生物統(tǒng)計(jì)與田間試驗(yàn)：第六章 方差分析

第六章方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理第二節(jié)多重比較第三節(jié)方差分析的線性模型與期望均方第四節(jié)單向分組資料的方差分析第五節(jié)兩向分組資料的方差分析第六節(jié)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換第一節(jié)方差分析的基本原理

所謂方差分析(analysisofvariance),是關(guān)于k(k≥3)個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測(cè)驗(yàn)方法，是將總變異剖分為各個(gè)變異來(lái)源的相應(yīng)部分，從而發(fā)現(xiàn)各變異原因在總變異中相對(duì)重要程度的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。

假設(shè)測(cè)驗(yàn)的依據(jù)是:扣除了各種試驗(yàn)原因所引起的變異后的剩余變異提供了試驗(yàn)誤差的無(wú)偏估計(jì)。

這里采用均方來(lái)度量試驗(yàn)處理產(chǎn)生的變異和誤差引起的變異.方差是平方和除以自由度的商。一、自由度和平方和的分解

設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個(gè)觀察值，則該資料共有nk個(gè)觀察值，其數(shù)據(jù)分組如表6.1。表6.1

每組具n個(gè)觀察值的k組數(shù)據(jù)的符號(hào)表組別觀察值(yij，i=1，2，…，k；j=1,2…，n)總和平均均方1y11y12…y1j…y1nT12y21y22…y2j…y2nT2……iyi1yi2…yij…yinTi……kyk1yk2…ykj…yknTk

在表6.1中，總變異是nk個(gè)觀察值的變異，故其自由度v=nk－1，而其平方和SST則為：（6·1）其中的C稱為矯正數(shù)：(6·2)對(duì)于第

i

組的變異，有從而總變異(6·1)可以剖分為:（6·3）即總平方和=組內(nèi)(誤差)平方和+處理平方和

組間變異由k個(gè)的變異引起，故其自由度v

=k－1,組間平方和SSt為：

組內(nèi)變異為各組內(nèi)觀察值與組平均數(shù)的變異，故每組具有自由度v=n－1和平方和；而資料共有k組，故組內(nèi)自由度

v

=k(n－1),組內(nèi)平方和SSe為：(6·5)

（6·4）因此，得到表6.1類型資料的自由度分解式為：(6·6)

總自由度DFT=組間自由度DFt+組內(nèi)自由度DFe

求得各變異來(lái)源的自由度和平方和后，進(jìn)而可得:(6·7)[例6.1]以A、B、C、D4種藥劑處理水稻種子，其中A為對(duì)照，每處理各得4個(gè)苗高觀察值(cm)，其結(jié)果如表6.2，試分解其自由度和平方和。表6.2

水稻不同藥劑處理的苗高(cm)藥劑苗高觀察值總和Ti

平均A182120137218B202426229223C101517145614D2827293211629T=336=21

根據(jù)(6·6)進(jìn)行總自由度的剖分：

總變異自由度DFT=(nk－1)=(4

4)－1=15

藥劑間自由度DFt=(k－1)=4－1=3

藥劑內(nèi)自由度DFe=k(n－1)=4(4－1)=12根據(jù)(6·3)進(jìn)行總平方和的剖分：或或藥劑A內(nèi)：

藥劑B內(nèi)：藥劑C內(nèi)：藥劑D內(nèi)：所以

進(jìn)而可得均方：二、F分布與F測(cè)驗(yàn)

在一個(gè)平均數(shù)為、方差為的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本，分別求得其均方s12和s22，將s12和s22

的比值定義為F：（6·8）此F值具有s12

的自由度v1和s22的自由度v2。

所謂F分布，就是在給定的v1和v2下按上述方法從正態(tài)總體中進(jìn)行一系列抽樣，就可得到一系列的F值而作成一個(gè)分布。F分布下一定區(qū)間的概率可從已制成的統(tǒng)計(jì)表查出。F分布曲線特征：（1）具有平均數(shù)=1（2）取值區(qū)間為[0，∞]；（3）某一特定曲線的形狀則僅決定于參數(shù)v1和v2。在v1=1或v1=2時(shí)，F(xiàn)分布曲線是嚴(yán)重傾斜成反向J型；當(dāng)v1≥3時(shí)，曲線轉(zhuǎn)為偏態(tài)(圖6.1)。圖6.1F分布曲線（隨v1和v2的不同而不同）F測(cè)驗(yàn)需具備條件：(1)變數(shù)y遵循正態(tài)分布N(，)，(2)s12和s22彼此獨(dú)立。

另外，在F測(cè)驗(yàn)中，如果作分子的均方小于作分母的均方，則F<1；此時(shí)不必查F表即可確定P>0.05，應(yīng)接受H0。[例6.2]測(cè)定東方紅3號(hào)小麥的蛋白質(zhì)含量10次，得均方s12=1.621；測(cè)定農(nóng)大139小麥的蛋白質(zhì)含量5次，得均方s22=0.135。試測(cè)驗(yàn)東方紅3號(hào)小麥蛋白質(zhì)含量的變異是否比農(nóng)大139為大。

假設(shè)H0：東方紅小麥總體蛋白質(zhì)含量的變異和農(nóng)大139一樣，即

，對(duì)

。

顯著水平=0.05，v1=9，v2=4時(shí)，F(xiàn)0.05=6.00。測(cè)驗(yàn)計(jì)算:F=1.621/0.135=12.01

此F>F0.05，即P<0.05。

推斷：否定H0，接受HA，即東方紅3號(hào)小麥蛋白質(zhì)含量的變異大于農(nóng)大139。[例6.3]在例6.1算得藥劑間均方st2=168.00，藥劑內(nèi)均方se2=8.17，具自由度v1=3，v2=12。試測(cè)驗(yàn)藥劑間變異是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？假設(shè)

對(duì)

顯著水平=0.05，

F0.05=3.49。測(cè)驗(yàn)計(jì)算：F=168.00/8.17=20.56

查附表5

v1

=3，v2=12時(shí)

F0.05

=3.49，F(xiàn)0.01=5.95，實(shí)得F>F0.01>F0.05

。

推斷：否定

，接受

；即藥劑間變異顯著地大于藥劑內(nèi)變異，不同藥劑對(duì)水稻苗高是具有不同效應(yīng)的。

例6.1和例6.3的分析結(jié)果可以歸納在一起，列出方差分析表，如表6.3所示。表6.3

水稻藥劑處理苗高方差分析表變異來(lái)源DFSSMSF顯著F值藥劑處理間3504168.0020.56＊＊F

0.05(3,12)=3.49

藥劑處理內(nèi)(誤差)12988.17F

0.01(3,12)=5.95總15602第二節(jié)多重比較

所謂多重比較（multiplecomparisons）是指一個(gè)試驗(yàn)中k個(gè)處理平均數(shù)間可能有k(k－1)/2個(gè)比較，亦稱為復(fù)式比較。

多重比較有多種方法，本節(jié)將介紹常用的三種：最小顯著差數(shù)法復(fù)極差法(q法)Duncan氏新復(fù)極差法一、最小顯著差數(shù)法

最小顯著差數(shù)法(leastsignificantdifference，簡(jiǎn)稱LSD法)，

法實(shí)質(zhì)上是第五章的t測(cè)驗(yàn)。其程序是：（1）在處理間的F測(cè)驗(yàn)為顯著的前提下，計(jì)算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)；（2）任何兩個(gè)平均數(shù)的差數(shù)()，如其絕對(duì)值≥，即為在水平上差異顯著；反之，則為在水平上差異不顯著。

已知：若|t|≥，即為在水平上顯著。因此，最小顯著差數(shù)為：(6·9)當(dāng)兩樣本的容量n相等時(shí)，

在方差分析中，上式的se2有了更精確的數(shù)值MSe（因?yàn)榇俗杂啥仍龃螅?，因?6·9)中的為：(6·10)[例6.4]試以LSD法測(cè)驗(yàn)表6.2資料各種藥劑處理的苗高平均數(shù)間的差異顯著性。由(例6.3)計(jì)算得F=20.56為顯著，MSe=8.17，DFe=12，故由附表4，v=12時(shí)，t0.05=2.179，t0.01=3.055故LSD0.05=2.179×2.02=4.40(cm)

LSD0.01=3.055×2.02=6.17(cm)

然后將各種藥劑處理的苗高與對(duì)照苗高相比，差數(shù)大于4.40cm為差異顯著；大于6.17cm為差異極顯著。二、q法

q測(cè)驗(yàn)是Student-Newman-Keul基于極差的抽樣分布理論提出來(lái)的，或稱復(fù)極差測(cè)驗(yàn)，有時(shí)又稱SNK測(cè)驗(yàn)或NK測(cè)驗(yàn)。

q法是將一組k個(gè)平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個(gè)平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差值的。

q測(cè)驗(yàn)因是根據(jù)極差抽樣分布原理的，其各個(gè)比較都可保證同一個(gè)顯著水平。

q測(cè)驗(yàn)尺度值構(gòu)成為：(6·11)(6·12)

式中2≤p≤k，p是所有比較的平均數(shù)按大到小順序排列所計(jì)算出的兩極差范圍內(nèi)所包含的平均數(shù)個(gè)數(shù)(稱為秩次距)。

SE為平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，可見在每一顯著水平下該法有k－1個(gè)尺度值。平均數(shù)比較時(shí)，尺度值隨秩次距的不同而異。[例6.5]試對(duì)表6.2資料的各平均數(shù)作q測(cè)驗(yàn)。

由6.1資料得：

查附表7q值表，當(dāng)DF=12時(shí)，p=2，3，4的值，并由(6·11)計(jì)算出尺度值，列于表6.4。pq0.05q0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.406.1833.775.045.397.2144.205.506.017.87表6.4

表6.2資料值的計(jì)算(q測(cè)驗(yàn))由表6.2可知,=29cm，=23cm,=18cm，

=14cm。：由此可得到----當(dāng)p=2時(shí)，=6(cm)5％水平上顯著；=5(cm)5％水平上顯著；=4(cm)不顯著。當(dāng)p=3時(shí)，=11(cm)1％水平上顯著；=9(cm)1％水平上顯著。當(dāng)p=4時(shí)，=15(cm)1％水平上顯著。三、新復(fù)極差法

新復(fù)極差法是D.B.Duncan(1955)基于不同秩次距p下的最小顯著極差變幅比較大而提出的，又稱最短顯著極差法(shortestsignificantranges，SSR)。查得后，有（6·13）

此時(shí)，在不同秩次距p下，平均數(shù)間比較的顯著水平按兩兩比較是，但按p個(gè)秩次距則為保護(hù)水平[例6.6]試對(duì)表6.2資料的各平均數(shù)作新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)。已知=29cm，=23cm，

=18cm，=14cm，

MSe=8.17，

查附表8，得值，由(6·13)算得在p=2，3，4時(shí)的值(表6.5)，即為測(cè)驗(yàn)不同p時(shí)的平均數(shù)間極差顯著性的尺度值。pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.324.406.1833.234.554.626.5143.334.684.766.69表6.5

表6.2資料LSR值的計(jì)算(新復(fù)極差測(cè)驗(yàn))當(dāng)p=2時(shí)，=6(cm)5％水平顯著；

=5(cm)5％水平顯著；

=4(cm)不顯著。當(dāng)p=3時(shí)，

=11(cm)1％水平上顯著；

=9(cm)1％水平上顯著。當(dāng)p=4時(shí)，

=15(cm)

1％水平上顯著。

結(jié)論：表6.2資料的4個(gè)處理的苗高，除處理A與C差異不顯著外，其余處理間均達(dá)顯著差異，本例結(jié)果與上面介紹的q測(cè)驗(yàn)法相同，但q法的要比新復(fù)極差法的大。四、多重比較結(jié)果的表示方法(一)列梯形表法(二)劃線法(三)標(biāo)記字母法

將全部平均數(shù)從大到小順次排列，然后算出各平均數(shù)間的差數(shù)。凡達(dá)到=0.05水平的差數(shù)在右上角標(biāo)一個(gè)“*”號(hào)，凡達(dá)到=0.01水平的差數(shù)在右上角標(biāo)兩個(gè)“*”號(hào),凡未達(dá)到=0.05水平的差數(shù)則不予標(biāo)記。若以列梯形表法表示，則成表6.6。(一)列梯形表法處理平均數(shù)()差異

－14－18

－23D2915**11**6*B239**5*A184C14表6.6

表6.2資料的差異顯著性(新復(fù)極差測(cè)驗(yàn))優(yōu)點(diǎn)：十分直觀，缺點(diǎn)：占篇幅較大，特別是處理平均數(shù)較多時(shí)。(二)劃線法

將平均數(shù)按大小順序排列，以第1個(gè)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)與以后各平均數(shù)比較，在平均數(shù)下方把差異不顯著的平均數(shù)用橫線連接起來(lái)，依次以第2，…，k－1個(gè)平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)按上述方法進(jìn)行。這種方法稱劃線法。下面就是表6.2資料用劃線法標(biāo)出0.01水平下平均數(shù)差異顯著性結(jié)果(q法)。29cm(D)23cm(B)18cm(A)14cm(C)

優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單方便，所占篇幅也較少。(三)標(biāo)記字母法：

（1）將全部平均數(shù)從大到小依次排列。（2）在最大的平均數(shù)上標(biāo)上字母a；將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)相比，相差不顯著的，都標(biāo)上字母a，直至某一個(gè)與之相差顯著的平均數(shù)則標(biāo)以字母b(向下過(guò)程)，（3）再以該標(biāo)有b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與上方各個(gè)比它大的平均數(shù)比，凡不顯著的也一律標(biāo)以字母b(向上過(guò)程)；再以該標(biāo)有b的最大平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與以下各未標(biāo)記的平均數(shù)比，凡不顯著的繼續(xù)標(biāo)以字母b，直至某一個(gè)與之相差顯著的平均數(shù)則標(biāo)以字母c?！?/p>

（4）如此重復(fù)進(jìn)行下去，直至最小的一個(gè)平均數(shù)有了標(biāo)記字母且與以上平均數(shù)進(jìn)行了比較為止。（5）這樣各平均數(shù)間，凡有一個(gè)相同標(biāo)記字母的即為差異不顯著，凡沒(méi)有相同標(biāo)記字母的即為差異顯著。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可以小寫字母表示=0.05顯著水平，大寫字母表示=0.01顯著水平。

（1）在表6.7上先將各平均數(shù)按大小順序排列，并在行上標(biāo)a。（2）由于與呈顯著差異，故上標(biāo)b。（3）然后以為標(biāo)準(zhǔn)與相比呈顯著差異，故標(biāo)c。（4）以為標(biāo)準(zhǔn)與比，無(wú)顯著差異，仍標(biāo)c。同理，可進(jìn)行4個(gè)在1％水平上的顯著性測(cè)驗(yàn)，結(jié)果列于表6.7。[例6.7]試對(duì)例6.6測(cè)驗(yàn)結(jié)果作出字母標(biāo)記。表6.7

表6.2資料的差異顯著性(新復(fù)極差測(cè)驗(yàn))處理苗高平均數(shù)(cm)差異顯著性0.050.01D29aAB23bABA18c

BCC14cC

由表6.7就可清楚地看出，該試驗(yàn)除A與C處理無(wú)顯著差異外，D與B及A、C處理間差異顯著性達(dá)到=0.05水平。處理B與A、D與B、A與C無(wú)極顯著差異；D與A、C，B與C呈極顯著差異。五、多重比較方法的選擇多重比較方法選用原則：

（1）試驗(yàn)事先確定比較的標(biāo)準(zhǔn)，凡與對(duì)照相比較，或與預(yù)定要比較的對(duì)象比較，一般可選用最小顯著差數(shù)法；（2）根據(jù)否定一個(gè)正確的H0和接受一個(gè)不正確的H0的相對(duì)重要性來(lái)決定。

方差分析的基本步驟是：（1）將資料總變異的自由度和平方和分解為各變異原因的自由度和平方和，并進(jìn)而算得其均方；（2）計(jì)算均方比，作出F測(cè)驗(yàn)，以明了各變異因素的重要程度；（3）對(duì)各平均數(shù)進(jìn)行多重比較。第三節(jié)方差分析的線性模型與期望均方一、方差分析的線性數(shù)學(xué)模型

方差分析的理論依據(jù)：線性可加模型，即總體每一個(gè)變量可以按其變異的原因分解成若干個(gè)線性組成部分。例如表6.1數(shù)據(jù)的線性模型可表示為：（6·14）其中，為總體平均數(shù)，為試驗(yàn)處理效應(yīng)，為隨機(jī)誤差具有分布N(0，)。象表6.1類型的資料，其每一觀測(cè)值都由這三個(gè)部分相加而成。在以樣本符號(hào)表示時(shí)，樣本的線性組成為：(6·15)其中，是的無(wú)偏估計(jì)量，是的無(wú)偏估計(jì)量，為其所屬亞總體誤差方差的無(wú)偏估計(jì)量。當(dāng)測(cè)驗(yàn)H0：時(shí)，假定和，可看作是總體的無(wú)偏估計(jì)量。也是的無(wú)偏估計(jì)量。因而

對(duì)于ti部分，每一樣本的平方和是，故k個(gè)樣本的平方和是，而處理間方差st2為：(6·16)

因?yàn)椋使烙?jì)了，或?；?qū)憺椋?6·17)二、期望均方

在線性可加模型中，關(guān)于部分的假定，由于對(duì)有不同的解釋產(chǎn)生了固定模型(Ⅰ)和隨機(jī)模型(Ⅱ)。

固定模型是指各個(gè)處理的平均效應(yīng)是固定的一個(gè)常量，且滿足(或)，但常數(shù)未知；主要是研究并估計(jì)處理效應(yīng)；固定模型中所得的結(jié)論僅在于推斷關(guān)于特定的處理；隨機(jī)模型是指各個(gè)處理效應(yīng)不是一個(gè)常量，而是從平均數(shù)為零、方差為的正態(tài)總體中得到的一個(gè)隨機(jī)變量，即～N(0，)。主要是研究并估計(jì)總體變異即方差。而隨機(jī)模型中試驗(yàn)結(jié)論則將用于推斷處理的總體.(一)固定模型（fixedmodel）[例6.8]以5個(gè)水稻品種作大區(qū)比較試驗(yàn)，每品種作3次取樣，測(cè)定其產(chǎn)量，所得數(shù)據(jù)為單向分組資料。本試驗(yàn)需明確各品種的效應(yīng)，故為固定模型，其方差分析和期望均方的參數(shù)估計(jì)列于表6.8。表6.85個(gè)水稻品種產(chǎn)量的方差分析和期望均方表變異來(lái)源DFSSMS期望均方(EMS)：固定模型品種間487.621.90品種內(nèi)(試驗(yàn)誤差)1024.02.40為固定效應(yīng)的方差本例中品種內(nèi)MS估計(jì)了，因而；品種間MS估計(jì)了因而固定模型的F測(cè)驗(yàn)

若，則F值等于1。

所以固定模型是測(cè)驗(yàn)假設(shè)H0：(i=1，2，…，k)對(duì)HA：，即測(cè)驗(yàn)H0：。因而，一般比較處理效應(yīng)的試驗(yàn)都應(yīng)當(dāng)采用固定模型(二)隨機(jī)模型(randommodel)[例6.9]研究秈粳稻雜交F5代系間單株干草重的遺傳變異，隨機(jī)抽取76個(gè)系進(jìn)行試驗(yàn)，每系隨機(jī)取2個(gè)樣品測(cè)定干草重(g/株)。因這76個(gè)系是隨機(jī)抽取的樣本，要從這些樣本來(lái)估計(jì)F5代系間單株干草重的遺傳變異，故這是隨機(jī)模型。其單向分組分析結(jié)果見表6.9。表6.9

秈粳雜種F5代干草重的方差分析和期望均方

變異來(lái)源DFMS期望均方(EMS)：隨機(jī)模型系統(tǒng)間7572.79系統(tǒng)內(nèi)(試驗(yàn)誤差)7617.77為隨機(jī)效應(yīng)的方差本例中系統(tǒng)內(nèi)MS估計(jì)了，因而；系統(tǒng)間MS估計(jì)了,因而隨機(jī)模型的F測(cè)驗(yàn)若假設(shè)，則F=1。因而，隨機(jī)模型的假設(shè)為H0：對(duì)HA：。顯然，這是測(cè)驗(yàn)處理效應(yīng)的變異度(方差)，而不是測(cè)驗(yàn)處理效應(yīng)本身。

隨機(jī)模型方差分析在數(shù)量遺傳學(xué)中的應(yīng)用:

如果F測(cè)驗(yàn)顯著則表示處理間的變異是顯著的。本例F=72.79/17.77=4.09>F0.05，說(shuō)明是存在的。=25.71測(cè)度了系統(tǒng)間變異。本例中，(或記為)代表了系間遺傳型的變異；代表了環(huán)境條件所致的變異(記作)。

代表了系間的表型變異，因而可求出遺傳型變異占表型變異的份量，這就是數(shù)量遺傳中常用的遺傳率，即：（6·18）

當(dāng)試驗(yàn)因素在2個(gè)或2個(gè)以上時(shí)，可以在固定模型和隨機(jī)模型的基礎(chǔ)上產(chǎn)生第三種模型：混合模型(記作模型Ⅲ）。

混合模型乃既包括有固定模型的試驗(yàn)因素，又包括有隨機(jī)模型的試驗(yàn)因素的模型。這類模型凡隨機(jī)因素仍用表示，固定模型用表示。混合模型中的期望均方組成因包括有不同的成份，應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)木竭M(jìn)行F測(cè)驗(yàn)。第四節(jié)單向分組資料的方差分析

單向分組資料是指觀察值僅按一個(gè)方向分組的資料示。所用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)為完全隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)。一、組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析二、組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的單向分組資料的方差分析三、組內(nèi)又分亞組的單向分組資料的方差分析分類一、組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析這是在k組處理中，每處理皆含有n個(gè)供試單位的資料如表6.1。在作方差分析時(shí)，其任一觀察值的線性模型皆由表示，方差分析如表6.10。表6.10

組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析

變異來(lái)源自由度DF平方和SS均方MSF期望均方EMS固定模型隨機(jī)模型處理間k－1MStMSt/MSe誤差k(n－1)MSe總變異nk－

1[例6.10]作一水稻施肥的盆栽試驗(yàn)，設(shè)5個(gè)處理，A和B系分別施用兩種不同工藝流程的氨水，C施碳酸氫銨，D施尿素，E不施氮肥。每處理4盆(施肥處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.2克)，共5×4=20盆，隨機(jī)放置于同一網(wǎng)室中，其稻谷產(chǎn)量(克/盆)列于表6.11，試測(cè)驗(yàn)各處理平均數(shù)的差異顯著性。表6.11

水稻施肥盆栽試驗(yàn)的產(chǎn)量結(jié)果處理觀察值(yij)(克/盆)A(氨水1)2430282610827.0B(氨水2)272421269824.5C(碳酸氫銨)3128253011428.5D(尿素)3233332812631.5E(不施)212216218020.052626.3(1)自由度和平方和的分解總變異自由度DFT=nk－1=5×4－1=19

處理間自由度DFt=k－1=5－1=4

誤差(處理內(nèi))自由度DFe=k(n－1)=5×(4－1)=15

矯正數(shù)(2)F測(cè)驗(yàn)將上述結(jié)果錄入表6.12表6.12

表6.11資料的方差分析變異來(lái)源DFSSMSFF0.05F0.01

處理間4301.275.3011.19**3.064.89

處理內(nèi)(試驗(yàn)誤差)15101.06.73

總變異19402.2

假設(shè)H0:，HA:不全相等。為了測(cè)驗(yàn)H0，計(jì)算處理間均方對(duì)誤差均方的比率，算得F=75.3/6.73=11.19

查F表當(dāng)v1=4，v2=15時(shí)，F(xiàn)0.01=4.89，現(xiàn)實(shí)得F=11.19>F0.01，故否定H0，推斷這個(gè)試驗(yàn)的處理平均數(shù)間是有極顯著差異的。(3)各處理平均數(shù)的比較算得單個(gè)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤

根據(jù)=15，查SSR表得p=2，3，4，5時(shí)的SSR0.05與SSR0.01值，將

值分別乘以SE值，即得值，列于表6.13。進(jìn)而進(jìn)行多重比較(表6.14)。pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.173.905.4133.164.374.105.6743.254.504.225.8453.314.584.295.94表6.13

多重比較時(shí)的值計(jì)算表6.14

施肥效果的顯著性(SSR測(cè)驗(yàn))處理平均產(chǎn)量(克/盆)差異顯著性5%1%

尿素31.5aA

碳酸氫銨28.5abAB

氨水127.0bcAB

氨水224.0c

BC

不施20.0dC

推斷：根據(jù)表6.14多重比較結(jié)果可知，施用氮肥(A、B、C和D)與不施氮肥有顯著差異，且施用尿素、碳酸氫銨、氨水1與不施氮肥均有極顯著差異；尿素與碳酸氫銨、碳酸氫銨與氨水1、氨水1與氨水2處理間均無(wú)顯著差異。二、組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的單向分組資料的方差分析

若k個(gè)處理中的觀察值數(shù)目不等，分別為n1，n2，…，nk，在方差分析時(shí)有關(guān)公式因ni不相同而需作相應(yīng)改變。主要區(qū)別點(diǎn)如下：(1)自由度和平方和的分解(6·19)(6·20)(2)多重比較平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為：

上式的nA和nB系兩個(gè)相比較的平均數(shù)的樣本容量。但亦可先算得各ni的平均數(shù)n0。然后有：

或(6·22)(6·21)(6·23)(6·24)[例6.11]某病蟲測(cè)報(bào)站，調(diào)查四種不同類型的水稻田28塊，每塊田所得稻縱卷葉螟的百叢蟲口密度列于表6.15，試問(wèn)不同類型稻田的蟲口密度有否顯著差異？表6.15

不同類型稻田縱卷葉螟的蟲口密度

稻田類型編號(hào)ni12345678Ⅰ1213141515161710214.577Ⅱ1410111314117312.176Ⅲ921011121312118010.008Ⅳ1211109810127210.297T=32711.6828

該資料=7+6+8+7=28

故總變異自由度DFT=－1=28－1=27

稻田類型間自由度DFt=k－1=4－1=3

誤差自由度DFe=－k=28－4=24求得：表6.16

表6.15資料的方差分析變異來(lái)源DFSSMSFF0.01稻田類型間396.1332.045.91**4.72誤差24129.985.42總變異27226.11

表6.16所得F=5.91>F0.01，因而應(yīng)否定H0：即4塊麥田的蟲口密度間有極顯著差異。F測(cè)驗(yàn)顯著，再作平均數(shù)間的比較。需進(jìn)一步計(jì)算n0，并求得SE(LSR測(cè)驗(yàn)）或(LSD測(cè)驗(yàn))。如在此可有：三、組內(nèi)又分亞組的單向分組資料的方差分析

單向分組資料，如果每組又分若干個(gè)亞組，而每個(gè)亞組內(nèi)又有若干個(gè)觀察值，則為組內(nèi)分亞組的單向分組資料，或稱系統(tǒng)分組資料。系統(tǒng)分組并不限于組內(nèi)僅分亞組，亞組內(nèi)還可分小組，小組內(nèi)還可分小亞組，……，如此一環(huán)套一環(huán)地分下去。這種試驗(yàn)稱為巢式試驗(yàn)(nestedexperiment）。

設(shè)一系統(tǒng)分組資料共有l(wèi)組，每組內(nèi)又分m個(gè)亞組，每一亞組內(nèi)有n觀察值，則該資料共有l(wèi)mn個(gè)觀察值，其資料類型如表6.17。組別亞組觀察值亞組總和Tij亞組均數(shù)組總和Ti組均數(shù)1…T12…T2…i1yi11yi12…yi1k…yi1nTi1Ti2yi21yi22…yi2k…yi2nTi2jyij1yij2…yijk…yijnTijmyim1yim2…yimk…yimnTim…l…Tl表6.17

二級(jí)系統(tǒng)分組資料個(gè)觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

(i=1，2，…，l；j=1，2，…，m；k=1，2，…，n)

表6.17中每一觀察值的線性可加模型為：(6·25)

其中為總體平均；

為同一亞組中各觀察值的隨機(jī)變異，具有N(0，)。

為組效應(yīng)或處理效應(yīng)固定模型()隨機(jī)模型～N(0，)

為同組中各亞組的效應(yīng)固定模型()隨機(jī)模型～N(0，)

表6.17的任一觀察值的總變異可分解為3種來(lái)源的變異：（1）組間(或處理間)變異；（2）同一組內(nèi)亞組間變異；（3）同一亞組內(nèi)各重復(fù)觀察值間的變異。其自由度和平方和的估計(jì)如下：(1)總變異自由度(6·26)(6·27)(6·28)(2)組間(處理間)變異(6·29)(3)同一組內(nèi)亞組間的變異(6·30)(4)亞組內(nèi)的變異(6·31)表6.18

二級(jí)系統(tǒng)分組資料的方差分析

變異來(lái)源DFSSMSF期望均方(EMS)混合模型隨機(jī)模型組間組內(nèi)亞組間亞組內(nèi)總變異

為測(cè)驗(yàn)各亞組間有無(wú)不同效應(yīng)，即測(cè)驗(yàn)假設(shè)H0：則(6·32)

為測(cè)驗(yàn)各組間有無(wú)不同效應(yīng)，測(cè)驗(yàn)假設(shè)H0：，或H0：,即H0:，則(6·33)

在進(jìn)行組間平均數(shù)的多重比較時(shí)，單個(gè)平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為：(6·34)若進(jìn)行組內(nèi)亞組間平均數(shù)的多重比較,則單個(gè)平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為：(6·35)

[例6.12]在溫室內(nèi)以4種培養(yǎng)液(l=4)培養(yǎng)某作物,每種3盆(m=3)，每盆4株(n=4)，一個(gè)月后測(cè)定其株高生長(zhǎng)量(mm)，得結(jié)果于表6.19，試作方差分析。培養(yǎng)液ABCD總和盆號(hào)A1A2A3B1B2B3C1C2C3D1D2D3生長(zhǎng)量503545505555856570606065553540456045607070558565403040505065908070354585354050455055856570707575盆總和Tij180140175190215220320280280220265290T=2775培養(yǎng)液總和Ti495625880775培養(yǎng)液平均41.352.173.364.6表6.194種培養(yǎng)液下的株高增長(zhǎng)量(mm)(1)自由度和平方和的分解

總變異自由度DFT=lmn－1=(4

3

4)－1=47

培養(yǎng)液間自由度DFt=l-1=4－1=3

培養(yǎng)液內(nèi)盆間自由度DFe1=l(m－1)=4

(3－1)=8

盆內(nèi)株間自由度DFe2=lm(n－1)=4

3

(4－1)=36總變異平方和

培養(yǎng)液間平方和培養(yǎng)液內(nèi)盆間平方和

盆內(nèi)株間平方和(2)F測(cè)驗(yàn)表6.20

表6.19資料的方差分析變異來(lái)源DFSSMSFF0.05F0.01

培養(yǎng)液間37126.562375.5215.05**4.077.59

培養(yǎng)液內(nèi)盆間81262.50157.811.772.223.04

盆內(nèi)株間363206.2589.06

總變異4711595.31

盆間差異的F測(cè)驗(yàn)，假設(shè)H0：，求得：

查表得,

v1=8,v2=36時(shí)，F(xiàn)0.05=2.22>F，故接受H0：。

對(duì)培養(yǎng)液間有無(wú)不同效應(yīng)作F測(cè)驗(yàn)，假設(shè)H0：，求得：

查表得,

v1=3,v2=8時(shí)，F(xiàn)0.01=7.59<F，故否定H0：，接受HA：≠0.

推斷：該試驗(yàn)同一培養(yǎng)液內(nèi)各盆間的生長(zhǎng)量無(wú)顯著差異；而不同培養(yǎng)液間的生長(zhǎng)量有極顯著的差異。故前者不需再作多重比較，后者則需進(jìn)一步測(cè)驗(yàn)各平均數(shù)間的差異顯著性。(3)各培養(yǎng)液平均數(shù)間的比較

根據(jù)期望均方，培養(yǎng)液平均數(shù)間的比較應(yīng)用MSe1，求得：

按v=8，由附表7查得p=2，3，4時(shí)的SSR0.05和SSR0.01值，并算得各LSR值列于表6.21。由LSR值對(duì)4種培養(yǎng)液植株生長(zhǎng)量進(jìn)行差異顯著性測(cè)驗(yàn)的結(jié)果列于表6.22。表6.21

4種培養(yǎng)液的LSR值(新復(fù)極差測(cè)驗(yàn))PSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.264.7411.8317.2133.395.0012.3118.1543.475.1412.6018.66表6.224種培養(yǎng)液植株生長(zhǎng)量(mm)的差異顯著性培養(yǎng)液平均生長(zhǎng)量差異顯著性0.050.01C73.3aAD64.6aABB52.1b

BCA41.3bC

由表6.22可見，4種培養(yǎng)液對(duì)生長(zhǎng)量的效應(yīng)，除C與D、B與A差異不顯著外，其余對(duì)比均有顯著或極顯著差異。第五節(jié)兩向分組資料的方差分析

兩因素試驗(yàn)中若因素A的每個(gè)水平與因素B的每個(gè)水平均衡相遇(或稱正交)，則所得試驗(yàn)數(shù)據(jù)按兩個(gè)因素交叉分組稱為兩向分組資料。一、組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的方差分析二、組合內(nèi)有重復(fù)觀察值的兩向分組資料的方差分析

設(shè)有A和B兩個(gè)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，每一處理組合僅有1個(gè)觀察值，則全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀察值，其資料類型如表6.23。一、組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的方差分析表6.23

完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的二因素試驗(yàn)每處理組合只有一個(gè)觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）A因素B因素總計(jì)Ti.平均

B1B2…BbA1y11y12…y1bT1.A2y21y22…y2bT2.Aaya1ya2yabTa.總和T.j

T.1T.2…T.bT..平均…表6.23中觀察值的線性模型為：(6·36)

上式的為總體平均；和分別為A和B的效應(yīng)，可以是固定模型(，)或隨機(jī)模型[～N(0，)，～N(0，)]；相互獨(dú)立的隨機(jī)誤差服從正態(tài)總體N(0，)。

(6·36)說(shuō)明表6.23類型資料的總變異()可分解為A因素第i水平效應(yīng)、B因素第j水平效應(yīng)和試驗(yàn)誤差三個(gè)部分。其各項(xiàng)變異來(lái)源自由度和平方和的估計(jì)及方差分析見表6.24。表6.24

表6.23類型資料自由度和平方和的分解及方差分析變異來(lái)源DFSSMSF混合模型EMS(A固定，B隨機(jī))A因素

a

－1B因素

b－1誤差(a－1)(b－1)總變異

ab－1表6.24中F測(cè)驗(yàn)所作假設(shè)為H0：；H0：。[例6.13]采用5種生長(zhǎng)素處理豌豆，未處理為對(duì)照，待種子發(fā)芽后，分別每盆中移植4株，每組為6盆，每盆一個(gè)處理，試驗(yàn)共有4組24盆，并按組排于溫室中，使同組各盆的環(huán)境條件一致。當(dāng)各盆見第一朵花時(shí)記錄4株豌豆的總節(jié)間數(shù)，結(jié)果列于表6.25，試作方差分析。處理(A)組(B)總和Ti.

平均ⅠⅡⅢⅣ未處理(CK)6062616024360.8赤霉素6565686526365.8動(dòng)力精6361616024561.3吲哚乙酸6467636125563.8硫酸腺嘌吟6265626425363.3馬來(lái)酸6162626525062.5總和T.j375382377375T=1509表6.25

生長(zhǎng)素處理豌豆的試驗(yàn)結(jié)果(1)自由度和平方和的分解表6.26

表6.25資料的方差分析變異來(lái)源DFSSMSFF0.05組間35.451.82＜1處理間565.8713.174.562.90誤差1543.302.89總變異23114.62(2)F測(cè)驗(yàn)上表對(duì)組間有無(wú)不同效應(yīng)作F測(cè)驗(yàn)，假設(shè)H0：，得：對(duì)處理間有無(wú)不同效應(yīng)作F測(cè)驗(yàn)有H0：得：

推斷：組間環(huán)境條件無(wú)顯著差異，不同生長(zhǎng)素處理間有顯著差異。(3)處理間比較此例有預(yù)先指定的對(duì)照，故用LSD法。求得：(節(jié)間)查得=15時(shí)，t0.05=2.131，t0.01=2.947，故：LSD0.05=1.202×2.131=2.56(節(jié)間)，

LSD0.01=1.202×2.947=3.54(節(jié)間)以LSD測(cè)驗(yàn)各生長(zhǎng)素處理與對(duì)照的差異顯著性于表6.27。結(jié)果赤霉素的效應(yīng)最強(qiáng)，吲哚乙酸次之，其余處理皆與對(duì)照無(wú)顯著差異。表6.27

豌豆生長(zhǎng)素處理后始花時(shí)的節(jié)間數(shù)(4株總和)處理平均數(shù)與對(duì)照的差數(shù)對(duì)照60.8-赤霉素65.85.0**動(dòng)力精61.30.5吲哚乙酸63.83.0*硫酸腺嘌吟63.32.5馬來(lái)酸62.51.7二、組合內(nèi)有重復(fù)觀察值的兩向分組資料的方差分析

設(shè)有A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，共有ab個(gè)處理組合，每一組合有n個(gè)觀察值，則該資料有abn個(gè)觀察值。如果試驗(yàn)按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，則其資料類型如表6.28。A因素B因素總和平均B1B2…BbTi··A1y111y121…y1b1T1··y112y122…y1b2y11ny12n…y1bnA2y211y221…y2b1T2··y212y222…y2b2y21ny22n…y2bnAaya11ya21…yab1Ta··ya12ya22…yab2ya1nya2n…yabn總和T·j·T·1·T·2·…T·b·T···

平均…表6.28完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的二因素試驗(yàn)，每處理組合有重復(fù)觀察值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

(i=1，2，…，a；j=1,2，…，b；k=1,2，…，n)表6.28中觀察值的線性模型為：(6·37)

上式的為總體平均；和分別為因素A和B的效應(yīng)；為A×B互作；為隨機(jī)誤差，遵循分布N(0，)。上式說(shuō)明表6.28類型資料的總變異()可分解為A因素效應(yīng)、B因素效應(yīng)、A×B互作和試驗(yàn)誤差四個(gè)部分。其各變異來(lái)源的自由度和平方和估計(jì)可見表6.29。表6.29

表6.28類型資料自由度和平方和的分解(C=T2/abn)

變異來(lái)源DFSSMS

處理組合ab－1a－1b－1(a－1)(b－1)

試驗(yàn)誤差ab(n－1)

總變異abn－1

線性模型的假定條件隨試驗(yàn)?zāi)Ｐ投煌Ｔ诠潭Ｐ蜁r(shí)，滿足條件：，，；對(duì)于隨機(jī)模型時(shí)，滿足條件：、和都是相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，遵循正態(tài)分布，具平均數(shù)0并分別有方差、和。由于有兩個(gè)試驗(yàn)因素，故在兩種模型的基礎(chǔ)上可產(chǎn)生第三種模型：混合模型。混合模型的假定是一因素的效應(yīng)隨機(jī)，另一因素的效應(yīng)固定。

例如，若A的效應(yīng)隨機(jī)，B的效應(yīng)固定，則滿足條件：

,而和皆為相互獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，遵循具平均數(shù)0，方差分別為和的正態(tài)分布。各種模型的期望均方見表6.30。表6.30

表6.28類型資料各變異來(lái)源的期望均方變異來(lái)源MS期望均方(EMS)模型Ⅰ：固定模型模型Ⅱ：隨機(jī)模型混合模型(A隨機(jī)，B固定)A因素B因素A×B互作試驗(yàn)誤差

由表6.30可見，對(duì)效應(yīng)和互作進(jìn)行F測(cè)驗(yàn)的分母需因模型的不同而不同：

在固定模型時(shí)，測(cè)驗(yàn)H0：，H0：和H0：皆以MSe為分母；在隨機(jī)模型時(shí)，測(cè)驗(yàn)H0：以MSe為分母，而測(cè)驗(yàn)H0：和H0：需以MSAB為分母；在A隨機(jī)B固定的混合模型中，測(cè)驗(yàn)H0：和H0：以MSe為分母，而測(cè)驗(yàn)H0：需以MSAB為分母。[例6.14]施用A1、A2、A33種肥料于B1、B2、B33種土壤，以小麥為指示作物，每處理組合種3盆，得產(chǎn)量結(jié)果(g)于表6.31。試作方差分析。表6.31

3種肥料施于3種土壤的小麥產(chǎn)量（g）(a=3,b=3,n=3,abn=27)肥料種類(A)盆土壤種類(B)總和平均B1(油砂)B2(二合)B2(白僵)A1121.419.617.6221.218.816.6169.218.8320.116.417.562.754.851.7A2112.013.013.3214.213.714.0118.213.1312.112.013.938.338.741.2A3112.814.212.0213.813.614.6122.013.6313.713.314.040.341.140.6總和141.3134.6133.5T=409.4平均15.715.014.8(1)自由度和平方和的分解表6.32

表6.31資料的方差分析變異來(lái)源DFSSMSFF0.01

處理組合間8202.5889.6996.65**6.012179.3889.6996.65**6.0123.961.982.136.01419.244.815.18**4.58

試驗(yàn)誤差1816.700.928

總變異26219.28(2)F測(cè)驗(yàn)

以固定模型作F測(cè)驗(yàn)。假設(shè)H0：,求得F=4.81/0.928=5.18>F0.01；假設(shè)H0：，求得F=89.69/0.928=96.65>F0.01；假設(shè)H0：,求得F=1.98/0.928=2.13<F0.05。

所以該試驗(yàn)肥類×土類的互作和肥類的效應(yīng)間差異都是極顯著的，而土類間無(wú)顯著差異。(3)平均數(shù)的比較①各處理組合平均數(shù)的比較：肥類×土類的互作顯著，說(shuō)明各處理組合的效應(yīng)不是各單因素效應(yīng)的簡(jiǎn)單相加，而是肥類效應(yīng)隨土類而不同(或反之)；所以宜進(jìn)一步比較各處理組合的平均數(shù)。在此用新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)，求得：根據(jù)v=18，算得各LSR0.05和LSR0.01的值于表6.33。表6.33

表6.31資料各處理組合平均數(shù)的LSR值(新復(fù)極差測(cè)驗(yàn))p23456789SSR0.052.973.123.213.273.323.353.373.39SSR0.014.074.274.384.464.534.594.644.68LSR0.051.651.731.781.821.851.861.871.88LSR0.012.262.372.442.482.522.552.582.60

將表6.31的各個(gè)Tij.值除以n=3，即得各處理組合的平均數(shù)，以表6.33的顯著尺度測(cè)驗(yàn)各平均數(shù)的差異顯著性于表6.34。表6.34

表6.31資料各處理組合平均數(shù)的新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)處理組合平均數(shù)(g)差異顯著性0.050.01A1B120.9aAA1B218.3b

BA1B317.2b

BA2B313.7cCA3B213.7cCA3B313.5cCA3B113.4cCA2B212.9cCA2B112.8cC②各肥類平均數(shù)的比較：肥類間的F測(cè)驗(yàn)極顯著，說(shuō)明≠0。求得肥類平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：

故有各肥類平均數(shù)的LSR值于表6.35，顯著性測(cè)驗(yàn)結(jié)果于表6.36。表6.35

表6.31資料肥類平均數(shù)的LSR值pSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.974.070.951.3033.124.271.001.37表6.36

表6.31資料各肥類平均數(shù)的新復(fù)極差測(cè)驗(yàn)肥料種類平均數(shù)差異顯著性0.050.01A118.8aAA313.6bBA213.1bB

由表6.36可見，肥料A1與A3、A2均有極顯著的差異；但A3與A2無(wú)顯著差異。

綜上所述，表6.31試驗(yàn)結(jié)果的基本信息是：肥料A1

對(duì)小麥的增產(chǎn)效果最好，土類間則無(wú)顯著差異；但A1施于油砂土(A1B1)卻比施于其他土壤上更有突出的增產(chǎn)效果第六節(jié)方差分析的基本假定和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換一、方差分析的基本假定二、數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換一、方差分析的基本假定

方差分析是建立在線性可加模型的基礎(chǔ)上的。所有進(jìn)行方差分析的數(shù)據(jù)都可以分解成幾個(gè)分量之和，以例6.13資料(樣本)采用6生長(zhǎng)素處理試驗(yàn)資料為例，該資料具有三類原因或效應(yīng)：

(1)處理(生長(zhǎng)素)原因或效應(yīng)；

(2)環(huán)境(組)原因或效應(yīng)；

(3)試驗(yàn)誤差(這是處理內(nèi)和環(huán)境內(nèi)的其它非可控因素的變異)。故其線性模型為：

建立這一模型，有如下3個(gè)基本假定：(1)處理效應(yīng)與環(huán)境效應(yīng)等應(yīng)該具有“可加性”(additivity)

以組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的線性可加模型為例予以說(shuō)明，如對(duì)其取離差式，則上式兩邊各取平方求其總和，則得平方和為：(6·38)

因?yàn)槿愒蚓髯元?dú)立，所以右邊有三個(gè)乘積和，即、和，皆為零值。當(dāng)從樣本估計(jì)時(shí)，則為：或樣本平方和的可加性:

對(duì)于非可加性資料，一般需作對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換或其他轉(zhuǎn)換，使其效應(yīng)變?yōu)榭杉有?，才能符合方差分析的線性模型。

有一種非可加性事例是效應(yīng)表現(xiàn)為倍加性。將倍加性數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為對(duì)數(shù)尺度，則又表現(xiàn)為可加性模型。如表6.37假設(shè)數(shù)字(不考慮誤差).表6.37

可加性模型與非可加性模型的比較處理可加性倍加性對(duì)倍加性取對(duì)數(shù)(lg10)121212A102010201.001.30B304030601.481.78(2)試驗(yàn)誤差應(yīng)該是隨機(jī)的、彼此獨(dú)立的，具有平均數(shù)為零