一種多分辨分析的閾值去噪方法

一種多分辨分析的閾值去噪方法

1半軟閾值去噪方法在現(xiàn)實(shí)生活中，信號在接收和傳輸過程中不可避免地會引入噪聲，這會影響后續(xù)處理結(jié)果。為了進(jìn)行更高層次的后續(xù)處理，有必要去除信號的噪聲。1994年,D.LDonoho和I.M.Johnstone在小波變換的基礎(chǔ)上提出了閾值去噪的概念后,該方法在去噪方面得到了廣泛應(yīng)用。閾值函數(shù)關(guān)系著重構(gòu)信號的連續(xù)性和精度,對小波去噪的效果有很大的影響。目前,閾值的處理分硬閾值、軟閾值和半軟閾值三種處理方式。其中硬閾值處理是將信號的絕對值與閾值進(jìn)行比較,小于閾值的點(diǎn)變?yōu)榱?其他保持不變;軟閾值處理是將信號的絕對值和閾值進(jìn)行比較,當(dāng)數(shù)據(jù)的絕對值小于閾值時(shí),令其為零,大于或等于閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)則向零收縮,變?yōu)樵擖c(diǎn)值與閾值之差;半軟閾值處理提出了上閾值和下閾值,將信號的絕對值與上、下閾值進(jìn)行比較,小于或等于下閾值的點(diǎn)變?yōu)榱?大于上閾值的點(diǎn)保持不變,而對于信號的絕對值介于下閾值和上閾值之間的點(diǎn)作收縮處理。硬閾值函數(shù)的不連續(xù)性使得去噪后的信號較之原信號偏差較大且仍然含有明顯的噪聲;采用軟閾值方法雖然連續(xù)性好,但估計(jì)小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定的偏差,使得去噪后的信號方差過大,當(dāng)噪聲信號很不規(guī)則時(shí)顯得過于光滑;半軟閾值函數(shù)是硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的一種折衷形式,保留了較大的系數(shù)而且具有連續(xù)性,但是半軟閾值函數(shù)需要確定兩個(gè)閾值,增加了算法的復(fù)雜程度,且上、下閾值的選取影響著重構(gòu)信號的精度。此外,文獻(xiàn)中給出的閾值函數(shù)雖然解決了估計(jì)小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定偏差的問題,但是其連續(xù)性差;文獻(xiàn)中提出的閾值函數(shù)雖然其連續(xù)性好,但是估計(jì)小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定偏差的問題仍然沒有解決。為了克服上述去噪方法存在的缺點(diǎn),本文提出了一種新的閾值函數(shù),其連續(xù)性好且便于調(diào)節(jié),能夠解決估計(jì)小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定偏差的問題,具有較高的實(shí)用價(jià)值。2小波閾值量化約束假設(shè)一個(gè)疊加了高斯白噪聲的信號為:其中s(t)為原始信號,n(t)為方差σ2的高斯白噪聲,服從N(0,σ2)。真實(shí)信號通常為低頻或比較平穩(wěn)的信號,而噪聲則表現(xiàn)為高頻信號。小波變換的稀疏性及去相關(guān)性保證了真實(shí)信號小波變換的能量集中在有限的小波系數(shù)上,由信號產(chǎn)生的小波系數(shù)幅值較大,但其數(shù)目較小;而高斯噪聲的小波變換仍呈高斯分布,噪聲的能量比較均勻地分布在所有的小波系數(shù)上,其對應(yīng)的小波系數(shù)幅值較小。因此通過在不同尺度上選取合適的閾值,并對小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理,從而使噪聲得到有效的抑制,最后進(jìn)行小波逆變換,得到去噪后的重構(gòu)信號。小波閾值去噪的過程可以分為如下三個(gè)步驟:(1)對含噪信號作小波分解。選擇合適的小波并確定分解層次,然后進(jìn)行分解計(jì)算,得到一組小波系數(shù)wjue0a8k。(2)對小波分解后的高頻系數(shù)作閾值量化處理。對各個(gè)分解尺度下的高頻系數(shù)選擇一個(gè)閾值進(jìn)行閾值量化處理,得到估計(jì)小波系數(shù)。(3)小波逆變換對信號重構(gòu)得到去噪信號。根據(jù)小波分解的最底層低頻系數(shù)和各層閾值量化后的高頻系數(shù)進(jìn)行小波重構(gòu),得到估計(jì)信號,即為去噪后的信號。小波閾值去噪原理如圖1所示。3閾值的選擇和量化如何選取閾值和閾值函數(shù)是實(shí)現(xiàn)小波去噪算法中最關(guān)鍵的兩個(gè)問題,它關(guān)系到信號去噪的質(zhì)量。經(jīng)典的閾值函數(shù)主要有以下三種:(1)硬閾值函數(shù)(2)軟閾值函數(shù)(3)閾值過大造成的抗噪機(jī)理其中λ2為上閾值,λ1為下閾值。對于閾值函數(shù)而言,如果閾值取得過大,在濾掉噪聲的同時(shí),也可能將信號的細(xì)節(jié)信息濾掉,導(dǎo)致信號過度平滑;而閾值過小又會保留噪聲,達(dá)不到去噪的目的。目前常用的閾值選擇方法有:(1)固定閾值它是根據(jù)D.L.Donoho和I.M.Johnstone給出的關(guān)于閾值估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)定理確定的閾值。(2)p2ppv3在不同的尺度上選擇不同的閾值并收縮此尺度的小波系數(shù)。設(shè)P=[p1，p2,…,pn],并且p1<p2<…<pn,P的元素為小波系數(shù)的平方按由小到大的順序排列。定義風(fēng)險(xiǎn)向量R,其元素為。以R中元素的最小值rα作為風(fēng)險(xiǎn)值,由rα的下標(biāo)α求出對應(yīng)的閾值:(3)閾值選取方式啟發(fā)式閾值是前兩種閾值的綜合,所選擇的是最優(yōu)預(yù)測變量閾值。如果信噪比很小時(shí),按式(4)選取閾值,如果信噪比很大時(shí),按式(5)選取閾值。設(shè)sum為N個(gè)小波系數(shù)的平方和,令μ=(sum-N)/N,υ=(lbN)3/2×N1/2,則(4)最小值和閾值最小最大準(zhǔn)則閾值也是一種固定的閾值選擇形式,它所產(chǎn)生的是一個(gè)最小均方差的極值,而不是無誤差。其中N為信號采樣長度,σ為噪聲方差。4半軟閾值函數(shù)硬、軟閾值和半軟閾值方法雖然在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用,也取得了較好的效果,但這些算法本身存在著一些缺陷。在硬閾值方法中,處理過的小波系數(shù)在|wj,k|=λ處是不連續(xù)的,在信號重構(gòu)時(shí)容易產(chǎn)生Pseudo-Gibbs現(xiàn)象;而經(jīng)過軟閾值方法處理過的小波系數(shù)雖然整體連續(xù)性好,但與wj,k之間總是存在著恒定的偏差,使得去噪后的信號方差過大,當(dāng)噪聲信號很不規(guī)則時(shí)顯得過于光滑,這將直接影響重構(gòu)信號和原始信號的逼近程度,給重構(gòu)信號帶來不可避免的誤差;半軟閾值函數(shù)是硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)的一種折衷形式,保留了較大的系數(shù)而且具有連續(xù)性,但是半軟閾值函數(shù)需要確定兩個(gè)閾值,增加了算法的復(fù)雜程度,且上、下閾值的選取影響著重構(gòu)信號的精度。為了克服硬、軟閾值和半軟閾值方法的缺點(diǎn),文獻(xiàn)提出了兩種改進(jìn)的閾值函數(shù),分別如下所示:(1)函數(shù)1其中β為調(diào)節(jié)因子,且β為正數(shù)。(2)閾值函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)其中,且α為正數(shù)。閾值函數(shù)1雖然解決了估計(jì)小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定偏差的問題,但是其連續(xù)性差;閾值函數(shù)2雖然其連續(xù)性好,但是估計(jì)小波系數(shù)與含噪信號的小波系數(shù)之間存在恒定偏差的問題仍然沒有解決。為了克服上述缺點(diǎn),在這里提出了一種新的閾值函數(shù):由式(10)知,新閾值函數(shù)繼承了函數(shù)1和函數(shù)2的優(yōu)點(diǎn)。首先,新閾值函數(shù)具有連續(xù)性,當(dāng)|wj,k|=λ,,當(dāng)時(shí),,即wj,k在|wj,k|=λ處是連續(xù)的,且當(dāng)|wj,k|≥λ,其高階可導(dǎo),便于進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理。其次,當(dāng)|wj,k|→∞時(shí),,因此新閾值函數(shù)以直線為漸近線,隨著wj,k的增加逐漸接近wj,k,克服了軟閾值函數(shù)中與wj,k之間總是存在著恒定的偏差的缺點(diǎn)。當(dāng)α=0時(shí),新閾值函數(shù)就為函數(shù)1,即當(dāng)β?0時(shí),新閾值函數(shù)為硬閾值函數(shù),當(dāng)β→0時(shí),新閾值函數(shù)為軟閾值函數(shù);當(dāng)α→0時(shí)新閾值函數(shù)就變?yōu)橛查撝岛瘮?shù)。因此與函數(shù)1和函數(shù)2相比,新閾值函數(shù)不僅具有整體連續(xù)性的優(yōu)點(diǎn),而且調(diào)節(jié)更加靈活,通過調(diào)節(jié)α、β來得到實(shí)用的閾值函數(shù)。5新閾值去噪方法的信號去噪效果(1)為了檢驗(yàn)新閾值函數(shù)的去噪效果,說明新閾值函數(shù)在去噪算法中的有效性,使用Matlab軟件對含噪的Heavisine和Droppler信號,分別用傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)、半軟閾值函數(shù)以及文獻(xiàn)中的閾值函數(shù)與新閾值函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。在進(jìn)行小波分解時(shí),選取小波基為dB4,分解層數(shù)取為4,閾值。Heavisine信號去噪后的效果如圖2所示。Droppler信號去噪后的效果如圖3所示。(2)信號去噪效果可以用信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)來描述。SNR的定義為:MSE的定義為:各種閾值函數(shù)對Heavisine信號和Droppler信號去噪后的信噪比和均方誤差,分別如表1和表2所示。對Heavisine信號去噪后,從圖2和表1中可以看出:硬閾值函數(shù)去噪后波形存在較多的振蕩點(diǎn);軟閾值函數(shù)去噪后波形雖然光滑,但信號重構(gòu)的精度較差;半軟閾值函數(shù)去噪后雖然信噪比有所增加,但是波形仍存在著一部分振蕩點(diǎn);函數(shù)1由于對小波系數(shù)的處理仍然是不連續(xù)的,去噪后波形仍存在一些振蕩點(diǎn),并且信噪比提高也不大;函數(shù)2雖然解決了連續(xù)性的問題,但是沒有解決與小波系數(shù)存在恒定偏差的缺陷,去噪效果波形雖然光滑但是信號重構(gòu)的精度仍然較差。與以上方法相比較,基于新閾值函數(shù)的小波閾值去噪方法得到的信號波形較為光滑,提高了信噪比,得到較小的均方誤差,去噪效果最好且便于調(diào)節(jié),具有較高的實(shí)用價(jià)值。對Droppler信號去噪后,從圖3和表2中可以看出:硬、軟閾值函數(shù)去噪后波形仍然存在振蕩點(diǎn),且信噪比提高幅度不大;函數(shù)2雖然解決了連續(xù)性的問題,但是沒有解決與小波系數(shù)存在恒定偏差的缺陷,去噪效果波形雖然光滑但是信號重構(gòu)的精度仍然較差。新閾值函數(shù)得到的信號波形較為光滑,提高了信噪比,得到了較小的均方誤差。6新閾值函數(shù)仿真實(shí)驗(yàn)針對傳統(tǒng)的硬、軟閾值函數(shù)和半軟閾值函數(shù)以及文獻(xiàn)中閾值函數(shù)去噪的缺點(diǎn),提出了一種新的閾值函數(shù)。對Heavisine和Droppl