北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊專題1.1 探索勾股定理（學(xué)生版）

專題1.1探索勾股定理目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1、熟練掌握勾股定理，能夠運(yùn)用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題。2、掌握勾股定理的證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理解決弦圖等相關(guān)問題．3、熟練掌握重要的數(shù)學(xué)思想：方程思想。知識精講知識精講知識點(diǎn)01勾股定理勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。【微點(diǎn)撥】1）僅直角三角形中存在勾股定理（若要使用勾股定理則需要有直角三角形或通過輔助線構(gòu)造直角三角形）；2）由于直角三角形的斜邊最長，故運(yùn)用勾股定理時，一定要抓住直角三角形最長邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，只有c是斜邊時才有a2+b2=c2，切不可死搬硬套公式。3）利用勾股定理，若無法直接找出其中的兩條邊，則可設(shè)定一條邊長為未知數(shù)，根據(jù)題目已知的條件能表示其他的邊（可以是設(shè)定的未知數(shù)表示，也可以是具體的數(shù)字），再建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.【知識拓展1】勾股定理的簡單運(yùn)用例1．（2021成都市八年級數(shù)學(xué)期中）有一個面積為的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右“肩”上“生出”兩個小正方形，這個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖所示的圖形，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，則“生長”了次后形成的圖形中所有正方形的面積和為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】1．（2021·四川武外）如圖，直角三角形的三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是（）A． B． C． D．無法判斷【知識拓展2】勾股定理的方程思想例2．（2022·陜西·西安電子科技大學(xué)附中八年級階段練習(xí)）如圖，高速公路上有、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個服務(wù)站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長是（）．A． B． C． D．【即學(xué)即練】2.（2021·江蘇八年級期末）如圖，等腰中，，，于，且．則__________．知識點(diǎn)02勾股定理的驗證據(jù)不完全統(tǒng)計，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了。由于篇幅有限，我們就重點(diǎn)介紹最具代表性的“勾股圓方圖”（即趙爽弦圖）的證法。方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.（趙爽的證法）圖（1）中，所以.圖（1）圖（2）方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.（畢達(dá)哥拉斯的證法）圖（2）中，所以.【微點(diǎn)撥】趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個典范。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展,只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已?！局R拓展1】勾股定理的證明與應(yīng)用例1．（2022·河南初二期中）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．【即學(xué)即練1】1．（2021·行唐縣實(shí)驗中學(xué)八年級月考）勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一．中國古代最早對勾股定理進(jìn)行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽，趙爽創(chuàng)制了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦為邊長所得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的，其中，．（1）請利用面積相等證明勾股定理；（2）在圖1中，若大正方形的面積是13，，求小正方形的面積；（3）圖2是由“勾股圓方圖”變化得到的，正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成，記圖中正方形，正方形，正方形的面積分別為，，．若，求邊的長度．【知識拓展2】例2．（2021·河北省初二期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．大正方形的面積為49，小正方形的面積為4，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．給出四個結(jié)論：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④【即學(xué)即練2】2．（2021.成都市八年級期中）如圖，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．連結(jié)，交于點(diǎn)P，若正方形的面積為48，．則的值是__________．能力拓展能力拓展考法01勾股定理中的折疊（翻折）問題解題步驟：（1）找：找痕，折痕前后的圖形；（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)，盡可能表達(dá)所需線段；（3）列：根據(jù)勾股定理列方程?！镜淅?】（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，在長方形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)G，F(xiàn)，若GE＝GB，則CP的長為____．變式1．（2021·江蘇八年級專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．變式2．（2021·成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．將△CEB沿直線CE折疊到△CEF，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合．當(dāng)CF⊥AB時，線段EB的長為_____．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·山西九年級期中）在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用以下圖形，驗證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實(shí)際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．統(tǒng)計思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想2．（2021·四川東坡·八年級期中）如圖，黑色部分長方形的面積為（）A．24 B．30 C．40 D．483．（2021·福建三元·八年級期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，則（）A．25 B．20 C．9 D．54．（2021·吉林琿春·八年級期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a、b（b>a），則（a+b）2的值為（）．

A．24 B．25 C．49 D．135．（2021·廣東清新·八年級期中）如圖，大正方形是由4個小正方形組成，小正方形的邊長為2，連接小正方形的三個頂點(diǎn)，得到△ABC，則△ABC的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．106．（2021·江蘇泗陽·八年級期中）勾股定理與黃金分割并稱為幾何學(xué)中的兩大瑰寶勾股定理的發(fā)現(xiàn)可以稱為是數(shù)學(xué)史上的里程碑，2000多年來，人們對它進(jìn)行了大量的研究，至今已有幾百種證法．利用圖形中有關(guān)面積的等量關(guān)系可以證明勾股定理，利用如圖①的直角三角形紙片拼成的②③④⑤四個圖形中，可以證明勾股定理的圖形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2021·湖南·武岡市第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，則a2+b2+c2＝_____．8．（2021·湖南八年級期末）如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝13cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求證：△BDC是直角三角形；（2）求△ABC的面積．題組B能力提升練1．（2021.廣東省八年級期中）如圖，直線上有三個正方形、、，若正方形、的邊長分別為5和7，則正方形的面積為（）A．36 B．49 C．74 D．812．（2021·山東·北辛中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，若S1+S4＝125，S3＝46，則S2＝（）A．171 B．79 C．100 D．813．（2021·浙江九年級）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3．若，則S2的值是（）A．9 B．8 C．7 D．64．（2021·廣西八年級期末）如圖，ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AB=5，AC=3，則CD的長是______．5．（2021·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)八年級月考）如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D′重合．若BC=8，CD=6，則CF的長為_________________．6．（2021·浙江省八年級期中）如圖，以的三邊為直徑，分別向外作半圓，構(gòu)成的兩個月牙形面積分別為、，的面積．若，，則的值為________．7．（2021·四川八年級期末）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝9.折疊△ACB，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕交AB于E，交AC于點(diǎn)F，則CF＝___．8．（2021·山東濱州市·八年級期末）勾股定理是人類重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一．我國古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》記載，約公元前11世紀(jì)，我國古代勞動人民就知道“若勾三，股四，則弦五”，比西方早500多年．請你運(yùn)用學(xué)到的知識、方法和思想探究以下問題．（探究一）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，通過圖形切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．古往今來，人們對勾股定理的證明一直保持著極大的熱情．意大利著名畫家達(dá)·芬奇用兩張一樣的紙片，拼出不一樣的空洞，利用空洞面積相等也成功地證明了勾股定理（如圖）．請你寫出這一證明過程（圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形）．（探究二）在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，我們獲得了以下數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗：分別以直角三角形的三邊為邊向外側(cè)作正方形（如圖2），它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是：__________．遷移應(yīng)用：如圖3，圖中所有的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的邊長分別是，，，，則正方形的面積是________．（探究三）如圖4，分別以直角三角形的三邊為直徑向外側(cè)作半圓，則它們的面積，，之間滿足的等量關(guān)系是________．遷移應(yīng)用：如圖5，直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，分別以三邊為直徑作半圓．若，，則圖中陰影部分的面積等于________．（探究四）《九章算術(shù)》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索尺．問索長幾何．譯文：今有一豎立著的木柱，在木樁的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牽著繩索（繩索與地面接觸）退行，在距木柱根部尺處時繩索用盡．問繩索長多少？題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·廣東福田·八年級期末）如圖，四邊形是邊長為9的正方形紙片，將其沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，，則的長為（）A．1.8 B．2 C．2.3 D．2．（2021.都江堰起航教育專題）如圖，已知圖中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每個直角三角形的最長邊與最短邊的長度之比均為，正方形，，，的面積分別為，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．3．（2021·江蘇八年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以△ABC的三條邊為直角邊作三個等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若圖中陰影部分的面積S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，則S4＝_____．4．（2021·上海八年級期末）已知，如圖，在中，是上的中線，如果將沿翻折后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，那么的長為__________．5．（2021·貴州九年級）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若，則的長為______．6．（2022·重慶市初二期中）在