2022屆高三一輪復(fù)習(xí)提高-學(xué)案15-數(shù)列的求和（教師版）

一—

第十五講

數(shù)列的求和

授課教師：授課日期：

知識(shí)框架

數(shù)列求和的前幾項(xiàng)探究考點(diǎn)

知識(shí)梳理

一、數(shù)列的前〃項(xiàng)和

1.數(shù)列的求和核心是處理省略號(hào)，處理求和時(shí)可以先觀察其通項(xiàng)是否具有常見(jiàn)規(guī)律，然后再去觀察首末數(shù)

據(jù)是否具有組合性規(guī)律，最后再去嘗試前幾項(xiàng)觀察是否具有組合規(guī)律或不完全歸納探究規(guī)律

二、數(shù)列求和的通項(xiàng)考點(diǎn)

1.通項(xiàng)為〃的一次型：可考慮等差數(shù)列公式求和

2.通項(xiàng)為"的指數(shù)型：可考慮等比數(shù)列公式求和

3.通項(xiàng)為"的一次指數(shù)加減型：可考慮分組求和

4.通項(xiàng)為"的一次指數(shù)乘除型：可考慮錯(cuò)位相減求和

5.通項(xiàng)為"的分式型：可考慮裂項(xiàng)求和

6.關(guān)注：通項(xiàng)具有奇偶分段形式，可考慮分段求和

7.注意：求和方式不唯一，如裂項(xiàng)求和不一定表現(xiàn)為分式，但分式型大概率是裂項(xiàng)求和

三、數(shù)列求和的首末考點(diǎn)

1.數(shù)列的首末或類(lèi)似于首末項(xiàng)具有對(duì)稱(chēng)規(guī)律的可考慮倒序相加求和

四、數(shù)列求和的前幾項(xiàng)探究考點(diǎn)

1.數(shù)列具有周期性可考慮周期內(nèi)求和

2.數(shù)列具有組合形考慮構(gòu)建新數(shù)列求和，如S”，S2?-S?,Sin-S2?……

例題講解

例1.(2020黃浦區(qū)校級(jí)期中)己知數(shù)列｛叫滿(mǎn)足：％=1,記數(shù)

列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若對(duì)所有滿(mǎn)足條件的｛g｝,耳。的最大值為M=—.

【難度】★★★

答案：1023

例2.(2019奉賢區(qū)校級(jí)期中)在數(shù)列｛《,｝中，如果存在非零常數(shù)T，使得aXr=。/對(duì)于任意/eN*都

成立，則稱(chēng)數(shù)列｛4｝為周期數(shù)列，其中T為數(shù)列｛a,,｝的周期.已知周期數(shù)列｛勿｝中，％=|2一％|

，

(n>2,neN),且白=1,b2=x(xe/?,x^O),當(dāng)｛2｝的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2019項(xiàng)的和是

【難度】★★★★

答案：1346

例3.(2020浦東新區(qū)校級(jí)期中)己知多邊形，&A&L的頂點(diǎn)都在拋物線足丁=4y上，若為

的橫坐標(biāo)為毛，勺勺為44所在直線的斜率(OWi,iW〃，1,/eN,〃eN*)，則

為公~^A々A叱+"飽A勺A----1)"A為+d(r—1)"“AA=勺_為_(kāi)______-

【難度】★★★

出,n=2k*GN*)

答案：2

0,n-2k+l(keN*)

例4.(2020上海專(zhuān)題)已知等差數(shù)列｛a“｝中q=d=l,a=tana,,爪2!1?！?|("eN*),則數(shù)列｛〃,｝的

前"項(xiàng)和S“=___.

【難度】★★★

答案：----------n-UneN

tan1''

例5.(2020青浦區(qū)一模專(zhuān)題)記冊(cè)為數(shù)列｛3"｝在區(qū)間((),〃?](〃eN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則數(shù)列｛%｝的前

100項(xiàng)的和doo=.

【難度】★★★

答案：284；

例6.(2020金山區(qū)校級(jí))將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有1X12,2x6,3x4,三種，其中3x4

是這三種分解中兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的，我們稱(chēng)3x4為12的最佳分解，當(dāng)pxq〈p￡q,pGN*,qGN*)

是正整數(shù)〃的最佳分解時(shí)，我們定義函數(shù)/(")=4一〃，例如/(12)=4—3=1,則數(shù)列"(3")｝的前2020

項(xiàng)和為.

【難度】★★★★

答案：31(),0-1

例7.數(shù)列｛4｝中，已知G=1,a2=a,a.+|=&(q,+4*2)對(duì)任意都成立，數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為

S”.(這里°,人均為實(shí)數(shù))

(1)若｛%｝是等差數(shù)列,求S“；

(2)若4=1,k=-L,求s“；

2

【難度】★★★

答案：⑴s=3一次一(〃-3)〃；⑵12-〃,(”=21入“)；

"2[n,(n=2k,keN)

針對(duì)訓(xùn)練

1.數(shù)列｛““｝滿(mǎn)足q="2=1，+“"+|+%+2=cos—7("eN*),若數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為5.，

則S刈2的值為()

A.-672B.-671C.2012D.672

【難度】★★★

答案：D.

2.定義乩=4+2%+…+2"’%為數(shù)列僅“｝的均值,已知數(shù)列收｝的均值乩=2"匕記數(shù)列｛d-而｝的前

n

〃項(xiàng)和是5,，若5心反對(duì)于任意的正整數(shù)〃恒成立，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是

【難度】★★★

答案：[[,—].

35

3.在數(shù)列｛%｝中，4=1,4+2+(-列4=1，則數(shù)列｛《,)的前4〃項(xiàng)之和為

【難度】★★★

答案：2〃(〃+1).

4.數(shù)列他“｝的通項(xiàng)為=(-l)"(2〃-l)?cos岸+1前〃項(xiàng)和為S“，則％=

【難度】★★★

答案：120.

5.已知函數(shù)/(x)=上，規(guī)定：＜=/(-)+/(-)+/(-)+...+/(-)(?,meN),且，"=《'+球+…

1+xnnnn

+a'；｛n,meTV),則S默的值是

【難度】★★★

答案：2020050

6.已知函數(shù)f(x)=/g(l+3，點(diǎn)A,(〃，0)(〃eN*),過(guò)點(diǎn)4"作直線x=〃交f(x)的圖象于點(diǎn)紇，設(shè)O為

X

坐標(biāo)原點(diǎn).記，=NB“+i4A,+1(〃eN*),化簡(jiǎn)求和式S“=tanq+tang+…+tan&=

【難度】★★★★

答案:lg(n+2)-lg2

7.(2020徐匯區(qū)期末)已知數(shù)列｛“J、｛〃,｝的通項(xiàng)公式分別為4=3.2",2=2〃+4(〃wN*),取出數(shù)列｛%｝、

｛"｝中的不同的項(xiàng)從小到大排列組成一個(gè)新的數(shù)列｛c?｝＞設(shè)數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為S“，則Eg=

【難度】★★★

答案：11388.

8.(2018上海二模)已知數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)均為正數(shù),其前"項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足4s.=a+1)2,若數(shù)列電｝

滿(mǎn)足偽=2,6,=4＞且等式b；=6“_也,+|對(duì)任意.2成立.

(1)求數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式；

(2)將數(shù)列｛〃"｝與｛或｝的項(xiàng)相間排列構(gòu)成新數(shù)列“，4，4,h2,%,b“，…,設(shè)該新數(shù)列為｛C“｝,

求數(shù)列｛C,J的通項(xiàng)公式和前2n項(xiàng)的和T2n；

【難度】★★★★

n,n=2k-\

2M+,

答案：(1)an=2n-\.(2)C〃=(〃,keN*./.7；?=n+2-2.

22,〃=2A

能力提升

1.（2020寶山區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列｛為｝與｛"｝前”項(xiàng)和分別為S“，7；,且a“>0,2S“=a；+q,,〃N*,

yx_i_i

hn=—一■——------,對(duì)任意的"cN",&〉7；恒成立，則攵的最小值是（）

（2+4）（2+4+1）

A.1B.-C.-D.-

236

【難度】★★★★

答案：C.

2.數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若對(duì)任意都有S"=（-［）%“+*+〃-3,則數(shù)列｛*｝的前〃項(xiàng)和

為_(kāi)_______

【難度】★★★★

答案：-3+2n.

224

3.數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=3,%+i=d-a“+l，則7='+'+…+—匚的整數(shù)部分是（）

2a\出生016

A.0B.1C.2D.3

【難度】★★★★

答案：B.

熟練精進(jìn)

1.（2019徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為““=（-1）3〃+2",nwN"，則這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)

和S.=--------

【難度】★★★

2n+l--,〃為奇數(shù)

答案：\=2

2向+小世，〃為偶數(shù)

2

2.設(shè)數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)4=|,前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足2”,,T+S“=3（nwN*）.貝I」?jié)M足稱(chēng)<茅的所有〃

的和為_(kāi)_______

【難度】★★★

答案：7

3.對(duì)于數(shù)列僅“）,規(guī)定｛△為｝為數(shù)列｛4｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△4=a“+「a”（〃wN*）.對(duì)于正整數(shù)A,

規(guī)定｛△〃“｝為他”）的左階差分?jǐn)?shù)列，其中△g/.若數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)a“=3"T,則4

2al+A2o2+A26i3+...+A2an=

【難度】★★★

答案：2.3"-2.

4.（2011黃浦區(qū)一模）若數(shù)列｛七｝滿(mǎn)足q=2,a,,M=上組（〃eN+）,則可得該數(shù)列的前2011項(xiàng)的乘積

1-4

=

at-a2-cij...<?2oio'^2011-------------------

【難度】★★★

答案：3

11

5.數(shù)列1,-------------的前〃項(xiàng)和為()

1+21+2+31+2+3+—+n

n2n

A.B.c.--—D.--—

〃+1n+1n(n+l)n(n+1)

【難度】★★★

答案：B.

n，當(dāng)〃=2左一1

6.數(shù)列｛〃“｝滿(mǎn)足a,=,其中攵wN",設(shè)/(/?)=4+/+—+%”_]+%，貝IJ/(2O13)-/(2012)

ak，當(dāng)n=2k

等于（）

20220132013

A.2,B.2C.4劃2D.4

【難度】★★★★

答案：C.

1生=(，且44+a2a3+…+44+1=na\an\對(duì)任何的正整數(shù)〃

7.（2018上海校級(jí)）數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足:+

都成立，則,+'+…'的值為（

)

A.5032B.5044C.5048D.5050

【難度】★★★

答案：B.

8.已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為=〃+5為，從｛%｝中依次取出第3,9,27,3",…項(xiàng),

按原來(lái)的順序排成一個(gè)新的數(shù)列，則此數(shù)列的前〃項(xiàng)和為()