第07講 二次函數(shù)與一元二次方程（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）VIP

第07講二次函數(shù)與一元二次方程會(huì)用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；經(jīng)歷探索驗(yàn)證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．會(huì)求拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系；經(jīng)歷探索驗(yàn)證二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題．知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）注意：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由的值來確定的.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒有實(shí)根.2.拋物線與直線的交點(diǎn)問題拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由方程組的解的個(gè)數(shù)決定．（1）當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)方程組無解時(shí)兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)．總之，探究直線與拋物線的交點(diǎn)的問題，最終是討論方程(組)的解的問題．注意：求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即將函數(shù)的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程組解的問題或者將求方程組的解的問題轉(zhuǎn)化為求拋物線與直線的交點(diǎn)問題．知識(shí)點(diǎn)2：利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解用圖象法解一元二次方程的步驟：1.作二次函數(shù)的圖象，由圖象確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的個(gè)數(shù)；2.確定一元二次方程的根的取值范圍．即確定拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大致范圍；3.在(2)確定的范圍內(nèi)，用計(jì)算器進(jìn)行探索.即在(2)確定的范圍內(nèi)，從大到小或從小到大依次取值，用表格的形式求出相應(yīng)的y值．4.確定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所對(duì)應(yīng)的x值即是一元二次方的近似根．注意：求一元二次方程的近似解的方法（圖象法）：(1)直接作出函數(shù)的圖象，則圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；(2)先將方程變?yōu)樵僭谕蛔鴺?biāo)系中畫出拋物線和直線圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根；(3)將方程化為，移項(xiàng)后得，設(shè)和，在同一坐標(biāo)系中畫出拋物線和直線的圖象，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根.知識(shí)點(diǎn)3：點(diǎn)拋物線與不等式的關(guān)系二次函數(shù)(a≠0)與一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之間的關(guān)系如下：【題型1：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)問題】【典例1】（2023?遵義三模）二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)情況是（）A．有1個(gè)交點(diǎn) B．有2個(gè)交點(diǎn) C．無交點(diǎn) D．無法確定【變式1-1】（2023?遵義三模）二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)情況是（）A．有1個(gè)交點(diǎn) B．有2個(gè)交點(diǎn) C．無交點(diǎn) D．無法確定【變式1-2】（2023?汝陽縣一模）二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+2的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則a可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-3】（2023?雨山區(qū)校級(jí)一模）若函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x+1（a為常數(shù)）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么a滿足（）A．a(chǎn)＝且a≠1 B．a(chǎn)＝ C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝或a＝1【典例2】（2023?河西區(qū)二模）拋物線y＝x2﹣4x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（0，3） B．（2，0） C．（1，0）和（3，0） D．（﹣1，0）和（﹣3，0）【變式2-1】（2022秋?東麗區(qū)期末）二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+m的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（5，0） D．（9，0）【變式2-2】（2022秋?太和縣期末）若二次函數(shù)y＝a（x+1）2+k的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）【題型2:圖像法確定一元二次方程的根】【典例3】（2022秋?即墨區(qū)校級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的y與x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x3.233.243.253.26y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判斷方程ax2+bx+c＝0.02的一個(gè)解x的取值范圍是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【變式3-1】（2022秋?夏津縣期中）如下表給出了二次函數(shù)y＝x2+2x﹣9中，x，y的一些對(duì)應(yīng)值，則可以估計(jì)一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一個(gè)近似解（精確到0.1）為（）x……22.12.22.32.4……y……﹣1﹣0.390.240.891.56……A．﹣4 B．2.2 C．﹣4.2 D．﹣4.3【變式3-2】（2022秋?荊門期末）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2 C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2【題型3：已知函數(shù)值y求X的取值范圍】【典例4】（2022秋?西湖區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，函數(shù)值y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表：x…﹣10123…y…188202…則當(dāng)y＞8時(shí)，x的取值范圍是（）A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5【變式4-1】（2023?博興縣模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…當(dāng)y＜5時(shí)，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4【變式4-2】（2023?阿瓦提縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝1．若y＜0，則x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3【變式4-3】（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（）A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5【題型4：二次函數(shù)與不等式的關(guān)系】【典例5】（2023?鄒城市一模）如圖是二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c和一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象，觀察圖象寫出y2＞y1時(shí)，x的取值范圍（）A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1【變式5-1】（2023春?蘇州月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+c與直線y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【變式5-2】（2022秋?仙居縣期末）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）兩點(diǎn)，則不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范圍是．【變式5-3】（2022秋?大興區(qū)校級(jí)期末）某二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c（a≠0）Z的圖象與直線y2＝kx+m（k≠0）相交于點(diǎn)M、N，則當(dāng)y1＜y2時(shí)，自變量x的取值范圍是．【題型5:二次函數(shù)綜合】【典例6】（2023?牡丹區(qū)二模）已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對(duì)稱軸是直線x＝3，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)P，使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式6-1】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，3），其頂點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為x＝1．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷△ABC的形狀；（3）已知點(diǎn)M為線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)寫出△ABM面積關(guān)系式，并求出當(dāng)△ABM面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【變式6-2】如圖，二次函數(shù)y＝（t﹣1）x2+（t+1）x+2（t≠1），x＝0與x＝3時(shí)的函數(shù)值相等，其圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）在第一象限的拋物線上求點(diǎn)P，使得S△PBC最大．（3）點(diǎn)P是拋物線上x軸上方一點(diǎn)，若∠CAP＝45°，求P點(diǎn)坐標(biāo)．1．（2021?銅仁市）已知直線y＝kx+2過一、二、三象限，則直線y＝kx+2與拋物線y＝x2﹣2x+3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)2．（2023?武功縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2+x﹣5與y＝x2+（m+n）x﹣5（m＞0＞n）關(guān)于y軸對(duì)稱，則拋物線y＝mx2+2nx+m與x軸的交點(diǎn)情況是（）A．沒有或有一個(gè)交點(diǎn) B．只有一個(gè)交點(diǎn) C．有兩個(gè)交點(diǎn) D．沒有交點(diǎn)3．（2023?上虞區(qū)模擬）已知二次方程x2+bx+c＝0的兩根為﹣1和5，則對(duì)于二次函數(shù)y＝x2+bx+c，下列敘述正確的是（）A．當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)的最大值是9 B．當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)的最大值是9 C．當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)的最小值是﹣9 D．當(dāng)x＝﹣2時(shí)，函數(shù)的最小值是﹣94．（2023?城中區(qū)三模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+c＝0無實(shí)數(shù)根，則拋物線y＝x2﹣2x+c的頂點(diǎn)所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2021?麗水模擬）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的對(duì)應(yīng)值，x6.176.186.196.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04判斷方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍可能是（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．（2023?邵陽縣二模）已知如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一條直線y2與拋物線y1相交于、兩點(diǎn)，求當(dāng)y1＞y2時(shí)的x的取值范圍是．7．（2023?瀘縣二模）已知二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣4x+5，當(dāng)函數(shù)值y隨x值的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是．8．（2022?鹽城）若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是．9．（2023?梧州一模）如圖，直線y＝kx+h與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣2，m），B（6，n）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式h＜ax2+（b﹣k）x+c的解集是．10．（2023?二道區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線和直線y2＝kx（k＞0）交于點(diǎn)O和點(diǎn)A．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是3，則﹣kx+2k＞ax2﹣2ax的解集為．1．（2022秋?沈河區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分y與x的值如下表：x…﹣11234…y…120﹣3﹣4﹣3…根據(jù)表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝7 D．x1＝0，x2＝32．（2022秋?南寧月考）如表是二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣5的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值，那么方程ax2+bx﹣5＝0的一個(gè)根的取值范圍是（）x…11.11.21.31.4…y…﹣1﹣0.490.040.591.16…A．1.1～1.2 B．1～1.1 C．1.2～1.3 D．1.3～1.43．（2022秋?北京期末）在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時(shí)，先在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象，觀察圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以看作是方程的近似解，分析圖中的信息，方程的近似解是（）A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝34．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是P（1，3），則函數(shù)y隨自變量x的增大而減小的x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x≥1 D．x