5.5三角恒等變換（十二大題型）（原卷版）

5．5三角恒等變換【題型歸納目錄】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式題型二：兩角和與差的正切公式題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用題型四：給角求值題型五：給值求值題型六：給值求角題型七：利用半角公式化簡求值問題題型八：三角恒等式的證明題型九：輔助角公式的應(yīng)用題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用【知識點梳理】知識點一：兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；（3）公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．知識點二：兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如當(dāng)或中有一個角是的整數(shù)倍時，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；（4）使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．（5）記憶時要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．知識點三：兩角和與差的正切函數(shù)知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了．（4）公式對分配律不成立，即．知識點四：理解并運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索，能幫助學(xué)生理解和記憶公式，是學(xué)好本部分的關(guān)鍵．（2）誘導(dǎo)公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況．，中若有為的整數(shù)倍的角時，使用誘導(dǎo)公式更靈活、簡便，不需要再用兩角和、差公式展開．2、重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視．常見的角的變換有：；；；等，常見的三角變換有：切化弦、等．知識點五：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當(dāng)時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識點六：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識點三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型求值題、化簡題、證明題1、對公式會“正著用”，“逆著用”，也會運用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方、湊項、添項、換元等；2、掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的角的關(guān)系，如等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運用公式，也要抓住角之間的規(guī)律（如互余、互補、和倍關(guān)系等等）；3、將公式和其它知識銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接．知識點七：升（降）冪縮（擴(kuò)）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識點詮釋：利用二倍角公式的等價變形：，進(jìn)行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．知識點八：輔助角公式1、形如的三角函數(shù)式的變形：令，，則（其中角所在象限由的符號確定，角的值由確定，或由和共同確定．）2、輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過應(yīng)用公式（或），將形如（不同時為零）收縮為一個三角函數(shù)（或）．這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡、求值等．知識點九：半角公式（以下公式只要求會推導(dǎo)，不要求記憶），以上三個公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的．以上兩個公式稱作半角正切的有理式表示．知識點十：積化和差公式知識點詮釋：規(guī)律1：公式右邊中括號前的系數(shù)都有．規(guī)律2：中括號中前后兩項的角分別為和．規(guī)律3：每個式子的右邊分別是這兩個角的同名函數(shù)．知識點十一：和差化積公式知識點詮釋：規(guī)律1：在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2．規(guī)律2：在所有的公式中，左邊都是角與的弦函數(shù)相加減，右邊都是與的弦函數(shù)相乘．規(guī)律3：在第三個公式中，左邊是兩個余弦相加，右邊是兩個余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于倆扣”；而第四個公式中，左邊是兩個余弦相減，右邊沒有余弦相乘，于是得出“扣減扣等于沒扣”．規(guī)律4：兩角正弦相加減時，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系．2、只有系數(shù)絕對值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式．如就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式．3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只要沒有運算錯誤，其結(jié)果實質(zhì)上是一樣的．4、為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值，如．5、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個三角函數(shù)式的最簡形式．【典型例題】題型一：兩角和與差的正（余）弦公式例1．（）A． B． C． D．例2．的值為（）A． B．C． D．例3．的值為（

）A．0 B．C． D．變式1．=（

）A． B． C． D．變式2．的值等于（

）A． B．1 C．0 D．變式3．（

）A． B． C． D．變式4．的值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．題型二：兩角和與差的正切公式例4．（

）A． B． C．1 D．例5．若，則的值為（

）A． B．1C． D．2例6．，則（

）A． B．2 C． D．變式5．的值為（

）A．－1 B．0 C．1 D．2變式6．（

）A．1 B． C．3 D．變式7．（

）A． B．1 C． D．變式8．的值為（

）．A． B． C． D．變式9．已知，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【方法技巧與總結(jié)】公式的變形應(yīng)予以靈活運用．題型三：二倍角公式的簡單應(yīng)用例7．化簡：．例8．已知，則．例9．若，則．變式10．若，則的值為.變式11．若，則的值為變式12．已知，且，則的值為．變式13．已知，則的值為．變式14．已知是第二象限角，且，則．變式15．若，則.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用二倍角公式化簡（求值）的策略：化簡求值關(guān)注四個方向：分別從“角”“函數(shù)名”“冪”“形”著手分析，消除差異．題型四：給角求值例10．求.例11．若，則.例12．______.變式16．.變式17．化簡：（

）A． B． C． D．變式18．計算：（）A． B． C． D．變式19．（

）A．1 B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題時，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡求值，在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．題型五：給值求值例13．已知，，則（

）A． B． C． D．例14．已知，則等于（

）A． B． C． D．例15．已知，則的值為（

）A． B． C． D．變式20．已知，，則（

）A． B． C． D．變式21．已知，則（

）A． B． C． D．變式22．已知，則（

）A． B． C． D．變式23．已知為第二象限角，，則（

）A． B．C． D．變式24．已知，則（

）A． B． C． D．變式25．已知，則（

）A． B． C． D．變式26．已知，為銳角，，，則的值為（

）A． B． C． D．變式27．已知，求（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中角的關(guān)系，適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①；②；③；④．題型六：給值求角例16．已知，，且和均為鈍角，則的值為（

）A． B． C．或 D．例17．若，，且，，則（

）A． B． C． D．例18．若，，且，，則的值為（

）A． B． C． D．變式28．已知，，若，則（

）A． B． C． D．變式29．已知，，，，則（

）A．或 B．C． D．變式30．已知，，，，則（

）A． B． C． D．變式31．已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．變式32．設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．變式33．設(shè)，則的大小是（

）A． B． C． D．或【方法技巧與總結(jié)】解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟（1）給值求角問題的步驟．①求所求角的某個三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．（2）選取函數(shù)的原則．①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．題型七：利用半角公式化簡求值問題例19．已知，則．例20．已知，，則.例21．已知，，則.變式34．已知：，，則.變式35．化簡：.變式36．已知，且，則的值是.變式37．在△ABC中，若，，求，，的值.【方法技巧與總結(jié)】1、化簡問題中的“三變”（1）變角：三角變換時通常先尋找式子中各角之間的聯(lián)系，通過拆、湊等手段消除角之間的差異，合理選擇聯(lián)系它們的公式．（2）變名：觀察三角函數(shù)種類的差異，盡量統(tǒng)一函數(shù)的名稱，如統(tǒng)一為弦或統(tǒng)一為切．（3）變式：觀察式子的結(jié)構(gòu)形式的差異，選擇適當(dāng)?shù)淖冃瓮緩剑缟齼?、降冪、配方、開方等．2、利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角與待求角的2倍關(guān)系．（2）明范圍：求出相應(yīng)半角的范圍為定符號作準(zhǔn)備．（3）選公式：涉及半角公式的正、余弦值時，常利用計算．提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意確定其符號．題型八：三角恒等式的證明例22．已知，求證：．例23．已知，求證：．例24．已知，求證：.變式38．求證下列恒等式：(1)；(2)變式39．已知下列是兩個等式：①；②；(1)請寫出一個更具一般性的關(guān)于三角的等式，使上述兩個等式是它的特例；(2)請證明你的結(jié)論；變式40．求證：．變式41．小萌在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下5個式子都成立．①；②；③；④；⑤．她覺著好像有某種規(guī)律，你能幫她總結(jié)出這個規(guī)律么？并證明這個結(jié)論；并利用這一結(jié)論計算的值．變式42．求證：.【方法技巧與總結(jié)】三角恒等式證明的常用方法（1）執(zhí)因索果法：證明的形式一般化繁為簡；（2）左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子；（3）拼湊法：針對題設(shè)和結(jié)論之間的差異，有針對性地變形，以消除它們之間的差異，簡言之，即化異求同；（4）比較法：設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“左邊/右邊＝1”；（5）分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立．題型九：輔助角公式的應(yīng)用例25．在中，，則的取值范圍.例26．已知,且，，則的值是．例27．關(guān)于點對稱，則a的值為.變式43．函數(shù)在上的值域是.變式44．若方程有解，則m的取值范圍是.變式45．已知函數(shù)的最大值為2，則=.變式46．若，則的取值范圍是．變式47．若時，函數(shù)取得最小值，則．變式48．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則θ的一個取值為．變式49．函數(shù)的最大值為.變式50．已知函數(shù)，若．則的最小正周期為．【方法技巧與總結(jié)】輔助角公式的應(yīng)用策略（1）進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘恰⒆兒瘮?shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．（2）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性．題型十：三角恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合例28．設(shè)函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值及此時的值．例29．已知向量，.設(shè)函數(shù)(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值及取到最小值時的值.例30．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和．(1)求實數(shù)a和b的值；(2)當(dāng)x為何值時，取得最大值．變式51．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值，以及相應(yīng)的集合；(2)求函數(shù)的增區(qū)間．變式52．已知函數(shù)，其中，有如下三個條件：條件①：；條件②：；條件③：.從以上三個條件中選擇一個作為已知，求解下列問題.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的最大值為1，求實數(shù)m的最小值.注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.變式53．已知函數(shù)的圖象過原點，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，試確定的值，并求的值.變式54．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在上的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.變式55．已知.(1)將表示成的形式；(2)求在上的最大值.變式56．已知函數(shù)，且的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若函數(shù)在有且僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問題的三個步驟：（1）運用和、差、倍角公式化簡；（2）統(tǒng)一化成的形式；（3）利用輔助角公式化為的形式，研究其性質(zhì)．題型十一：利用兩角和與差的余弦進(jìn)行證明例31．(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導(dǎo)：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.例32．如圖，點A、B分別是角的終邊與單位圓的交點（1）證明：；（2）設(shè)，求的值．例33．如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點，當(dāng)時，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，．（1）敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；（2）利用兩角差的余弦公式與誘導(dǎo)公式．證明：．（附：平面上任意兩點，間的距離公式變式57．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點，.（1）請分別利用向量與的數(shù)量積的定義式和坐標(biāo)式，證明：.（2）已知（1）中的公式對任意的，都成立(不用證)，請用該公式計算的值，并證明：.變式58．如圖，考慮點，，，，從這個圖出發(fā).（1）推導(dǎo)公式：；（2）利用（1）的結(jié)果證明：，并計算的值.【方法技巧與總結(jié)】利用定義證明．題型十二：三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用例34．如圖所示，已知OPQ是半徑為2，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，求當(dāng)角取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．例35．現(xiàn)某公園內(nèi)有一個半徑為米扇形空地，且，公園管理部門為了優(yōu)化公園功能，決定在此空地上建一個矩形的老年活動場所，如下圖所示有兩種情況可供選擇.(1)若選擇圖一，設(shè)，請用表示矩形的面積，并求面積最大值(2)如果選擇圖二，求矩形的面積最大值，并說明選擇哪種方案更優(yōu)（面積最大）（參考數(shù)據(jù)，）例36．已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點.ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為.(1)當(dāng)時，求矩形的面積的值.(2)求關(guān)于角的解析式，并求的最大值.變式59．如圖，矩形內(nèi)接于半徑為1、中心角為（其中）的扇形，且，求矩形面積的最大值，并求此時的長．變式60．如圖，長方形ABCD，，，的直角頂點P為AD中點，點M、N分別在邊AB，CD上，令．(1)當(dāng)時，求梯形BCNM的面積S；(2)求的周長l的最小值，并求此時角的值．變式61．如圖，在直徑為1的圓中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中.(1)將十字形的面積表示成的函數(shù)；(2)求十字形面積的最大值，并求出此時的值.變式62．已知某標(biāo)準(zhǔn)足球場長105米，寬68米，球門寬米，某球員沿邊線帶球進(jìn)攻，他距離底線多遠(yuǎn)處射門，命中率最高？（注：對球門所張的角最大時命中率最高）變式63．從秦朝統(tǒng)一全國幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡稱“孔方兄”）是我國使用時間長達(dá)兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個字“同治通寶”．某模具廠計劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙設(shè)計如圖2所示，小圓直徑為，內(nèi)嵌一個大正方形孔，四周是四個全等的小正方形（邊長比孔的邊長?。總€正方形有兩個頂點在圓周上，另兩個頂點在孔邊上，四個小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字．設(shè)，五個正方形的面積和為．(1)求面積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)求面積最小值．變式64．如圖，有一塊矩形草坪，，，欲在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路、和，要求是的中點，點在邊上，點在邊上，且.（1）設(shè)，試求的周長關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經(jīng)核算，三條路的鋪設(shè)費用均為元每米，試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低？【方法技巧與總結(jié)】解決這類問題的關(guān)鍵是巧妙設(shè)元，使其他各有關(guān)的量均能用表示，建立關(guān)于的函數(shù)，再運用倍角公式、和角公式．構(gòu)成函數(shù)，然后進(jìn)行三角變換求解是解決此類問題的常用方法．注意數(shù)形結(jié)合思想在解決題中的應(yīng)用．【過關(guān)測試】一、單選題1．已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．2．若角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．3．我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用