第12章 全等三角形備考提分專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

第十二章全等三角形備考提分專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）第一部分考前知識(shí)梳理一、全等三角形的概念與性質(zhì)

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等圖形，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.

幾何符號(hào)語言：

∵△ABC≌△DEF

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F二、三角形全等的判定方法1.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.(“邊邊邊”或“SSS”)幾何符號(hào)語言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)2.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”).幾何符號(hào)語言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)3.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角邊角”或“ASA”).幾何符號(hào)語言：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)4.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等(可以簡寫成“角角邊”或“AAS”).定理應(yīng)用格式：在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)5.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).注意：

(1)“HL”定理是僅適用于Rt△的特殊方法.因此，判定兩個(gè)直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外還可以使用“HL”.

(2)應(yīng)用HL定理時(shí)，雖只有兩個(gè)條件，但必須先有兩個(gè)Rt△.書寫格式為：

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)三、角平分線的性質(zhì)與判定幾何證明的一般步驟明確命題中的已知和求證根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證經(jīng)過分析找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。數(shù)學(xué)思想方法方法：轉(zhuǎn)化思想解讀：轉(zhuǎn)化思想就是把解決的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)比較簡單的問題來解決，即化難為易，化未知為已知，本章中在證明線段和角相等時(shí)，常轉(zhuǎn)化為全等三角形全等來解決。典例：（2022秋?建湖縣期中）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝36°，連接BD，CE交于點(diǎn)P，連接AP．（1）求證：BD＝CE；（2）求∠BPC的度數(shù)；（3）求證：PA平分∠BPE．【思路引領(lǐng)】（1）要證明BD＝CE，只要證明△BAD≌△CAE即可，根據(jù)題目中的條件，利用SAS可以證明△BAD≌△CAE；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，可以求得∠BPC的度數(shù)；（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，可以得到點(diǎn)A到BD邊距離等于點(diǎn)A到CE邊上的距離，再根據(jù)角平分線的判定，即可得到PA平分∠BPE．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵∠BAC＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，由（1）知：△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACE＝∠PBC+∠ACB+∠ABD＝∠ABC+∠ACB＝72°+72°＝144°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣144°＝36°，即∠BPC＝36°；（3）證明：∵△BAD≌△CAE，∴點(diǎn)A到BD邊距離等于點(diǎn)A到CE邊上的距離，∴點(diǎn)A在∠BPE的角平分線上，即PA平分∠BPE．【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．?？碱}型突破題型一全等三角形的判定例1-1（2023春?南崗區(qū)期末）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（）A．OD＝OE B．DE＝FE C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【答案】D【思路引領(lǐng)】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由公共邊OE＝OE，可知添加條件∠ODE＝∠OFE，即可根據(jù)AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若添加條件∠ODE＝∠OFE，則根據(jù)AAS可得△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)D符合題意，而添加條件OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)A不符合題意，添加條件DE＝FE不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)B不符合題意，添加條件∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)C不符合題意，故選：D．【總結(jié)提升】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．例1-2（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【答案】C【思路引領(lǐng)】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A．利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；B．利用三角形兩邊、且夾角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；C．AB，AC，∠B，無法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)∠A，∠B，BC，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【總結(jié)提升】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．例1-3（2022?益陽）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．【答案】證明過程見解答部分．【思路引領(lǐng)】由垂直的定義可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行線的性質(zhì)可得，∠A＝∠DCE，進(jìn)而由ASA可得結(jié)論．【解答】證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，∠DCE=∠ACE=AB∴△CED≌△ABC（ASA）．【總結(jié)提升】本題主要考查全等三角形的判定，垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題基礎(chǔ)．例1-4如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，且OA＝OC，OB＝OD，EF過點(diǎn)O，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，且∠AOE＝∠COF，求證：OE＝OF．思路引領(lǐng)：由SAS證明△AOB≌△COD，得出對(duì)應(yīng)角相等∠A＝∠C，再由ASA證明△AOE≌△COF，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可．證明：在△AOB和△COD中，OA=OC∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD（SAS），∴∠A＝∠C，在△AOE和△COF中，∠A=∠COA=OC∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF．解題秘籍：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．題型二角平分線的性質(zhì)例2-1（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，CD是它的角平分線，DE⊥AC于點(diǎn)E．若BC＝12cm，DE＝4cm，則△BCD的面積為24cm2．【答案】24．【思路引領(lǐng)】如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，利用角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝4cm，即可利用三角形面積公式求出答案．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DE⊥AC，DE＝4cm，∴DF＝DE＝4cm，又∵BC＝12cm，∴△BCD的面積=12BC?DF=12×12×4＝故答案為：24．【總結(jié)提升】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．例2-2（2022秋?肥東縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE．求證：BD＝2CE．思路引領(lǐng)：延長BA交CE的延長線于F，先證明△BCE≌△BFE，得CE＝EF，再證明△ACF≌△ABD得BD＝CF，從而有BD＝2CE．證明：延長BA交CE的延長線于F，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CE⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，∵在△BCE和△BFE中，∠CBE=∠FBEBE=BE∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，在△ABC中，∵∠BAC＝90°，CE⊥BE，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠FCA＝90°，又∵∠ADB＝∠CDE（對(duì)頂角相等），∴∠FCA＝∠ABD，∵在△ACF和△ABD中，∠FCA=∠ABDAB=AC∴△ACF≌△ABD（ASA），∴BD＝CF，∴BD＝2CE．解題秘籍：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是作好輔助線：延長BA交CE的延長線于F．全章模擬測試選擇題（每題3分，共21分）1．（2021秋?香洲區(qū)校級(jí)期中）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【思路引領(lǐng)】根據(jù)全等形是能夠完全重合的兩個(gè)圖形進(jìn)行分析判斷．【解答】解：A、兩個(gè)圖形不能夠完全重合，不是全等圖形，不符合題意；B、兩個(gè)圖形可以完全重合，是全等圖形，符合題意；C、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；D、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查的是全等形的識(shí)別、全等圖形的基本性質(zhì)，屬于較容易的基礎(chǔ)題．2．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥DF，且AB＝DF，添加下列條件，不能判斷△ABC≌△FDE的是（）A．AC＝EF B．BE＝CD C．AC∥EF D．∠A＝∠F【答案】A【思路引領(lǐng)】根據(jù)全等三角形的判定定理逐一判斷即可．【解答】解：∵AB∥DF，∴∠ABC＝∠FDE，A、由∠ABC＝∠FDE，AB＝DF，AC＝EF，不能判定△ABC≌△FDE，故A符合題意；B、由∠ABC＝∠FDE，AB＝DF，BE＝CD即BC＝DE，通過SAS即可證明△ABC≌△FDE，故B不符合題意；C、由AC∥EF得∠ACB＝∠FED，∠ABC＝∠FDE，AB＝DF，通過AAS即可證明△ABC≌△FDE，故C不符合題意；D、由∠A＝∠F，AB＝DF，∠ABC＝∠FDE通過ASA即可證明△ABC≌△FDE，故D不符合題意；故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?雙遼市期中）如圖，要測量湖兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A，B的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D，使CD＝BC，再在BF的垂線DG上取點(diǎn)E，使點(diǎn)A，C，E在一條直線上，可得△ABC≌△EDC．判定全等的依據(jù)是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．HL【答案】A【思路引領(lǐng)】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．【解答】解：在△ABC和△EDC中∠ABC=∠EDC=90°BC=CD∴△ABC≌△EDC（ASA），依據(jù)是兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等．故選：A．【總結(jié)提升】本題主要考查了三角形全等的判定方法，熟記判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE＝2，BC＝6，則△BDE的周長為（）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【思路引領(lǐng)】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC，然后利用等線段代換得到△BDE的周長＝BC+BE．【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，∴△BDE的周長＝BD+DE+BE＝BD+DC+BE＝BC+BE＝6+2＝8．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．5．（2022秋?滄州期末）為促進(jìn)旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村，如圖所示，若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個(gè)度假村應(yīng)修建在（）A．△ABC三條高線的交點(diǎn)處 B．△ABC三條中線的交點(diǎn)處 C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處 D．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】C【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵度假村到三條公路的距離相等，∴這個(gè)度假村為△ABC的角平分線的交點(diǎn)．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．6．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若BF＝a，EF＝b，CE＝c，則AD的長為（）A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)﹣b+c D．a(chǎn)+b﹣c【答案】C【思路引領(lǐng)】由余角的性質(zhì)可得∠A＝∠C，由“AAS”可證△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝c，DE＝BF＝a，可得AD的長．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵∠A＝∠C，∠CED＝∠AFB，AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝c，DE＝BF＝a，∵EF＝b，∴AD＝AF+DF＝c+（a﹣b）＝a﹣b+c．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．7．（2022秋?辛集市期末）如圖，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°連接BE，CD交于點(diǎn)F，連接AF．下列結(jié)論：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【思路引領(lǐng)】先由∠DAB＝∠CAE＝50°證明∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，可判斷①正確；設(shè)BE交AC于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦EB＝∠ACD，所以∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，可判斷②正確；作AI⊥BE于點(diǎn)I，AJ⊥CD于點(diǎn)J，由S△BAE＝S△DAC得12AI?BE=12AJ?CD，則AI＝AJ，即可證明FA平分∠DFE假設(shè)∠DAF＝∠EAF，則∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，所以∠BAF＝∠CAF，由∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，得∠AFB＝∠AFC，即可推導(dǎo)出△AFB≌△AFC，得AB＝AC，與已知條件相矛盾，可判斷③錯(cuò)誤，于是得到問題的答案．【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，在△BAE和△DAC中，AB=AD∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，故①正確；設(shè)BE交AC于點(diǎn)G，∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，故②正確；作AI⊥BE于點(diǎn)I，AJ⊥CD于點(diǎn)J，∵S△BAE＝S△DAC，∴12AI?BE=12AJ∴AI＝AJ，∴點(diǎn)A在∠DFE的平分線上，∴FA平分∠DFE，故④正確；假設(shè)∠DAF＝∠EAF，則∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，∴∠BAF＝∠CAF，∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE，∴∠AFB＝∠AFC，在△AFB和△AFC中，∠BAF=∠CAFAF=AF∴△AFB≌△AFC（ASA），∴AB＝AC，與已知條件相矛盾，∴∠DAF≠∠EAF，故③錯(cuò)誤，∴①②④這3個(gè)結(jié)論正確，故選：C．【總結(jié)提升】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)面積等式證明線段相等、角平分線的判定、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．填空題（每題4分，共24分）8．（2022秋?萊州市期中）如圖，△ABC≌△DBE，A、D、C在一條直線上，且∠A＝60°，∠DBC＝28°，則∠E＝32°．【答案】32°．【思路引領(lǐng)】由全等三角形的性質(zhì)得到AB＝BD，∠E＝∠C，由等腰三角形的性質(zhì)可求出∠BDA＝60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠C，即可得到∠E的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴AB＝BD，∠E＝∠C，∴∠A＝∠BDA＝60°，∵∠BDA＝∠C+∠DBC，∠DBC＝28°，∴∠C＝60°﹣28°＝32°，∴∠E＝32°，故答案為：32°．【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．9．（2021秋?寧津縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于12MN為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，射線AP交BC于點(diǎn)D，若CD＝2，AB＝5，則△ABD的面積為5【答案】5．【思路引領(lǐng)】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC＝2，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本作圖可知，AP平分∠CAB，∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝2，∴△ABD的面積=12×AB×DE=12×故答案為：5．【總結(jié)提升】本題考查基本作圖、角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．10．（2022秋?常州期中）如圖，AD是△ABC的高，AD＝BD，BE＝AC，∠BAC＝70°，則∠DBE大小為25°．【答案】25．【思路引領(lǐng)】證明Rt△BDE≌Rt△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBE＝∠DAC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠DAB＝∠DBA＝45°，計(jì)算即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=ACBD=AD∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），∴∠DBE＝∠DAC，在Rt△ADB中，AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠BAC＝70°，∴∠DAC＝70°﹣45°＝25°，∴∠DBE＝∠DAC＝25°，故答案為：25．【總結(jié)提升】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，AD是中線，已知AB＝7，AC＝4，則中線AD的取值范圍是32＜【答案】32＜AD【思路引領(lǐng)】通過倍長中線，構(gòu)造△ABD≌△ECD，從而得到AB＝CE＝7，利用三角形三邊關(guān)系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，再通過AD=1【解答】解：如圖，延長AD至E，令DE＝AD，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，AD=ED∠ADB=∠EDC∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE＝7，在△AEC中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即7﹣4＜AE＜7+4，∴3＜AE＜11，∵DE＝AD，∴AD=1∴32故答案為：32【總結(jié)提升】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等，通過倍長中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?句容市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm．BC＝15cm，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以5cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為203cm/s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP【答案】203【思路引領(lǐng)】設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，運(yùn)動(dòng)的速度為xcm/s，則CQ＝xtcm，BP＝5tcm，CP＝（15﹣5t）cm，由于∠B＝∠C，當(dāng)BE＝CP，BP＝CQ時(shí)，利用“AAS”可判斷△BEP≌△CPQ，即10＝15﹣5t，5t＝xt；當(dāng)BE＝CQ，BP＝CP時(shí)，利用“AAS”可判斷△BEP≌△CQP，即10＝xt，5t＝15﹣5t，然后分別解方程即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，運(yùn)動(dòng)的速度為xcm/s，則CQ＝xtcm，BP＝5tcm，CP＝（15﹣5t）cm，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝10cm，∵∠B＝∠C，∴當(dāng)BE＝CP，BP＝CQ時(shí)，△BEP≌△CPQ（SAS），即10＝15﹣5t，5t＝xt，解得t＝1，x＝5（舍去）；當(dāng)BE＝CQ，BP＝CP時(shí)，△BEP≌△CQP（SAS），即10＝xt，5t＝15﹣5t，解得t=32，x綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為203cm/s時(shí)，能夠使△BPE與△CQP故答案為：203【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關(guān)鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．13．（2023春?渠縣期末）添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點(diǎn)，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE=25BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面積．同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF＝DE，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△BDE的面積為64【答案】64．【思路引領(lǐng)】由△ABF≌△BDE，求出BF，DF的長，再由面積公式求得即可．【解答】解：如圖所示，連接AF，∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∵∠ABD＝∠C，∵∠E＝∠C，∵∠ABD＝∠E，在△ABF與△BED中，AB=BE∠ABF=∠BED∴△ABF≌△BED（SAS），∴S△ABF＝S△BDE，∵S△ABD∵BF=25×20∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，∴S△AFD=12×AD?DF=12×∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．故答案為：64．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解答題（共55分）14．（2022秋?龍港市期中）已知：如圖，AC＝BD，AD＝BC．求證：∠C＝∠D．【思路引領(lǐng)】由AC＝BD、BC＝AD、AB＝BA，根據(jù)全等三角形的判定定理“SSS”證明△ABC≌△BAD，則∠C＝∠D．【解答】證明：在△ABC和△BAD中，AC=BDBC=AD∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠C＝∠D．【總結(jié)提升】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明△ABC≌△BAD是解題的關(guān)鍵．15．（2022春?墾利區(qū)期末）如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，BE，CF相交于點(diǎn)D，若BD＝CD．求證：AD平分∠BAC．【思路引領(lǐng)】要證AD平分∠BAC，只需證DF＝DE．可通過證△BDF≌△CDE（AAS）來實(shí)現(xiàn)．根據(jù)已知條件，利用AAS可直接證明△BDF≌△CDE，從而可得出AD平分∠BAC．【解答】證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°．在△BDF與△CDE中，∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE(∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF＝DE，∴AD是∠BAC的平分線．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上等知識(shí)．發(fā)現(xiàn)并利用△BDF≌△CDE是正確解答本題的關(guān)鍵．16．（2021秋?巢湖市期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的長．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，可得點(diǎn)D到AB的距離＝點(diǎn)D到AC的距離即DE＝CD，再根據(jù)HL證明Rt△CDF≌Rt△EBD，從而得出CF＝EB；（2）設(shè)CF＝x，則AE＝12﹣x，再根據(jù)題意得出Rt△ACD≌Rt△AED，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF與Rt△EDB中，DF=DBDC=DE∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：設(shè)CF＝x，則AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD與Rt△AED中，AD=ADCD=DE∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．【總結(jié)提升】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．17．（2022秋?溧水區(qū)期中）如圖，△ABC≌△A'B'C'，AD和A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的角平分線．（1）求證：AD＝A'D'；（2）把第（1）小題中的結(jié)論用文字語言描述：全等三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線相等；（3）寫出一條其他類似的結(jié)論：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高（或中線）相等．【思路引領(lǐng)】（1）由△ABC≌△A'B'C'的對(duì)應(yīng)邊、角相等得到：∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，然后由角平分線的定義可以證得∠BAD＝∠B′A′D′，則根據(jù)ASA證得△ABD≌△A′B′D′；（2）根據(jù)證得的結(jié)論得到：全等三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線相等；（3）類似的得到：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高（或中線）相等．【解答】（1）證明：如圖，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，又∵AD、A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，∴∠BAD＝∠B′A′D′，∴在△ABD與△A′B′D′中，∠B=∠B'AB=A'B'∴△ABD≌△A′B′D′（ASA），∴AD＝A′D′；（2）由（1）中的結(jié)論得到：全等三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線相等，故答案為：全等三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線相等；（3）同理：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高（或中線）相等．故答案為：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高（或中線）相等．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．18．（2013秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F，（1）當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時(shí)（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線