浙江省玉環(huán)市玉城中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

玉城中學(xué)2021-2022學(xué)年第一學(xué)期高一第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共8小題40分）1.已知是第二象限角，且，則（）A.B.C. D.2.已知向量與的夾角是,且,,若,則實(shí)數(shù)的值為()A.B.C. D.3.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,已知,,,則()A.B.C. D.4.若兩個(gè)單位向量的夾角為,則()A.B.C.D.5.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A.B.C. D.6.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,則“”,是“為銳角三角形”的()條件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要7.已知平形四邊形的對(duì)角線分別為，且，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，則（）A.B.

C.D.8.已知是邊長(zhǎng)為的正的邊上的動(dòng)點(diǎn),為的中點(diǎn),則的取值范圍是()A.B.C. D.二、多選題（每小題5分，共4小題20分）9.已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的模等于B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

C.的共軛復(fù)數(shù)為D.若是純虛數(shù),則10.已知向量,,則下列選項(xiàng)正確的有()A. B.

C. D.11.在中,下列命題正確的是()A.B.

C.點(diǎn)O為的內(nèi)一點(diǎn),且,則為等腰三角形

D.,則為銳角三角形12.中,角的對(duì)邊分別為.下列四個(gè)論斷正確的是()A.若,則

B.若,,,則滿足條件的三角形共有兩個(gè)

C.若且則為正三角形

D.若,,,則三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13.已知向量,,.若,則__________.14.在中,,最大邊和最小邊邊長(zhǎng)是方程的兩實(shí)根,則邊長(zhǎng)等于__________.15.設(shè)向量,若與的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)的取值范圍__________16.如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，在延長(zhǎng)線上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，其中，則下列命題正確的是__________.（填上所有正確命題的序號(hào)）．①;②當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，;③的最大值為3;④若，則點(diǎn)有且只有一個(gè);⑤的最大值為1．四、解答題（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題滿分12分)（1）在復(fù)數(shù)集C中解下列方程：；（2）已知，求。18.(本小題滿分14分)已知平行四邊形ABCD中，，，M為AB的中點(diǎn)，N為BD上靠近B的三等分點(diǎn)．(1)用表示向量；(2)求證：M，N，C三點(diǎn)共線．19.(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，eq\r(3))，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)(包括端點(diǎn))，如圖．(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使，若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20.(本小題滿分15分)一架飛機(jī)從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達(dá)B地，然后向C地飛行．設(shè)C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C兩地相距2000km.（1）求飛機(jī)從B地到C地的距離．（2）求飛機(jī)從B地到C地的方向．21.(本小題滿分15分)在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)＝3bc，（1）若sinA＝2sinBcosC，試確定△ABC的形狀．（2）若BC＝3，求銳角△ABC周長(zhǎng)的范圍。

2021學(xué)年第一學(xué)期玉城中學(xué)高一下第一次月考數(shù)學(xué)答案1.A∵是第二象限角，∴，∴.2.B由已知,,即,所以,即.3.D因?yàn)?,,由余弦定理得,即,∴,∴或(舍).故選:D.4.C由兩個(gè)單位向量的夾角為,可得.所以.5.A,.故選A.6.C中,,∴,,因?yàn)?,所以為銳角.當(dāng)為銳角時(shí),不一定為銳角三角形;當(dāng)為銳角三角形時(shí),一定為銳角.所以“”是“為銳角三角形”的必要非充分條件.7.D，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn),∴，∴，∵,，8.A取的中點(diǎn),以為原點(diǎn),直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則:,,,設(shè),,∴,,∴,且,∴時(shí),取最小值;時(shí),取最大值,∴的取值范圍是.9.BD因?yàn)?所以,因此A項(xiàng)錯(cuò)誤;復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn),位于第四象限,B項(xiàng)正確;的共軛復(fù)數(shù),C項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以,,得,故D項(xiàng)正確.1O.ABD由題意,對(duì)于選項(xiàng)A,,所以,故A選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)B,,所以,所以,故B選項(xiàng)正確;對(duì)于選項(xiàng)C,,,,所以,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,,,即,故D選項(xiàng)正確.11.BC①由向量的減法法則可知:,題中的說(shuō)法錯(cuò)誤;②由向量加法的三角形法則可得:,題中的說(shuō)法正確;③因?yàn)?即;又因?yàn)?所以,即,所以是等腰三角形,題中的說(shuō)法正確;④若,則,據(jù)此可知為銳角,無(wú)法確定為銳角三角形,題中的說(shuō)法錯(cuò)誤.12.AC由正弦定理的邊化角公式可得,由于為三角形的內(nèi)角,則,故A正確;由于,則,,即滿足條件的三角形只有一個(gè),故B錯(cuò)誤;由正弦定理的角化邊公式得.又,所以,所以,則為正三角形,故C正確;由三角形面積公式得,解得,則,故D錯(cuò)誤.13.,∵,∴,解得.14.7方程的兩實(shí)根顯然不相等,∴不是等邊三角形,∵,∴,不是最大角也不是最小角,∴最大邊和最小邊是,.∴,是方程的兩實(shí)根,∴,,,.15.與的夾角為銳角,.16.①②③⑤點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分四部分：(1)當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，設(shè)，此時(shí)，．.(2)當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，設(shè)，則，，.同理，(3)當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，設(shè)，則，且．.(4)當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，設(shè)，則，且，.由以上四種情況，易知①③正確．在(4)中，令，則，故②正確．在(2)中，即點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，．在(3)中，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故滿足的點(diǎn)有兩個(gè)，所以④錯(cuò)誤．對(duì)以上四種情況分別求，(1)，(2)，(3)，(4)，綜合四種情況知，的最大值為1，⑤正確.綜上正確的命題有①②③⑤．解：（1）。（2）18．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝a.∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a.∵N為BD上靠近B的三等分點(diǎn)，∴eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)＋a＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.(2)證明：由(1)知eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MC,\s\up6(→))，又eq\o(NC,\s\up6(→))與eq\o(MC,\s\up6(→))有公共點(diǎn)C，∴M，N，C三點(diǎn)共線．19.解：（1）如下圖，設(shè)A地在東西基線和南北基線的交點(diǎn)處．則A(0,0)，B(－1000cos30°，1000sin30°)，即B(－500eq\r(3)，500)，C(－2000cos30°，－2000sin30°)，即C(－1000eq\r(3)，－1000)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－500eq\r(3)，－1500)．∴|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝eq\r(－500\r(3)2＋－15002)＝1000eq\r(3)(km)．（2）設(shè)正南方向的單位向量為j＝(0，－1)，則eq\o(BC,\s\up16(→))與正南方向的夾角θ滿足cosθ＝eq\f(\o(BC,\s\up16(→))·j,|\o(BC,\s\up16(→))||j|)＝eq\f(1500,1000\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴θ＝30°，由圖形可知eq\o(BC,\s\up16(→))的方向是南偏西30°20.解：(1)由題意可得eq\o(OA,\s\up16(→))＝(6,0)，eq\o(OC,\s\up16(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(3,0)，eq\o(CM,\s\up16(→))＝(2，－eq\r(3))，eq\o(CO,\s\up16(→))＝(－1，－eq\r(3))，所以cos∠OCM＝cos〈eq\o(CO,\s\up16(→))，eq\o(CM,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(CO,\s\up16(→))·\o(CM,\s\up16(→)),|\o(CO,\s\up16(→))||\o(CM,\s\up16(→))|)＝eq\f(\r(7),14).(2)設(shè)P(t，eq\r(3))，其中1≤t≤5，λeq\o(OP,\s\up16(→))＝(λt，eq\r(3)λ)，eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→))＝(6－λt，－eq\r(3)λ)，eq\o(CM,\s\up16(→))＝(2，－eq\r(3))，若(eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→)))⊥eq\o(CM,\s\up16(→))，則(eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→)))·eq\o(CM,\s\up16(→))＝0，即1