聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)第26課全等三角形

第26課全等三角形

基礎(chǔ)知識題型分類要點(diǎn)梳理題型一三角形全等的判定基礎(chǔ)自測題型二全等三角形的性質(zhì)題型三三角形全等的開放探究問題易錯(cuò)警示19.留心“邊邊角”

知識點(diǎn)索引要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.全等形、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做________；能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做____________．當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做

__________，互相重合的邊叫做________，互相重合的角叫做________．全等形全等三角形對應(yīng)頂點(diǎn)對應(yīng)邊對應(yīng)角要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引2.全等三角形的性質(zhì)全等三角形________相等，________相等．注意：全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線相等；對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長、面積也相等．對應(yīng)邊對應(yīng)角要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.全等三角形的判定

(1)______________對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；

(2)______________對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)；

(3)______________________對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；

(4)____________對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；

(5)__________________對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)．兩邊和夾角兩角和夾邊兩角和其中一角的對邊三邊斜邊和一條直角邊要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引4.證明全等三角形的三種基本思路

(1)有兩邊對應(yīng)相等時(shí)，找夾角相等或第三邊對應(yīng)相等；

(2)有一邊和一角對應(yīng)相等時(shí)，找另一角相等或夾等角的另一邊相等；

(3)有兩個(gè)角對應(yīng)相等時(shí)，找一對邊對應(yīng)相等．另外，在尋求全等條件時(shí)，要善于挖掘圖形中公共邊、公共角、對頂角等隱含條件．要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引5.證明的四種思考方法

(1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運(yùn)用相應(yīng)的定理，分別或聯(lián)合幾個(gè)已知條件加以發(fā)展，一步一步地去靠近欲證目標(biāo)；

(2)逆推分析：從欲證結(jié)論入手，分析達(dá)到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法；要點(diǎn)梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引(3)順推分析與逆推分析相結(jié)合；(4)聯(lián)想分析：對于一道與證明過的題目有類似之處的新題目，分析它們之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，嘗試把對前一道題的思考轉(zhuǎn)用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法．基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是(

)A.AB＝ACB.BD＝CDC.∠B＝∠CD.∠BDA＝∠CDA基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析

A、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若AB＝AC，則△ABD≌△ACD(SAS)，故本選項(xiàng)正確，不合題意；B、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若∠B＝∠C，則△ABD≌△ACD(AAS)，故本選項(xiàng)正確，不合題意；D、∵∠1＝∠2，AD為公共邊，若∠BDA＝∠CDA，則△ABD≌△ACD(ASA)，故本選項(xiàng)正確，不合題意．故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引1.如圖，已知∠1＝∠2，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是(

)A.AB＝ACB.BD＝CDC.∠B＝∠CD.∠BDA＝∠CDAB基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引2.工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下，如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM＝ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點(diǎn)C作射線OC.由做法得△MOC≌△NOC的依據(jù)是

(

)A.AAS B.SASC.ASA D.SSSD解析∵OM＝ON，CM＝CN，OC為公共邊，∴△MOC≌△NOC(SSS)．故選D.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.(中考真題-安順)如圖，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是

(

)∠A＝∠C B.AD＝CBC.BE＝DF D.AD∥BC基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE，∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項(xiàng)不合題意；B、根據(jù)AD＝CB，AF＝CE，∠AFD＝∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意；基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引∴△ADF≌△CBE(SAS)，正確，故本選項(xiàng)不合題意；D、∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∴△ADF≌△CBE(ASA)，正確，故本選項(xiàng)不合題意．故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引3.(中考真題-安順)如圖，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ADF≌△CBE的是

(

)∠A＝∠C B.AD＝CBC.BE＝DF D.AD∥BCB基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引4.(中考真題-臺(tái)州)已知△A1B1C1和△A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個(gè)判斷：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2.

對于上述的兩個(gè)判斷，下列說法正確的是(

)A.①正確，②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①、②都錯(cuò)誤 D.①、②都正確基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析∵△A1B1C1和△A2B2C2的周長相等，A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，∴B1C1＝B2C2，∴△A1B1C1≌△A2B2C2(SSS)，故①正確；∵∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，∴根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，∠C1＝∠C2，∵根據(jù)三個(gè)角相等不能推出兩個(gè)三角形全等，∴②錯(cuò)誤．故選A.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引4.(中考真題-臺(tái)州)已知△A1B1C1和△A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個(gè)判斷：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2.

對于上述的兩個(gè)判斷，下列說法正確的是(

)A.①正確，②錯(cuò)誤 B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①、②都錯(cuò)誤 D.①、②都正確A基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引5.(中考真題-益陽)如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD

上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是(

)A.AE＝CFB.BE＝FDC.BF＝DED.∠1＝∠2基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引解析

A、當(dāng)AE＝CF時(shí)，無法得出△ABE≌△CDF，故此選項(xiàng)符合題意；B、當(dāng)BE＝FD時(shí)，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，故此選項(xiàng)不合題意；基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引C、當(dāng)BF＝ED時(shí)，可得BE＝DF，證法同選項(xiàng)B，故此選項(xiàng)不合題意；D、當(dāng)∠1＝∠2時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)，故此選項(xiàng)不合題意．故選A.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)索引5.(中考真題-益陽)如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是對角線BD

上的兩點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是(

)A.AE＝CFB.BE＝FDC.BF＝DED.∠1＝∠2A題型一三角形全等的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例1】

(中考真題-邵陽)如圖，已知點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)從圖中任找兩組全等三角形；

(2)從(1)中任選一組進(jìn)行證明．題型一三角形全等的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引解

(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB.(2)∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝FC，∴△ABE≌△CDF(AAS)．題型一三角形全等的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高此題主要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．題型分類·深度剖析助學(xué)微博知識點(diǎn)索引

兩種思考途徑

(1)當(dāng)圖形明顯具有對稱性(軸對稱或中心對稱)或旋轉(zhuǎn)性時(shí)，思考途徑是：從對居于對稱位置的線、角或部分證相等或全等入手，或由前一次全等為后一次全等提供所缺的條件，或利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì)提供所缺的條件．

(2)圖形不具有明顯的對稱性或旋轉(zhuǎn)性，此時(shí)要證明兩個(gè)三角形全等，在思考上的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系．其方法是：已知條件中相等的角、邊對應(yīng)，則它們所對的邊、角對應(yīng)；欲證相等的邊、角對應(yīng)，它們所對的邊、角也是對應(yīng)的；最后所余的一組邊、一組角分別對應(yīng)．題型一三角形全等的判定

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練1

(中考真題-玉林)如圖，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求證：△ABC≌△AED.證明

∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∴△ABC≌△AED(AAS)．題型二全等三角形的性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例2】已知：如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，

ED⊥DF.求證：BE＋CF>EF.題型二全等三角形的性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引證明

延長ED到M，使DM＝ED，連接CM、FM.∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.∴△EDB≌△MCD(SAS)，∴BE＝CM.在△FMC中，CF＋CM>MF，又∵ED⊥DF，ED＝DM，∴EF＝FM，∴CF＋CM>EF，即CF＋BE>EF.題型二全等三角形的性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高利用中線加倍延長法，把BE、CF、EF集中在一個(gè)三角形中，利用三角形的兩邊之和大于第三邊來證明．題型二全等三角形的性質(zhì)

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練2

(中考真題-珠海)如圖，已知EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.求證：BC＝DC.證明∵∠BCE＝∠DCA，∴∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE，即∠ACB＝∠ECD，∴△ABC≌△EDC(ASA)，∴BC＝DC.題型三三角形全等的開放探究問題

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例3】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是CD延長線上的任意一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)O，如果△ABO≌△DEO，則需要添加的條件是_________________(只需一個(gè)即可，圖中不能添加任何點(diǎn)或線)題型三三角形全等的開放探究問題

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADE＝∠BAD，∵O是AD的中點(diǎn)，∴OA＝OD，又∵∠AOB＝∠DOE，∴△ABO≌△DEO(ASA)．故答案為：O是AD的中點(diǎn)或OA＝OD(答案不唯一)．題型三三角形全等的開放探究問題

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引【例3】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是CD延長線上的任意一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)O，如果△ABO≌△DEO，則需要添加的條件是_________________(只需一個(gè)即可，圖中不能添加任何點(diǎn)或線)答案：開放型題，答案不唯一(參考答案：O是AD的中點(diǎn)或OA＝OD；AB＝DE；D是CE的中點(diǎn)；O是BE的中點(diǎn)或OB＝OE；OD是△EBC的中位線．)題型三三角形全等的開放探究問題

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引探究提高本題考查了全等三角形的判定，常見的判斷方法有五種，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊；若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對應(yīng)鄰邊．題型三三角形全等的開放探究問題

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練3如圖，△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)O.請你添加一對相等的線段或一對相等的角的條件，使BD＝CE.你所添加的條件是________．題型三三角形全等的開放探究問題

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引解析∵△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)O，∴∠BEC＝∠CDB＝90°，∵BC＝CB，要使BD＝CE，只需△BCE≌△CBD.當(dāng)BE＝CD時(shí)，利用HL即可證得△BCE≌△CBD；當(dāng)∠ABC＝∠ACB時(shí)，利用AAS即可證得△BCE≌△CBD；同理：當(dāng)∠DBC＝∠ECB時(shí)，利用AAS也可證得△BCE≌△CBD；當(dāng)AB＝AC時(shí)，∠ABC＝∠ACB，利用AAS也可證得△BCE≌△CBD.題型三三角形全等的開放探究問題

題型分類·深度剖析知識點(diǎn)索引變式訓(xùn)練3如圖，△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)O.請你添加一對相等的線段或一對相等的角的條件，使BD＝CE.你所添加的條件是________．答案：此題答案不唯一，如∠DBC＝∠ECB或∠ABC＝∠ACB或AB＝AC或BE＝CD等題型分類·深度剖析易錯(cuò)警示系列易錯(cuò)警示系列19留心“邊邊角”知識點(diǎn)索引考題再現(xiàn)如圖，AB＝AC，D、E分別在AB、AC上，且CD

＝BE，求證：∠ADC＝∠AEB.題