微專題01 全等三角形的九大模型通關(guān)專練原卷版

微專題01全等三角形的九大模型通關(guān)專練一、平移模型1．（2023·陜西西安·交大附中分校?？既＃┤鐖D，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B=∠D，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件__________，使Rt△ABC和2．（2022秋·湖南邵陽·八年級?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)E，C在線段BF上，BE＝CF，請?jiān)谙铝兴膫€等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．選出兩個作為條件，推出△ABC≌△DEF．并予以證明．（寫出一種即可）已知：______，______．求證：△ABC≌△DEF．3．（2022秋·廣東韶關(guān)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF．老師說：還添加一個條件就可使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學(xué)的發(fā)言：甲：添加BE＝CF，乙：添加AC∥DF，丙：添加∠A＝∠D．(1)甲、乙、丙三個同學(xué)的說法正確的是；(2)請你從正確的說法中，選取一種給予證明．4．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)請?jiān)谏鲜鋈齻€條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．二、對稱模型5．（2023秋·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、D在線段BC的兩側(cè)，且∠A=∠D=90°．試添加一個條件，使△ABC≌△DBC．并寫出證明過程．6．（2022秋·廣西南寧·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．找出圖中的全等三角形，并選一對證明它們?nèi)龋?．（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖，AC、BD交于點(diǎn)O，AB=CD，請你再添加一個條件（不再添加其他輔助線，不再標(biāo)注或使用其他字母），使OB=OC，并給出證明．8．（2022秋·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，AB=AC．現(xiàn)給出下列條件：①∠B=∠C；②BE=CD；AE=AD，請你選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使得三、不共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型9．（2021秋·河南許昌·八年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，BF=CE，AC=DF，請你在下列條件①∠B=∠E；②∠ACB=∠DFE；③AB=DE；④AC∥DF中，選擇一個條件證明：∠A=∠D，你選的條件的序號是證明：10．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)C、E、B、F在同一條直線上，且AB=DE，AC=DF，CE=FB．求證：△ABC≌△DEF．11．（2022秋·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，AB∥CD，AB=CD，點(diǎn)E、F在BC上，從①AF∥DE，②你選的補(bǔ)充條件是，結(jié)論是．(填序號)12．（2022秋·八年級單元測試）如圖，點(diǎn)A、B、D、E在同一直線上，AD=EB，∠A=∠E．請你添加一個條件，證明：AC=EF．(1)你添加的條件是_____________；(2)請你寫出證明過程．四、多垂直模型（含一線三等角）13．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m過點(diǎn)A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖1位置時，我們可以發(fā)現(xiàn)DE=BD+CE．(1)當(dāng)直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，問：BD與DE、CE的關(guān)系如何？請予證明；(2)直線m在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，BD、DE、CE存在哪幾種不同的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出，不必證明）14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，△ABE為等腰直角三角形，∠ABE=90°，BC=BD．(1)求證：△ABC≌△EBD；(2)求證：AF⊥DE15．（2022秋·山東德州·八年級?？计谥校?）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．16．（2023秋·湖南張家界·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D,E．求證：DE=BD+CE．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．請寫出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．五、手拉手模型17．（2022·廣東深圳·校考一模）如圖，以銳角△ABC的邊AC、AB為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF，連接(1)求證：△FAC≌(2)圖中△BAE可以通過一次變換得到△FAC，請你說出變換過程．18．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接CD，BE．(1)求證：△AEB≌△ADC；(2)連接DE，若∠ADC=110°，求∠BED的度數(shù)．19．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖1，等邊△ABC與等邊△DCP的頂點(diǎn)B，C，P三點(diǎn)在一條直線上，連接AP交BD于E點(diǎn)，連EC．(1)求證：AP=BD；(2)求證：EC平分∠BEP；(3)設(shè)AE=a，DE=b，CE=c，若BP=4CP，直接寫出a，20．（2020秋·遼寧撫順·九年級?？计谥校┮阎狐c(diǎn)D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接AD．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE．直接寫出BD和CE數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接CE，畫出圖形．（1）的結(jié)論還成立嗎?若成立，請證明；若不成立，說明理由．六、倍長中線模型21．（2023春·廣東深圳·七年級深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考期中）【向題情境】課外數(shù)學(xué)興趣小組活動時，老師提出了如下何題：如圖①，△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．SSA(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是__________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．【初步運(yùn)用】(3)如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．若EF=5，EC=3，求線段BF的長．【拓展提升】(4)如圖③，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF分別交AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：BE+CF>EF．22．（2022秋·湖北武漢·八年級校聯(lián)考期中）規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，回答下列問題：(1)求證：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中點(diǎn)P，連接OP，請證明AC=2OP．23．（2022秋·湖北荊門·八年級校考階段練習(xí)）在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E是BC的中點(diǎn)，過E作EF∥AD交CA延長線于P，交AB于F，求證：(1)△APF是等腰三角形；(2)BF=CP(3)若AB=12，AC=8，試求出PA的長．24．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E在CD上，且∠AED=∠B．求證：AE=BC．七、截長補(bǔ)短模型25．（2023秋·廣西南寧·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，在△ABC中，∠B=60°，D、E分別為AB、BC上的點(diǎn)，且AE、CD交于點(diǎn)F．若AE、CD為△ABC的角平分線．(1)求∠AFC的度數(shù)；(2)若AD=6，CE=4，求AC的長．26．（2022春·湖北武漢·九年級武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC為等邊三角形，D為直線BC上一點(diǎn)，ED＝EC，求證：AE＋AC＝CD．27．（2022秋·重慶江北·八年級統(tǒng)考期末）在等邊ΔABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)D為ΔABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°(1)如圖1，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，∠BDN=90°，BM=3，求(2)如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，∠BDN≠90°．試猜想BM，CN，28．（2020秋·湖北黃石·八年級黃石八中?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠BDC=∠BAC，AM⊥CD于M，求證：BD+DM=CM．八、平行線+中線模型29．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交BC于點(diǎn)M．求讓：MD=ME30．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．31．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP=DQ；(2)過P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的長．32．（2022秋·八年級課時練習(xí)）讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明．已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此,要證明AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中兩種對原題進(jìn)行證明．圖(1):延長DE到F使得EF=DE圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F圖(3):過C點(diǎn)作C