湖南省懷化市2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學試題

懷化市中小學課程改革教育質(zhì)量檢測試卷2023年下期期中考試高一數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單項選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的并集運算求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：D2.若關于的方程在上有解，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點的問題，然后求解函數(shù)的值域即可確定實數(shù)m的取值范圍.【詳解】題中的方程即，則原問題等價于函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上有交點，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，故時，，時，，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為，實數(shù)的取值范圍是.故選D.【點睛】本題主要考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域的方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用奇偶函數(shù)的定義以及一次函數(shù)的單調(diào)性可判斷A，根據(jù)冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可判斷B、C、D；進而可得正確選項.【詳解】對于A：函數(shù)，所以不是奇函數(shù)，不符合題意，故選項A不正確；對于B：函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故選項B正確；對于C：函數(shù)是奇函數(shù)，在和上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是單調(diào)遞增，不符合題意，故選項C不正確；對于D：函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，故選項D不正確；故選：B.4.黃金三角形被稱為最美等腰三角形，因此它經(jīng)常被應用于許多經(jīng)典建筑中（例如圖中所示的建筑）．黃金三角形有兩種，一種是頂角為，底角為的等腰三角形，另一種是頂角為，底角為的等腰三角形，則“中有一個角是”是“為黃金三角形”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由充分必要條件的概念判斷．【詳解】若中有一個角是，則其他兩個角不確定，故不能推出為黃金三角形，若為黃金三角形，由題意知中至少有一個角是，故“中有一個角是”是“為黃金三角形”必要不充分條件，故選：C5.已知為冪函數(shù)，則（）．A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞減C.在上單調(diào)遞增 D.在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．故選：B6.如圖所示，4個長為a，寬為b的長方形，拼成一個正方形ABCD，中間圍成一個小正方形A1B1C1D1，則以下說法中錯誤的是（）A.(a+b)2≥4abB.當a=b時，A1，B1，C1，D1四點重合C.(ab)2≤4abD.(a+b)2>(ab)2【答案】C【解析】【分析】由圖象分析正方形ABCD以及正方形A1B1C1D1的面積，根據(jù)面積之間的關系逐一判斷即可.【詳解】對于A，由題圖可知正方形ABCD的面積不小于4個長方形的面積之和，即有(a+b)2≥4ab，故A正確；對于B，正方形A1B1C1D1的面積為(ab)2，當a=b時，正方形A1B1C1D1的面積為，A1，B1，C1，D1四點重合，故B正確；對于C，結(jié)合圖象正方形A1B1C1D1的面積與4個長方形的面積之和大小關系不定，因此C選項錯誤.對于D，結(jié)合圖形可知(a+b)2>(ab)2，且當a=b時A1，B1，C1，D1四點重合，故D正確；故選：C7.血藥濃度（PlasmaConcentration）是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度,藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間，已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中，正確的個數(shù)是（）①首次服用該藥物1單位約10分鐘后,藥物發(fā)揮治療作用②每次服用該藥物1單位,兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒③每間隔小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用④首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發(fā)生藥物中毒A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合題意，逐個判斷即可．【詳解】解：①根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約10分鐘后，血液濃度達到最低有效濃度，藥物發(fā)揮治療作用，故正確；②根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時后血液濃度達到最大值，由圖象可知兩次服藥間隔小于2小時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，故正確；③根據(jù)圖象可知，每間隔小時服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，故正確；④根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，會發(fā)生藥物中毒，故錯誤．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的性質(zhì)和對新定義函數(shù)的理解．難點是充分理解題意，根據(jù)圖象解決實際問題．8.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將，變形為，再代入，利用基本不等式求解.【詳解】因為正數(shù)，滿足，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為8故選：C【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，集合，若，則a的取值可能是（）A.2 B. C.1 D.0【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可知，然后對參數(shù)進行分類討論求解.【詳解】解：集合，集合，當時，，成立；當時，，故或，解得或綜上a的取值可能是，，.故選：BCD10.已知關于的不等式的解集是或，則下列說法正確的是（）A.B.不等式的解集是C.不等式的解集是D.【答案】ACD【解析】【分析】由一元二次不等式與解集的關系可判斷A選項；利用韋達定理可得出、與的等量關系，利用一次不等式的解法可判斷B選項；利用二次不等式的解法可判斷C選項；計算可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為關于的不等式的解集是或，則，A對；對于B選項，由題意可知，關于的方程的兩根分別為，，由韋達定理可得，可得，，則，由可得，解得，B錯；對于C選項，由可得，即，解得，因此，不等式的解集是，C對；對于D選項，，D對.故選：ACD.11.關于函數(shù)的性質(zhì)的描述，正確的是（）A.的定義域為 B.的值域為C.的圖象關于軸對稱 D.在定義域上是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，將函數(shù)解析式化簡，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性法則判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的值域；【詳解】解：因為，所以解得或，即函數(shù)的定義域為，故A正確；所以，，所以，即函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于軸對稱，故C正確；因為在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故D錯誤；因，所以，故B錯誤；故選：AC12.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意，都滿足，則下述正確的是（）A. B.C.是偶函數(shù) D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值法,對，取特殊值代入已知表達式進行求解，逐項分析即可．【詳解】對于A，令，則，故A正確

對于B，令，則，則，故B正確

對于C，令，則，所以，

又令，，則，

所以是奇函數(shù)，故C錯誤

對于D，令，，則，

所以，故D正確.故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上的相應橫線上.13.命題“，使得”的否定是_________【答案】，都有【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題易求.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題知：命題“，使得”的否定是，都有.故答案為：，都有14.已知，則______．【答案】##25【解析】【分析】利用換元法求出函數(shù)的解析式，將代入即可求解．【詳解】令，即，所以，即，故．故答案為：．15.若函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為_______________【答案】##【解析】【分析】解不等式即得解.【詳解】解：由題得.故函數(shù)的定義域為.故答案為：16.奇函數(shù)滿足：對任意，，都有且，則不等式的解集為________【答案】【解析】【分析】由題知奇函數(shù)在、上遞減，結(jié)合且或，即可求解集.【詳解】對任意，，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，而，則，不等式化為，即，所以，有或，則或，所以不等式解集為.故答案為：四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設全集為，，：（1）；（2）.【答案】（1）或；（2）或.【解析】【分析】(1)結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)并集的定義求出，再根據(jù)補集的定義可得到；（2）利用集合補集的定義求出，再根據(jù)交集的定義即可求出.【詳解】（1）由畫出數(shù)軸：由圖得，或.（2）得，或，或.【點睛】本題考查了交、并、補集的混合運算，以及子集的定義的應用，借助于數(shù)軸來求解更直觀,熟練掌握交、并、補集的運算是解題的關鍵.在解題過程中要注意在求補集與交集時要考慮端點是否可以取到，這是一個易錯點.18.已知函數(shù).（1）用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）寫出函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）圖象答案見解析；（3）【解析】【分析】（1）分和兩種情況去掉絕對值可求出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的解析式畫出函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)圖像可求出函數(shù)的值域【詳解】（1）.（2）函數(shù)的圖象如下圖所示.（3）由圖得函數(shù)值域為.【點睛】此題考查分段函數(shù)，考查由函數(shù)解析式畫函數(shù)圖像，根據(jù)圖像求出函數(shù)的值域，屬于基礎題19.已知函數(shù)f(x)=ax+，且f（1）=5，f（2）=4.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(∞，2]上單調(diào)遞增.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)f（1）=5，f（2）=4，由求解.（2）由（1）知，f(x)=x+，任取x1，x2∈(∞，2]，且x1<x2，然后作差判斷f(x1)f(x2)的符號即可.【詳解】（1）因為f（1）=5，f（2）=4，所以，解得.（2）由（1）知，f(x)=x+，任取x1，x2∈(∞，2]，且x1<x2，則f(x1)f(x2)=x1+x2=(x1x2)(1)=.因為x1<x22，所以x1x2<0，x1x2>4>0，所以<0，即f(x1)<f(x2)，故函數(shù)f(x)在(∞，2]上單調(diào)遞增.20.已知一次函數(shù)滿足.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在上的最小值（其中為常數(shù)）.【答案】20.21.【解析】【分析】（1）利用方程組法求解函數(shù)解析式即可；（2）求出函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸與區(qū)間的位置關系分類討論求解即可.【小問1詳解】①，②，由得，.【小問2詳解】由（1）可知，，其中，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時的最小值為，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時的最小值為.綜合上述，.21.已知函數(shù).（1）若關于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若關于的不等式的解集是，集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由在恒成立，結(jié)合對應二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍；（2）問題化為在上恒成立，討論符號，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設在恒成立，顯然，即時，滿足在上恒成立；由；綜上，.【小問2詳解】由題設在上恒成立，當，即時，滿足在上恒成立；當時，函數(shù)對稱軸為，當，即時，只需，即，故；當，即時，只需，也滿足題設；綜上，.22.“春節(jié)”期間，某商場進行如下的優(yōu)惠促銷活動：優(yōu)惠方案1：一次購買商品的價格，每滿60元立減5元；優(yōu)惠方案2：在優(yōu)惠1之后，再每滿400元立減40元．例如，一次購買商品的價格為130元，則實際支付額元，其中表示不大于x的最大整數(shù)．又如，一次購買商品的價格為860元，則實際支付額元．（1）小明計劃在該商場購買兩件價格分別是250元和650元的商品，他是分兩次支付好，還是一次支付好？請說明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其價格為30元/件，小明趁商場促銷，想多購買幾件該商品，其預算不超過500元，試求他應購買多少件該商品，才能使其平均價格最低？最低平均價格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由見解析（2）購買15件或16件時，該生活日用品的平均價格最低，最低平均價格為25元/件【解析】【分析】（1）計算兩種支付方式的支付額，比較可得答案；（2）先確定在優(yōu)