有限個點外解析，點也為的孤立奇點，則，即在所有孤立奇點的留數(shù)之和為零。〖證〗：以原點為中心作半徑充分大的圓周，使的內部包含。由定理5.2.1得,但所以即知定理中的結果式子成立?！?.3留數(shù)的計算：原則上，只要算得了函數(shù)在孤立奇點的羅朗展式，那么函數(shù)在此點的留數(shù)也就求出來了（求其負一次冪項的系數(shù)就是）。但總是用這樣的一般方法去做并不合算，因為求羅朗展式往往并不容易。下面介紹的方法，是將留數(shù)的計算歸結為求極限、求導這一類有時是很簡單的計算，免得去使用羅朗展式。但這種方法的得到其實卻要以羅朗展式為理論工具。此外要說明，這種方法對于高階極點，計算起來也未必簡單。因函數(shù)在其有限的可去奇點的羅朗展式中不含負冪項，故函數(shù)在其有限的可去奇點的留數(shù)總等于零。因此，對于函數(shù)在其有限的孤立奇點的留數(shù)就只要去考慮極點和本性奇點。以下我們主要討論在極點的留數(shù)的計算方法。5.3.1有限遠點留數(shù)的計算方法1）.若為的可去奇點，則在內的羅朗展開式中不含負冪項，從而，故當為的可去奇點時，。2）.若為的一階極點（1）第一種情形：若為的一階極點，則在內的羅朗展開式為顯然，故當為的一階極點時，。（2）第二種情形：若為的一階極點，且，則。3）.若為的階極點，則。證明：由于以乘以上式兩端，得兩邊求階導數(shù)，得{含有正冪的項}令，兩端求極限，有根據，并兩端除以，就得所證?！?）.當為的本性奇點時，幾乎沒有什么簡捷方法，因此對于本性奇點處的留數(shù)，就只能利用羅朗展開式的方法或計算積分的方法來求．有限遠點留數(shù)計算典型實例例：求。解：容易知道是函數(shù)的一階極點，所以5.3.2無限遠點的留數(shù)計算方法1.利用無窮遠點留數(shù)定義或留數(shù)定理例：求函數(shù)在點處的留數(shù)。解：函數(shù)以及為一階極點，而為本性奇點。又所以。2.利用下述定理求無窮遠點留數(shù)定理5.2.3：若，則?！甲C明〗：由條件，故可設在的去心鄰域的羅朗級數(shù)為因此?！?.利用下述定理求無窮遠點留數(shù)定理5.2.4：若，則§5.3留數(shù)在定積分計算中的應用5.3.1計算型積分定理5.3.1：設為、的有理函數(shù)，且在上連續(xù)，則，(5.2.1)其中，為在單位圓內的奇點。5.3.2計算積分路徑上沒有奇點的無窮限積分§5.4對數(shù)留數(shù)與幅