數(shù)學(xué)必修第一冊新教材講義第3章3.1.2第2課時(shí)函數(shù)的平均變化率Word版含答案

第2課時(shí)函數(shù)的平均變化率學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解斜率的含義及平均變化率的概念．(重點(diǎn))2．掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的充要條件．(重點(diǎn)、難點(diǎn))通過利用函數(shù)f(x)的平均變化證明f(x)在I上的單調(diào)性，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).1．直線的斜率(1)定義：給定平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱eq\f(y2－y1,x2－x1)為直線AB的斜率；(若記Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，當(dāng)Δx≠0時(shí)，斜率記為eq\f(Δy,Δx))，當(dāng)x1＝x2時(shí)，稱直線AB的斜率不存在．(2)作用：直線AB的斜率反映了直線相對于x軸的傾斜程度．2．平均變化率與函數(shù)單調(diào)性若I是函數(shù)y＝f(x)的定義域的子集，對任意x1，x2∈I且x1≠x2，記y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(Δf,Δx)＝\f(fx2－fx1,x2－x1)))，則(1)y＝f(x)在I上是增函數(shù)的充要條件是eq\f(Δy,Δx)＞0在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是減函數(shù)的充要條件是eq\f(Δy,Δx)＜0在I上恒成立．當(dāng)x1≠x2時(shí)，稱eq\f(Δf,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1＜x2時(shí))或[x2，x1](x1＞x2時(shí))上的平均變化率．通常稱Δx為自變量的改變量，Δy為因變量的改變量．3．平均變化率的物理意義(1)把位移s看成時(shí)間t的函數(shù)s＝s(t)，則平均變化率的物理意義是物體在時(shí)間段[t1，t2]上的平均速度，即eq\x\to(v)＝eq\f(st2－st1,t2－t1).(2)把速度v看成時(shí)間t的函數(shù)v＝v(t)，則平均變化率的物理意義是物體在時(shí)間段[t1，t2]上的平均加速度，即eq\x\to(a)＝eq\f(vt2－vt1,t2－t1).1．已知點(diǎn)A(1,0)，B(－1,1)，則直線AB的斜率為()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．2A[直線AB的斜率eq\f(1－0,－1－1)＝－eq\f(1,2).]2．如圖，函數(shù)y＝f(x)在[1,3]上的平均變化率為()A．1B．－1C．2 D．－2B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,3－1)＝－1.]3．一次函數(shù)y＝－2x＋3在R上是________函數(shù)．(填“增”或“減”)減[任取x1，x2∈R且x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2＋3，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是減函數(shù)．]4．已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5，當(dāng)x1＝4，且Δx＝1時(shí)，求Δy的平均變化率eq\f(Δy,Δx).[解]∵f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2xeq\o\al(2,1)＋3x1－5)＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.當(dāng)x1＝4，Δx＝1時(shí)，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21.則eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.平均變化率的計(jì)算【例1】一正方形鐵板在0℃時(shí)邊長為10cm，加熱后會膨脹，當(dāng)溫度為t℃時(shí)，邊長變?yōu)?0(1＋at)cm，a為常數(shù)．試求鐵板面積對溫度的平均膨脹率．[思路點(diǎn)撥]由正方形的邊長與面積關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，再求面積的平均變化率．[解]設(shè)溫度的增量為Δt，則鐵板面積S的增量ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨脹率eq\f(ΔS,Δt)＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.1．關(guān)于平均變化率的問題在生活中隨處可見，常見的有求某段時(shí)間內(nèi)的平均速度、平均加速度、平均膨脹率等．找準(zhǔn)自變量的改變量和因變量的改變量是解題的關(guān)鍵．2．求平均變化率只需要三個(gè)步驟：(1)求出或者設(shè)出自變量的改變量；(2)根據(jù)自變量的改變量求出函數(shù)值的改變量；(3)求出函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值．1．路燈距地面8m，一個(gè)身高為1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點(diǎn)C處沿直線勻速離開路燈．(1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式；(2)求人離開路燈10s內(nèi)身影長度y關(guān)于時(shí)間t的平均變化率．[解](1)如圖所示，設(shè)此人從C點(diǎn)運(yùn)動到B點(diǎn)的位移為xm，AB為身影長度，AB的長度為ym，由于CD∥BE，則eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，所以y＝0.25x.(2)84m/min＝1.4m/s，則y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10s內(nèi)平均變化率eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(3.5,10)＝0.35(m/s)，即此人離開燈10s內(nèi)身影長度y關(guān)于時(shí)間t的平均變化率為0.35m/s.利用平均變化率證明函數(shù)的單調(diào)性【例2】若函數(shù)y＝f(x)是其定義域的子集I上的增函數(shù)且f(x)＞0，求證：g＝eq\f(1,fx)在I上為減函數(shù)．[思路點(diǎn)撥]由y＝f(x)在I上為增函數(shù)的充要條件可得eq\f(Δy,Δx)＞0，再證eq\f(Δg,Δx)＜0即可．[證明]任取x1，x2∈I且x2＞x1，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，∵函數(shù)y＝f(x)是其定義域的子集I上的增函數(shù)，∴Δy＞0，eq\f(Δy,Δx)＞0，∴Δg＝g(x2)－g(x2)＝eq\f(1,fx2)－eq\f(1,fx1)＝eq\f(fx1－fx2,fx1fx2).又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，∴Δg＜0，∴eq\f(Δg,Δx)＜0，故g＝eq\f(1,fx)在I上為減函數(shù)．單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若函數(shù)fx，gx在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則：1fx與fx＋CC為常數(shù)具有相同的單調(diào)性.2fx與a·fx，當(dāng)a＞0時(shí)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)a＜0時(shí)具有相反的單調(diào)性.3當(dāng)fx恒為正值或恒為負(fù)值時(shí)，fx與eq\f(1,fx)具有相反的單調(diào)性.(4)在f(x)，g(x)的公共單調(diào)區(qū)間上，有如下結(jié)論：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)不能確定單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)不能確定單調(diào)性減函數(shù)2．已知函數(shù)f(x)＝1－eq\f(3,x＋2)，x∈[3,5]，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明．[解]由于y＝x＋2在[3,5]上是增函數(shù)，且恒大于零，因此，由性質(zhì)知f(x)＝1－eq\f(3,x＋2)為增函數(shù)．證明過程如下：任取x1，x2∈[3,5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，則Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－eq\f(3,x2＋2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,x1＋2)))＝eq\f(3,x1＋2)－eq\f(3,x2＋2)＝eq\f(3x2－x1,x1＋2x2＋2).∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，∴Δy＞0，∴eq\f(Δy,Δx)＞0，故函數(shù)f(x)在[3,5]上是增函數(shù)．二次函數(shù)的單調(diào)性最值問題[探究問題]1．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的對稱軸與區(qū)間[m，n]可能存在幾種位置關(guān)系，試畫草圖給予說明？提示：2．求二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，應(yīng)考慮哪些因素？提示：若求二次函數(shù)f(x)在[m，n]上的最值，應(yīng)考慮其開口方向及對稱軸x＝－eq\f(b,2a)與區(qū)間[m，n]的關(guān)系．【例3】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．[思路點(diǎn)撥][解]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax＋1的圖像開口向上，其對稱軸為x＝eq\f(a,2)，當(dāng)eq\f(a,2)≤eq\f(1,2)，即a≤1時(shí)，f(x)的最大值為f(1)＝2－a；當(dāng)eq\f(a,2)>eq\f(1,2)，即a>1時(shí)，f(x)的最大值為f(0)＝1.1．在題設(shè)條件不變的情況下，求f(x)在[0,1]上的最小值．[解](1)當(dāng)eq\f(a,2)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(0)＝1.(2)當(dāng)eq\f(a,2)≥1，即a≥2時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝2－a.(3)當(dāng)0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時(shí)，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))上單調(diào)遞增，故f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1－eq\f(a2,4).2．在本例條件不變的情況下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解]當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－x＋1，其圖像的對稱軸為x＝eq\f(1,2)，①當(dāng)t≥eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在其上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②當(dāng)t＋1≤eq\f(1,2)，即t≤－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在其上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(t＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＝t2＋t＋1；③當(dāng)t<eq\f(1,2)<t＋1，即－eq\f(1,2)<t<eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t＋1))上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4).二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，則二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情況：對稱軸與區(qū)間的關(guān)系－eq\f(b,2a)＜m＜n，即－eq\f(b,2a)∈(－∞，m)m＜－eq\f(b,2a)＜n，即－eq\f(b,2a)∈(m，n)m＜n＜－eq\f(b,2a)，即－eq\f(b,2a)∈(n，＋∞)圖像最值f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)1．平均變化率中Δx，Δy，eq\f(Δy,Δx)的理解(1)函數(shù)f(x)應(yīng)在x1，x2處有定義；(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可負(fù)；(3)注意變量的對應(yīng)，若Δx＝x2－x1，則Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；(4)平均變化率可正可負(fù)，也可為零．但是，若函數(shù)在某區(qū)間上的平均變化率為0，并不能說明該函數(shù)在此區(qū)間上的函數(shù)值都相等．2．判斷函數(shù)y＝f(x)在I上單調(diào)性的充要條件(1)y＝f(x)在I上單調(diào)遞增的充要條件是eq\f(Δy,Δx)＞0恒成立；(2)y＝f(x)在I上單調(diào)遞減的充要條件是eq\f(Δy,Δx)＜0恒成立.1．思考辨析(1)一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)從x1到x2的平均變化率為a.()(2)函數(shù)y＝f(x)的平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)的幾何意義是過函數(shù)y＝f(x)圖像上兩點(diǎn)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直線的斜率．()(3)在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意兩點(diǎn)的平均變化率都相等．()[答案](1)√(2)√(3)×2．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)從1到4的平均變化率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D．3A[Δy＝eq\r(4)－eq\r(1)＝1，Δx＝4－1＝3，則平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,3).]3．李華在參加一次同學(xué)聚會時(shí)，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華認(rèn)為：