基于新課標的初中代數(shù)推理教學初探

【摘

要】在新時代背景下，如何培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)已成為教育教學的工作重點?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）》把推理能力作為核心素養(yǎng)在初中階段的重要表現(xiàn)之一，進一步加強了對代數(shù)推理的要求。代數(shù)推理是數(shù)學中常見的推理類型，是一種符號化的運算與推理，以達到探究數(shù)學的本質(zhì)的目的。教師應(yīng)重視學生學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有意識地把推理能力的培養(yǎng)巧妙地融合在數(shù)學教學過程中?！娟P(guān)鍵詞】新課標；初中；代數(shù)推理；教學新時代背景下，如何培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng)已成為教育教學的工作重點。《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022版）》（以下簡稱《新課標》）把推理能力作為核心素養(yǎng)在初中階段的重要表現(xiàn)之一，進一步加強了對代數(shù)推理的要求。《新課標》“學業(yè)質(zhì)量部分”對第四學段（7—9年級）的學業(yè)是這樣描述的：“能從生活情境、數(shù)學情境中抽象概括出數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)的概念和規(guī)則，掌握相關(guān)的運算求解方法，合理解釋運算結(jié)果，形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力；知道運動過程中的不變量、圖形運動的變化特征，能運用幾何圖形的基本性質(zhì)進行推理證明，初步掌握幾何證明方法，進一步增強幾何直觀、空間觀念和推理能力”。事實上，初中數(shù)學對推理與證明的要求除了幾何推理還有代數(shù)推理?！缎抡n標》“課程實施部分”的“教材編寫建議部分”指出：“邏輯推理是數(shù)學思維的重要內(nèi)容，學生的相關(guān)能力發(fā)展與心智水平密切相關(guān)：在小學階段，學生只需要感悟數(shù)學的說理；到了初中階段，學生要會用數(shù)學符號表達數(shù)學道理，并會基于這樣的道理證明一些數(shù)學命題?！比欢趯嶋H的數(shù)學教學過程中，一部分教師更注重幾何推理的教學，把代數(shù)的運算過程只作為單純的計算進行教學，而不將其視為推理過程。那么，如何在教學中培養(yǎng)學生的代數(shù)推理思維呢？筆者對影響初中生代數(shù)推理的因素淺談感想，并結(jié)合實際教學例舉初中代數(shù)推理的教學。一、影響初中生代數(shù)推理的因素（一）個體差異從學生的個體差異來看，年齡、性別以及認知水平與風格等方面存在差異性，不同學生具有不同的理解能力、學習環(huán)境等，展現(xiàn)在數(shù)學方面的基礎(chǔ)和學習能力也有所不同。根據(jù)初中生成長、認知和思維等特點，《新標準》課程內(nèi)容特別強調(diào)代數(shù)推理的螺旋上升：七年級引導學生探究由特殊到一般的規(guī)律，培養(yǎng)學生代數(shù)推理思維；八年級利用圖形結(jié)合代數(shù)推理，培養(yǎng)學生代數(shù)推理意識；九年級在學習函數(shù)的過程中，讓學生學會分析法與綜合法的使用，進一步掌握代數(shù)推理能力。對此，教師在實際教學過程中要根據(jù)學生的個體差異，結(jié)合學生的實際情況，選擇易于學生接受的教學內(nèi)容，采用符合生情的教學方法，開展具有針對性的教學工作。（二）問題設(shè)置從具體的問題設(shè)置來看，問題的情境、類型、難易程度、語言表述、問題中未知數(shù)的位置、問題的長度、圖形的復(fù)雜程度等都影響著學生對代數(shù)推理的認知。《新課標》指出：“在教學過程中，要關(guān)注數(shù)學知識與實際的結(jié)合，通過生活中或者數(shù)學中的現(xiàn)實情境，引導學生理解數(shù)學符號，以及感悟數(shù)學符號表達事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，經(jīng)歷從實際問題中抽象出等量關(guān)系，建立數(shù)學模型、求解模型、驗證反思的過程，形成模型觀念?！睂Υ?，教師在教育教學中要注意做到以下幾點：第一，在備課時要選擇貼近學生實際、生活化的問題情境，引導學生利用自己平時的生活經(jīng)驗和原有知識經(jīng)驗進行建模、求解、驗證，從而深化對代數(shù)推理的理解；其次，教學中教會學生利用圖形直觀的特點，巧妙地將圖形作為轉(zhuǎn)化載體，展現(xiàn)相應(yīng)的運算、推理方法，加強學生對代數(shù)推理的掌握能力；最后，在代數(shù)推理時，要直觀地闡述相關(guān)結(jié)論，幫助學生厘清前因后果，從而促進學生對代數(shù)推理的思維過程學習。（三）解題過程從學生的解題過程來看，在實際教學中，尤其是講解例習題時，學生經(jīng)常會產(chǎn)生這樣的困惑“老師，你是怎么想到的？為什么我想不到？”筆者結(jié)合個人實際教學發(fā)現(xiàn)，影響學生代數(shù)推理的因素主要包括以下幾點：第一，讀題能力弱，不能理解題意；第二，缺乏原有知識結(jié)構(gòu)，不能建立知識間的聯(lián)系；第三，習慣具體的數(shù)值化操作，不能將問題符號化；第四，計算能力弱，出現(xiàn)計算錯誤；第五，知識混淆，找不到正確的求解策略。對此，教師在教學中要注意培養(yǎng)學生從讀題及從題目中獲取數(shù)學信息的能力，分析時要呈現(xiàn)解題步驟、揭示代數(shù)推理思維的產(chǎn)生過程，有意識地培養(yǎng)學生的符號意識和多元表征的能力，確保學生在課前已具備學習新知所必需的先驗知識，并在建模時對學生進行適當?shù)囊龑?，利用圖式等策略，促進學生用結(jié)構(gòu)和模型的思想解決代數(shù)推理問題。二、例舉初中代數(shù)推理的教學從知識內(nèi)容的角度來看，幾何推理以圖形為載體，形象直觀，符合初中生的認知特點；而代數(shù)推理側(cè)重于數(shù)與代數(shù)或代數(shù)表達式、方程、函數(shù)等的變形、性質(zhì)、運算，還涉及部分圖形證明等問題，相對而言比較抽象。下面筆者根據(jù)教學與學生實際，用幾個例子談?wù)劤踔写鷶?shù)推理的教學。（一）通過設(shè)計有針對性的推理任務(wù)，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力代數(shù)推理相對幾何推理來說比較抽象，因此，教學中教師應(yīng)盡可能地通過設(shè)計更有針對性的推理任務(wù)，降低題目難度，讓學生更容易達到推理目標。以《新課標》例66代數(shù)推理為例，原題如下：例66代數(shù)推理：（1）設(shè)一個四位數(shù)，若a+b+c+d可以被3整除，則這個數(shù)可以被3整除。（2）研究兩位數(shù)平方的規(guī)律。關(guān)于例66（1）設(shè)置如下問題串探究：（1）觀察數(shù)373、456、511、728中，能被3整除的數(shù)有哪些？（2）小明猜想“能被3整除的整數(shù)，它的末位數(shù)一定是3”。小明的觀點正確嗎？如果不正確，請闡述你的猜想。（3）小穎認為“對任意的一個三位數(shù)，把它各位上的數(shù)字相加，如果個位的數(shù)字之和能被3整除，那么這個三位數(shù)就能被3整除”。小穎的觀點正確嗎？若正確，請給予證明；若不正確請舉出反例。（4）小亮繼續(xù)思考“將（3）中的條件和結(jié)論互換，結(jié)果仍然成立”。小亮的觀點正確嗎？請說明理由。（5）你認為滿足什么條件的三位數(shù)一定能被9整除？請說明理由。通過問題串，采用“觀察—猜想—證明—結(jié)論—拓廣”這一探究問題的一般方法，讓學生掌握用符號表達與證明問題，感受代數(shù)推理的常見類型。關(guān)于例66（2）設(shè)置如下問題串探究：（1）任意寫出3個個位數(shù)是5的兩位數(shù)，觀察它們平方的規(guī)律；（2）猜想任意兩位數(shù)平方的規(guī)律；（3）當a為任意正整數(shù)時，上面結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請舉出反例。通過問題串的設(shè)計，學生可親歷“觀察—猜想—證明—結(jié)論—拓廣”的完整探究過程，初步感知代數(shù)推理，會用符號表達和證明問題。滲透從特殊到一般的思想方法，讓學生在探究中經(jīng)歷歸納、猜想與證明，進一步感知代數(shù)推理的幾種類型。（二）通過滲透類比遷移的思想，培養(yǎng)學生的類比推理能力代數(shù)的學習注重知識間的銜接與聯(lián)系，對此，在課堂教學中，教師要有意識地引導學生復(fù)習與新知相關(guān)的知識，做好知識銜接，完成知識遷移，幫助學生整合初中階段的代數(shù)知識，建立完整的知識架構(gòu)，確保學生清晰地了解代數(shù)知識的特征，深化學生的學習成果，進而促進學生代數(shù)思維的形成與提升。筆者查閱了北師大版、人教版和華師大版教材，發(fā)現(xiàn)三個版本的教材的“分式”內(nèi)容均以問題驅(qū)動為原則建構(gòu)教材，不同程度地滲透類比遷移思想；分層設(shè)計例習題，注重類比推理。以北師大版八年級數(shù)學下冊第五章第三節(jié)“分式的加減”內(nèi)容為例，教材的引入設(shè)計以問題串的形式，引導學生回顧小學同分母分數(shù)的加減運算，再將具體數(shù)值符號化，將知識遷移、螺旋上升，從而猜想、探究分式的加減運算法則，讓學生親歷歸納推理，在潛移默化中培養(yǎng)學生的推理能力。實際教學中，教師可以根據(jù)學生實際，為學生安排相應(yīng)的練習題幫助學生回憶舊知，以便更好地達到完成知識遷移的效果。（三）通過合作探究學習，培養(yǎng)學生的歸納推理能力初中生的代數(shù)學習經(jīng)常出現(xiàn)算法熟練、算理不清的現(xiàn)象，即大部分初中生往往只把代數(shù)的運算過程看成一種計算而不看成推理過程。初中生在熟悉的知識背景下較容易發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，但若要將數(shù)量關(guān)系符號化或用數(shù)學語言表述則存在困難，并經(jīng)常出現(xiàn)轉(zhuǎn)化表征錯誤的現(xiàn)象；對陌生的或抽象的問題，就較難發(fā)現(xiàn)相關(guān)聯(lián)的數(shù)量，更無法準確地闡述出它們之間的關(guān)系，在將問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律符號化的過程存在較大困難。在代數(shù)推理能力的計算方面，部分學生習慣于對具體的數(shù)字進行運算，不能主動和熟練地將實際問題數(shù)學化并用代數(shù)方法進行計算，而且還缺乏檢驗意識。因此，初中代數(shù)教學要培養(yǎng)學生的代數(shù)推理思維，就要求教師能引導學生開展代數(shù)推理論證活動，促進學生通過具體事例發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，并能用符號表達與論證；進一步提升符號意識，養(yǎng)成利用數(shù)學符號論證問題的習慣。數(shù)學符號表征是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式，但表征能力形成的過程不是一蹴而就的，良好符號意識的培養(yǎng)需要耐心地幫助學生理解符號的意義和正確表征的方法。代數(shù)推理要求論證的嚴密性，但初中生對代數(shù)推理論證嚴密性學習是一個從不嚴密到嚴密的過程，需要教師在教學中逐步進行培養(yǎng)。以《新課標》例67、北師大版九年級數(shù)學上冊第二章第五節(jié)“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”內(nèi)容為例。教材“做一做”環(huán)節(jié)設(shè)計了三道一元二次方程的求解，讓學生在求解方程、計算兩根的和與積后進行合作討論交流，在探究中經(jīng)歷歸納、猜想與證明，感知代數(shù)推理，培養(yǎng)符號意識，從而發(fā)展抽象思維和歸納