專題10 圓的對稱性壓軸題六種模型全攻略（原卷版）

專題10圓的對稱性壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】 1【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】 3【考點(diǎn)三利用垂徑定理求值】 5【考點(diǎn)四利用垂徑定理求平行弦問題】 8【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】 11【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 13【過關(guān)檢測】 15【典型例題】【考點(diǎn)一利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則的度數(shù)為（

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A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習(xí)）下列說法：①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③過直線上兩點(diǎn)和直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)圓；④圓是軸對稱圖形，直徑是它的對稱軸．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【考點(diǎn)二利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知的半徑，，在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，求證：．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學(xué)考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，C是弧AB中點(diǎn)．求證：∠A＝∠B．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知的半徑為，弦的長為，則圓心到的距離為．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長為寸．

【考點(diǎn)四利用垂徑定理求平行弦問題】例題：（2023秋·天津和平·九年級校考期末）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．2．（2023春·甘肅武威·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級單元測試）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的?、鄞怪庇谙业闹本€必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）下列說法中正確的說法有（）個(gè)①對角線相等的四邊形是矩形

②在同圓或等圓中，同一條弦所對的圓周角相等③相等的圓心角所對的弧相等

④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?、莸饺切稳吘嚯x相等的點(diǎn)是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說法中，正確的是（

）A．過三點(diǎn)可以作一個(gè)圓 B．相等的圓心角所對的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知弦AB把圓周分成兩部分，則弦AB所對圓心角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，線段是的直徑，于點(diǎn)E，若長為16，長為6，則半徑是（

）A．5 B．6 C．8 D．104．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，連接，，，，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于，，，四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023春·九年級單元測試）為的直徑，弦于，且，，則．7．（2023春·北京海淀·九年級101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是．-8．（2023春·九年級單元測試）半徑為的內(nèi)有一點(diǎn)，且，則過點(diǎn)的最短的弦長是，最長的弦長是．9．（2023·河南南陽·校聯(lián)考二模）已知半徑為5的圓O中有一條長度為8的弦，分別以A，B為圓心，長度大于4為半徑作圓弧交于點(diǎn)M，N，連接，點(diǎn)C為直線與圓O的交點(diǎn)，點(diǎn)D為直線與弦的交點(diǎn)，則的長度為．10．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）圖1是小文家的木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點(diǎn)是所在圓的圓心，，點(diǎn)，點(diǎn)離地高度均為，水平距離．則．當(dāng)半徑轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，木馬就有翻倒的風(fēng)險(xiǎn)，為安全起見，點(diǎn)離地高度應(yīng)小于．三、解答題11．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，是的直徑，，，求的度數(shù)．

12．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，，交于點(diǎn)，，是半徑，且于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．13．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，．(1)求的半徑長；(2)連接，作于點(diǎn)F，求的長．14．（2023·河北衡水·校考模擬預(yù)測）圖1是某種型號圓形車載手機(jī)支架，由圓形鋼軌、滑動(dòng)桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動(dòng)桿的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動(dòng)，支撐桿的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動(dòng)桿的中點(diǎn)，（即當(dāng)支架水平放置時(shí)直線平行于水平線，支撐桿垂直于水平線），通過滑動(dòng)A、B可以調(diào)節(jié)的高度．當(dāng)經(jīng)過圓心O時(shí)，它的寬度達(dá)到最大值，在支架水平放置的狀態(tài)下：(1)當(dāng)滑動(dòng)桿的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時(shí)，求此時(shí)支撐桿的高度．(2)如圖3，當(dāng)某手機(jī)被