2022年全國(guó)統(tǒng)一高考理科數(shù)學(xué)答案（全國(guó)甲卷）

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好

條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若z=-l+Gi，則一z^-=()

zz—1

A.—1+-\/3iB.-1—C.FiD.----——i

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由共規(guī)復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.

【詳解】5=—l—6i,zT=(—l+/)(—l—6i)=l+3=4.

z—1+\/3i1y/3.

-----=--------=----1----1

zz-1333

故選：C

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓

他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正

確率如下圖：

100%

95%

90%

樹85%.......................?...............................?............................…....

售80%■V*講座前

「75%不?講座后

70%血

03/O由

60%

cF，，，1111]11

U

12345678910

居民編號(hào)

貝1J()

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】

【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.

【詳解】講座前中位數(shù)為要~土」>70%,所以A錯(cuò)；

2

講座后問卷答題的正確率只有一個(gè)是80%,4個(gè)85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確

率的平均數(shù)大于85%,所以B對(duì)；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯(cuò)；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯(cuò).

故選:B.

3.設(shè)全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8=卜|爐—4》+3=0},則電(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】解方程求出集合8,再由集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由題意，8={犬卜2_4》+3=0}={1,3},所以4^3={—1,1,2,3},

所以a(AuB)={—2,0}.

故選：D.

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為

()

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四棱柱的體積丫=——x2x2=12.

2

故選：B.

5.函數(shù)了=(3*—37卜。5%在區(qū)間一：5的圖象大致為()

【解析】

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

詳解】令/(x)=(3，—3T)cosx,xe,

則/(-x)=(3-"-3V)cos(一x)=-(3'-3"x)cosx--f(x),

所以/(X)為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)時(shí)，3v-3-x>0,cosx>0,所以〃x)>0,排除C.

故選：A.

b

6.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)=alnx+一取得最大值—2,則/"(2)=()

x

11

A.-1B.C.-D.1

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知/(1)=-2,/'。)=0即可解得。力，再根據(jù)r(x)即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“X)定義域?yàn)?0,+“)，所以依題可知，/(I)=-2,/'⑴=0,而

1。。

_f(x)=----7)所以8=—2,。一8=0,即。=-2,8=一2,所以=__+下，因此函數(shù)/(x)在

XXXX

（0,1）上遞增，在（1,+8）上遞減，x=l時(shí)取最大值，滿足題意，即有尸（2）=—1+；=—g.

故選:B.

7.在長(zhǎng)方體4BCD-A4CQ中，已知耳。與平面A8CO和平面例48所成的角均為30°,則（）

A.45=24）B.AB與平面ABC。所成的角為30°

C.AC^CB}D.BQ與平面BBCC所成的角為45°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面角定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)AB=a,AD="A4=c,依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，片。與平面ABCO所成角為

cb

NBQB,BQ與平面所成角為/DMA,所以sin30°==x=}7＞即

DyUD}U

B,D=2c=yja2+b2+c2，解得a=0c.

對(duì)于A,AB=a,AD=b,AB=OAD,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過8作于￡,易知6E1平面AgCQ,所以AB與平面AgCQ所成角為Nfi4E，

因?yàn)閠anN8AE=￡=《^，所以NBAE#30。，B錯(cuò)誤；

a2

2222

對(duì)于C，AC=\Ja+b=V3c?CBX=^b+c=6c，ACwCg，c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,BQ與平面所成角為NZ）4C,sin/O4C=C2=q=XN,而

B、D2c2

0＜/。片。＜90,所以N。4c=45°.D正確.

故選：D.

8.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，AB

是以。為圓心，04為半徑的圓弧，C是的AB中點(diǎn)，。在A8上，CDLAB.“會(huì)圓術(shù)”給出43的弧

CD2

長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=A3+*-.當(dāng)。4=2,4。8=60。時(shí)，s=()

0A

,11-35/3R11-473r9-373n9-4百

2222

【答案】B

【解析】

【分析】連接0C,分別求出AB,OC,C￡>,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接OC，

因?yàn)椤Ｊ茿B的中點(diǎn),

所以0C_LA6,

又CDLAB,所以三點(diǎn)共線,

即。￡>=。4=。8=2,

又NAQB=60°,

所以AB=Q4=OB=2,

則。。=6，故CD=2-6

（2-V3）*H-4V3.

所以s=AB+喘

=/H-------------------=-----------------

故選：B.

9.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為

%和勿.若斜=2,則廣=（）

3乙V乙

A.75B.2A/2C.V10D.

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為弓，乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得

弓=2弓，再結(jié)合圓心角之和可將4,4分別用/表示,，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的

體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為村，乙圓錐底面圓半徑為G，

S申nrJr.一

則苫

s乙flr2

所以4=2G，

~2nr.2萬心一

又一L+—三=2兀,

11

貝U牛=],

所以彳——1,

所以甲圓錐的高/=J7—\/2=。/,

乙圓錐的高也=J/2—=平/,

4.26

-lx——I

93

1.225/2=Vio.

-/x----1

93

故選：c.

10.橢圓C：5+[=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)P,。均在。上，且關(guān)于），軸對(duì)稱.若直線ARAQ

CTb~

的斜率之積為L(zhǎng),則c的離心率為（）

4

A.—B.—C.1D.-

2223

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)P（不,y）,則。（一內(nèi)，X），根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得2=：,再根據(jù)

—X,+Q4

冬=1,將弘用七表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.

a~b~

【詳解】解：A[-a,Q）,

設(shè)P（X，yJ,則。（一不，x）,

則也。X

-xi+a

yx城1

故后AP,^AQ

—Xj4--X|2+4

x}+aClCl~

222呻-咕

又%+張6則%—_______,

a2

b2_%2)

即54

所以Q

―玉2

+Q24

所以橢圓C的離心率e=￡==—

a\a22

故選：A.

11.設(shè)函數(shù)/（x）=sinox+三在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則”的取值范圍是（

)

-513、「519）（1381<1319-

L36）136yl（63」（66」

【答案】C

【解析】

7T

【分析】由X的取值范圍得到公T+W的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

3

【詳解】解：依題意可得<w>0,因xe（0,"），所以cyx+e+彳），

要使函數(shù)在區(qū)間（0,〃）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又丁=$出尤，3萬）的圖象如下所示：

故選：C.

3111

12.已知a=—,b=cos—,c=4sin—,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

c11,

【分析】由一=4tan—結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得C>Z;；構(gòu)造函數(shù)f(x)=cosx+—x2—l,xe(0,+oo),

b42

利用導(dǎo)數(shù)可得〃>“，即可得解.

C1(T兀l\

【詳解】因?yàn)橐?4tan-,因?yàn)楫?dāng)0,—,sinx<x<tanx

b4I22；

所以tan洛，哈1,所以c”；

c1

設(shè)/(x)=cosx+—X27-1,XG(0,+00)

/'（x）=-sinx+x>0,所以/（*）在（0,+oo）單調(diào)遞增，

則/Al>/（°尸°，所以cos,>0,

⑷432

所以所以c>8>a,

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量￡,辦的夾角的余弦值為:，且同=1,舊=3,則僅2+到電=.

【答案】11

【解析】

【分析】設(shè)￡與B的夾角為夕，依題意可得cos￡=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出最后根據(jù)數(shù)量積的

運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)￡與坂的夾角為氏因?yàn)椤昱c坂的夾角的余弦值為:，即cose=；,

又忖=1,1|=3,所以=WJ/Jcos，=lx3x：=1,

所以（2Q+B）?B=2〃不+市=2〃4+忖=2x1+3?=11.

故答案為：11.

2

14.若雙曲線產(chǎn)―二=1（機(jī)〉0）的漸近線與圓/+｝；2-4），+3=0相切，則機(jī)=.

m

【答案】2

3

【解析】

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓

心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

2

【詳解】解：雙曲線V一三=1（機(jī)>0）的漸近線為y=±\,即犬±加），=0,

不妨取X+陽=0,圓f+y2-4y+3=（）,即爐+（>一2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑r=l,

依題意圓心（0,2）到漸近線x+my=0的距離d=里四==1,

Vl+m2

解得或"2=...—（舍去）.

33

故答案為：B.

3

15.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

【答案】—.

35

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有〃=C；=70個(gè)結(jié)果，這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有

1。二

加=6+6=12個(gè)，故所求概率尸=里=——=—.

n7035

故答案為：—.

AT

16.已知AABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)牝取得最小值時(shí),

AB

BD=.

【答案】V3-l##-l+V3

【解析】

AC2

【分析】設(shè)8=28￡＞=2加＞0,利用余弦定理表示出后,結(jié)合基本不等式即可得解.

AB2

【詳解】設(shè)8=250=2加＞(),

則在中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=/n2+4+2m.

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4w2+4-4w.

4.2_4_2+4_4加_4（加2+4+2團(tuán)）―12（1+加）12

=4—

所以A8?m24-4+2/TIm2+4+2m++—^―

'7/n+l

>4——I2=4-2+

2.+

Vm+\

3

當(dāng)且僅當(dāng)/〃+1=」一即陽=G—1時(shí)，等號(hào)成立,

m+1

所以當(dāng)——取最小值時(shí)，加=6-1.

AB

故答案為：V3—1-

A

B

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

2s

17.記為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.已知—+〃=2%+1.

n

(1)證明：｛《,｝是等差數(shù)列；

(2)若%，的，％成等比數(shù)列，求S“的最小值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)-78.

【解析】

[Sj,H=1

【分析】⑴依題意可得25.+〃2=2〃4+鹿，根據(jù)為=《「。C，作差即可得到%一%T=l，

⑸-S,T，〃之2

從而得證；

(2)由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出外,即可得到｛4｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)

算可得.

【小問1詳解】

2S

解:因?yàn)椤獈+〃=2a+1,即2s〃+=2nd”+幾①，

nzi

當(dāng)〃22時(shí)，2S〃_]+(n-l)2=②，

①一②得，2s“-2S〃_]-(〃-1)=,

即+2〃一1=21M〃-2(幾—1)a〃_]+1f

即所以4-。小=1,n>2.&neN*,

所以｛4｝是以1為公差的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

解：由(1)可得%=4+3,%=q+6,%=q+8,

又4，%，的成等比數(shù)列，所以

即(％+6)2=(q+3>(q+8),解得q=-12,

_io°〃(〃-1)1,25\(25?625

所以""=〃一13,所以S,=_]2“H----=—n"------n=—\n---------------->

“2222(2J8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時(shí)(S“)mM=-78.

18.在四棱錐P-ABC。中，/3。，底面48。。,。0〃48,4。=0。=。3=1,45=2,。/>=6.

（1）證明：BDVPA-.

（2）求尸。與平面E4B所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

【解析】

【分析】（1）作。E_L/W于E，C尸_LA3于尸，利用勾股定理證明A￡>_LBO,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可

得PD工BD，從而可得8。_1_平面Q4。，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

（2）以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：在四邊形ABC。中，作于E，CF工AB于F，

因?yàn)镃￡>//AB,AO=C￡）=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABCD為等腰梯形，

所以AE=BE=L,

2

故DE:日,BD=JDE2+BE2

所以4。2+3。2=432,

所以AD_L30，

因?yàn)镻D_L平面ABCD，8。u平面ABC。,

所以P￡＞J_8E＞，

又PDcAD=D,

所以3。J.平面PAO，

又因Q4u平面尸A￡＞，

所以班)1.24；

【小問2詳解】

解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=6

則A(l,0,0),B(0,73,0),P(0,0,73),

則而=(-i,o,G),而=(o,-6,6),加=僅,。,百卜

設(shè)平面PA6的法向量〃=(x,y,z),

n-AP=-x+y/3z=0

則有｛=(73,1,1).

ft-BP=—y/3y+A/3Z=0

n-DP

則cos(〃,DP

RR~5

所以PD與平面A鉆所成角的正弦值為好.

5

x

19.甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得。分，沒有平

局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,

0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】（1）0.6；

（2）分布列見解析，E（X）=13.

【解析】

【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為4民C,再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，

利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；

（2）依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望.

【小問1詳解】

設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小問2詳解】

依題可知，X的可能取值為010,20,30,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

p（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.（）6.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望七（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.設(shè)拋物線。：＞2=2°%5〉0）的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)。（。,0）,過尸的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線

垂直于x軸時(shí)，|ME|=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線MQ,NO與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MMA8的傾斜角分別為a,尸.當(dāng)a—。

取得最大值時(shí)，求直線4B的方程.

【答案】(1)/=4x；

(2)AB:x^y[2y+4.

【解析】

【分析】(1)由拋物線的定義可得|加斤|=〃+5,即可得解；

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線"N:x=my+1,由韋達(dá)定理及斜率公式可得=2心6,再由差角的正切公

式及基本不等式可得心B=等，設(shè)直線AB:x=&y+〃，結(jié)合韋達(dá)定理可解.

【小問1詳解】

拋物線的準(zhǔn)線為了=-稱，當(dāng)MD與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p,

此時(shí)|“目招+5=3,所以p=2,

所以拋物線C的方程為y2=4x；

【小問2詳解】

設(shè)知信,孫N仔町,A仔引I信,為直線MN:x=my+1,

x=my+1個(gè)

由〈可得)廠一4〃zy-4=0,△>(),>］必=-4,

y9=4x

k--一)'2_4_y3f_4

由斜率公式可得MNX+必，"

4444

直線MO:x=之二工-y+2,代入拋物線方程可得/-J*-2).y_8=0)

,X

△〉0,y%=-8,所以為=2%,同理可得”=2y,

,44kMN

所以心B=-7-=—7―;=-

%+/2(%+%)2

又因?yàn)橹本€MMAB的傾斜角分別為必，，

ck^Ntana

所以％"=tanZ?=g=(—，

若要使a一4最大，則

nnGtanaTan____1<13

設(shè)“MN=2砥8=2攵>0,則1+tanatan/1+2//1~4，

丁十ZK2.1—-2K

kn

當(dāng)且僅當(dāng)』=2%即女=也時(shí)，等號(hào)成立，

k2

所以當(dāng)。一月最大時(shí)，kAB=與，設(shè)直線A8:x=血y+〃，

代入拋物線方程可得/-4。-4/7=0.

A>0,y3y4=-An=4y,y2=-16,所以〃=4,

所以直線AB:x=V2y+4.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)

系.

21.已知函數(shù)/（x）=---\nx+x-a.

（1）若〃x）20,求a的取值范圍；

（2）證明：若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)藥,々，則環(huán)玉々<L

【答案】（1）（~℃,e+l]

（2）證明見的解析

【解析】

【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；

（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件--xe--2>0,再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.

x2vxj_

【小問1詳解】

/（X）的定義域?yàn)椋?,+8）,

令/(x)=0,得光=1

當(dāng)xe(0,1),/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減

當(dāng)Xw(1,+8),/'(X)>0,/(x)單調(diào)遞增/(%)>/⑴=e+1-a,

若/(x)N0,則e+1-aNO,即a<e+l

所以。的取值范圍為（-8,e+1]

【小問2詳解】

由題知,/（x）一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1

不妨設(shè)玉<1<尤2

1

要證％%2<1，即證$<一

X?

因?yàn)橥?」~G（O，1）,即證/（玉）〉/

因?yàn)?(%)=/(%)，即證—

\x27

Q—[

即證---lnx+x-xev-\nx——>0,XG(1,+OO)

xx

即證----xc1—2

x

下面證明1>1時(shí),

、ex-

設(shè)g(x)=---xev,x>1,

x

設(shè)e(x)=夕=Lje>-=￡_le-'->0

xIXX)X

所以p(x)>Wl)=e，而e：<e

x1

所以Je—e*>0,所以g'(x)>0

x

所以g(x)在(1,4<。)單調(diào)遞增

x1

即g(x)>g(l)=。,所以￡e--xex>0

x

1

令h(x)=Inx——(x,x>1

X

2X-X2-1-(A-1)2

h'(x)=—=

x22x22/

所以//（X）在（1,+O））單調(diào)遞減

即〃。）<〃（1）=0,所以111無一3（工一，）<0；

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式

/7a）=lnx-g（x—1］這個(gè)函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

2+t

X=-----

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為《6。為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程為

%=--2--+--s

<6（s為參數(shù)）.

y=-4s

（1）寫出G普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cos夕-sin6=0,

求G與Ci交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與C交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

【答案】（1）/=6x-2（y>0）；

（2）的交點(diǎn)坐標(biāo)為加，（1,2）,。3，。2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（一；，一1），（-1,-2）.

【解析】

【分析】（1）消去乙即可得到G的普通方程；

（2）將曲線。2，。3的方程化成普通方程，聯(lián)立求解即解出.

【小問1詳解】

因?yàn)閄=y=手，所以x=2±2二，即G的普通方程為y2=6x-2（yN0）.

66

【小問2詳解】

因?yàn)閤=------，丫=_&,所以6x=—2—V，即的普通方程為產(chǎn)=-6尤-2（y<0）,

6

由2cos。-sin6=0=2夕cose-/7sin6=0,即的普通方程為2x-y=0.

聯(lián)立卜=6x-2（”0）,解得：5或［"=1，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）；

I2x-y=0［,=］b=2（2J''

聯(lián)立廠U）,解得：｛2或（即交點(diǎn)坐標(biāo)為一個(gè)

2x-y=0j［k-212J'）

［選修4-5：不等式選講］

23.已知〃，4c均為正數(shù)，且々2+22+4,=3，證明：

（1）Q+8+2C<3；

（2）若b=2c,則

ac

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）a2+Z?2+4c2^a2+b2+（2c）2,利用柯西不等式即可得證；

（2）由（1）結(jié)合己知可得0<a+4cW3,即可得到」一2,，再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.

a+4c3

【小問1詳解】

22222

證明：由柯西不等式有［/+從+（2c）］（1+1+1）>（?+/?+2c）,

所以a+6+2cW3,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2c=l時(shí)，取等號(hào)，

所以a+b+2cK3；

【小問2詳解】

證明：因?yàn)??=2c,a>0,Z?>0,c>0,由（1）得a+）+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以」一2」，

a+4c3

由權(quán)方和不等式知工+L=工+竺N（+2）2=923

aca4ca+4ca+4c

121

當(dāng)且僅當(dāng)一二一，即a=l,c=一時(shí)取等號(hào)，

a4c2

所以工+，23.

ac

高中的學(xué)習(xí)方法總結(jié)

關(guān)于高一

一、高一關(guān)鍵詞難

從初中到高中是個(gè)從量變到質(zhì)變的過程，高中整體呈現(xiàn)知識(shí)量增大理論性增強(qiáng)、系統(tǒng)性增

強(qiáng)、綜合性增強(qiáng)、能力要求增加的6增趨勢(shì)，而蓋伊又是數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科難點(diǎn)最集中的

年級(jí)，所以對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，初三到高一不是個(gè)坡兒，而是個(gè)坎兒，必須要跳才能完成這個(gè)

質(zhì)變的過程

二、高一最重要的事情

1、重視高一成就高考-一高一是整個(gè)高中階段的開始，抓住高一讓自己一開始就能夠占據(jù)

領(lǐng)先位置，對(duì)學(xué)生高中階段的發(fā)展至關(guān)重要，多年的高考經(jīng)驗(yàn)顯示，對(duì)高一的重視程度和3年

后的高考成績(jī)成正比關(guān)系，想要在高考中取得好成績(jī)，一定要從高一抓起！

2、提前動(dòng)手，從容應(yīng)對(duì)--剛剛經(jīng)歷了中考，很多學(xué)生沉浸在緊張后的放松里，但是學(xué)習(xí)

如逆水行舟，不進(jìn)則退，稍一放松，可能就會(huì)給自己的高一學(xué)習(xí)制造麻煩，抓住高一開始，讓

自幾的高中學(xué)習(xí)一帆風(fēng)順！

3、發(fā)現(xiàn)漏洞及時(shí)彌補(bǔ)一高中學(xué)習(xí)比較緊張，發(fā)現(xiàn)漏洞千萬不要以太忙太累為由任其存在

和發(fā)展，因?yàn)橹R(shí)之間是有內(nèi)在聯(lián)系的，漏洞不補(bǔ)，會(huì)影響其他知識(shí)的學(xué)習(xí)和綜合應(yīng)用，并且

積累得太多，會(huì)覺得無從下手，只好放棄，給高考造成很大損失！

4、成績(jī)波動(dòng)正確看待--高一學(xué)習(xí)成績(jī)波動(dòng)是非常正常的事情，一般來說，只要適應(yīng)了高

中老師的講課方式、掌握了高中知識(shí)的學(xué)習(xí)方法，成績(jī)都會(huì)逐步上升并且趨于穩(wěn)定的。因?yàn)槌?/p>

績(jī)的暫時(shí)下降而失去信心或?qū)δ硞€(gè)學(xué)科失去興趣是得不嘗失的。

關(guān)于高二

—?、高二關(guān)鍵詞---分化

高二是一個(gè)比較特殊的年級(jí)，一方面已經(jīng)適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)生活，另一方面緊張的高三還沒

有來臨，所以心理上比較輕松；同時(shí)，高二還要面對(duì)多個(gè)科目的會(huì)考，會(huì)分三高考科目的注意

力；另外，很多家長(zhǎng)理解上有誤區(qū)；高二先放松一下，要不在高三就沒有放松的時(shí)候了。

這種想法非常錯(cuò)誤，結(jié)果就是高二是輕松了，到高三也緊張不起來。以上各種因素綜合起

來，造成了嚴(yán)重的分化，一些學(xué)生到高三再想努力的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)已為時(shí)太晚！

二、高二最重要的事情

1、均衡發(fā)展--高考錄取依據(jù)是總成績(jī)，只要沒有嚴(yán)重的偏科，即便是各科都成績(jī)平平，

在高考中也能取得一個(gè)不錯(cuò)的成績(jī)。如果在高三沖刺中還能夠部分學(xué)科有所突破，就會(huì)考得非

常理想，所以均衡發(fā)展是取得高考好成績(jī)的基礎(chǔ)。

2、提前備考-一高考考得是整個(gè)高中三年的知識(shí)，而不只是高三的知識(shí)。不要認(rèn)為高考就

是高三的事情，其實(shí)每個(gè)階段都是在備考，都是在為高考打基礎(chǔ)，高二尤其如此。

3、強(qiáng)化基礎(chǔ)--高一的很多知識(shí)是在以后的學(xué)習(xí)中必須要用到的基礎(chǔ)知識(shí)，所以如果發(fā)現(xiàn)

高一的部分知識(shí)沒有完全掌握，千萬不能等到高三復(fù)習(xí)的時(shí)候再去解決，要盡快補(bǔ)上，使自己

高二高三的學(xué)習(xí)更加順暢。

關(guān)于高三

一、高三關(guān)鍵詞--一沖刺

步入高三，就像戰(zhàn)場(chǎng)上吹響了沖鋒號(hào)，從這一刻起，需要全力沖刺-一心無旁鷲、全力以

赴、堅(jiān)持不懈、決不放棄！不管自己的水平如何，不論自己的能力怎樣最關(guān)鍵的是你沖刺了沒

有？（可以掛座右銘或激勵(lì)性的話語警醒自己）

二、高三最重要的事情

1、明確目標(biāo)…明確高考目標(biāo)，同時(shí)分析自己的程度，明確差距。對(duì)目標(biāo)學(xué)校的情況初步

了解（對(duì)比歷年招生情況，有無加分限制）。如果沒有合理定位自己，是無法完成科學(xué)規(guī)劃的

2、恰當(dāng)選擇--對(duì)于高三學(xué)生來說，選擇課外輔導(dǎo)是必不可少的，老師的引領(lǐng)和點(diǎn)撥可以

讓你進(jìn)步的更快，但是課外輔導(dǎo)的形式很多，如：在線課程、班級(jí)輔導(dǎo)、串講課堂、一對(duì)一輔

導(dǎo)、請(qǐng)家教、或是最近流行的隨叫隨到的某品牌家教機(jī)等，根據(jù)自身情況選擇合適的學(xué)習(xí)模式，

才能用時(shí)最短、效果最好。

3、重視第一輪復(fù)習(xí)一第一輪復(fù)習(xí)是最全面、最系統(tǒng)的，也是大多數(shù)學(xué)生最認(rèn)真最有成

效的。在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)，不投機(jī)、不偏頗、不耍小聰明，才能收獲最大。

4、調(diào)整心態(tài)——高三沒完沒了的做題、沒完沒了的考試，還有家長(zhǎng)和老師沒完沒了的嘮

叨，加上自己給自己的壓力，很容易有急躁、郁悶、迷茫、懈怠等情緒。這個(gè)時(shí)候如果能夠及

時(shí)調(diào)整，讓心態(tài)回歸到正確的軌道上，就是往高考成功道路上前進(jìn)了巨大的一步。但若這種心

態(tài)蔓延，就會(huì)成為你高考成功路上難以逾越的障礙

在學(xué)習(xí)方面他們應(yīng)該這樣做：

1

處理好知識(shí)與能力的關(guān)系

學(xué)生在校學(xué)習(xí)中，一定要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)。基礎(chǔ)是什么？就是課本上的那些知識(shí)，就

是平常我們做的最多的作業(yè)題型?；A(chǔ)知識(shí)學(xué)好了，學(xué)習(xí)能力自然就提高了。學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，掌

握知識(shí)的速度就快。

2

處理好看書與做題的關(guān)系

學(xué)生一定要保證看書的時(shí)間。比如英語，對(duì)一些常見的詞匯、知識(shí)點(diǎn)、語法等一定要多看,

多看才能記熟，才能順利做題。不要搞題海戰(zhàn)術(shù)，但也要做一定量題。做臨考前的復(fù)習(xí)題要有

代表性、典型性。

3

處理好學(xué)習(xí)與休息的關(guān)系

要保持一個(gè)良好的心態(tài)，不要打疲勞戰(zhàn)，尤其是到考試時(shí)，不要過度緊張，要適當(dāng)休息,

勞逸結(jié)合。學(xué)習(xí)時(shí)要有一定的收獲，不做無用功。要注意學(xué)習(xí)做題的效率和效果。

4

學(xué)會(huì)做和自己水平相當(dāng)?shù)念}。

無論是中考或是高考。臨考前一段時(shí)間，應(yīng)結(jié)合自己的實(shí)際水平進(jìn)行復(fù)習(xí)，做與自己水平

相當(dāng)模擬題。首先要保證基礎(chǔ)題要做對(duì)，基礎(chǔ)題沒做對(duì)，難題更沒有希望了。越接近考試，越

要適當(dāng)降低練習(xí)的難度，不做那些偏題和怪題，這有利于增強(qiáng)自信心。

5

平時(shí)做題要講究質(zhì)量不要追求數(shù)量

對(duì)于大量的典型例題，要透徹的做到底、做明白。我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，盲目的做大量的題目是

不會(huì)有太多效果的。比如你英語閱讀能力很一般，一口氣看幾十篇閱讀理解文章，做了好幾十

道選擇題，可惜一篇都沒看懂或是半懂不懂，選擇答案時(shí)也是連蒙帶猜。這樣還不如用同樣的

時(shí)間作一篇或幾道題，徹底把它讀懂弄透，不認(rèn)識(shí)的單詞就去查字典，把整篇文章結(jié)構(gòu)，每個(gè)

句子的意思都搞清楚，每個(gè)答案都弄明白，這樣日積月累下來進(jìn)步肯定非常驚人。做什么數(shù)學(xué)

題、化學(xué)題或生物題等也是一樣的。做一道題就把他的解題思路、涉及的知識(shí)點(diǎn)都弄清楚明白，

能夠舉一反三，下次在碰到類似的題目就不怕了。這樣哪怕是用平時(shí)做十道題的時(shí)間來做一道

題，學(xué)習(xí)效率也會(huì)大大的提高。

怎樣學(xué)好語文

1

勤記憶

這里的記憶并不同于英語的語法的死記硬背，而是指理解地記。例如：當(dāng)新學(xué)一個(gè)生字麗

的時(shí)候，你只要理解這個(gè)字的含義是好看、漂亮的意思、，就能舉一反三地理解出秀麗壯麗、美

麗等一大串和麗有關(guān)的詞語。長(zhǎng)期如此，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己已經(jīng)懂得了許多字、詞。

2

深感悟

有的同學(xué)最怕考試中出現(xiàn)那些寫出文章中心思想的題目，其實(shí)過這一關(guān)很容易，你只要用

心去讀，用心去感受就會(huì)自然而生。比如：我們讀朱自清的《背影》就要全身心地投入進(jìn)去,

就像自己的父親關(guān)愛自己一樣去感悟，你就產(chǎn)生一種感激之情，輕松寫出作者的寫作目的和文

章的中心思想。

3

善聯(lián)想

在學(xué)習(xí)古詩文時(shí)，可以閉上雙眼，仿佛自己回到了詩人所描繪的情境中，你就會(huì)不知不覺

的記住和理解其意思、。

4

多練筆

作文。一個(gè)讓許多同學(xué)頭痛的難題。其實(shí)也簡(jiǎn)單，只要你記住六個(gè)字“閱讀、積累、練筆二

從多閱讀課外書積累出更多的名言警句，最后動(dòng)筆寫出來或者多寫日記等，到了關(guān)鍵時(shí)候，自

然而然就下筆如有神了。

5

培養(yǎng)語文自學(xué)能力

語文是一門最易自學(xué)成才的課程，古今中外不少大作家都是自學(xué)成才的。作文寫的好，工

具書不可少，養(yǎng)成一個(gè)勤查字典、詞典的好習(xí)慣。語文是一門語言學(xué)科，字、詞典是無聲的老

師，字音、字義及相應(yīng)用法在字典里都說的很清楚。因此，備齊工具書是學(xué)習(xí)好語文的一個(gè)首

要條件。

6

要把學(xué)習(xí)語文當(dāng)成一件快樂的事情

它的讀音、解詞造句、詩歌、散文、小說、戲劇等都是非常有趣的。尤其是當(dāng)我們?cè)谧鐾?/p>

數(shù)理化作業(yè)后，看看語文方面的東西，簡(jiǎn)直是一種享受。相信，作為華夏子孫的我們一定會(huì)學(xué)

好祖國(guó)的語言文字的

高中拉分看語文一一高中語文基本學(xué)習(xí)方法

高一語文注重閱讀理解能力以及文言文基礎(chǔ)，會(huì)讓新高一同學(xué)們?cè)陂_始時(shí)較難入手。讓我

們來看看高中語文如何學(xué)習(xí)

高中語文的基本學(xué)習(xí)方法

1、主動(dòng)預(yù)習(xí)

對(duì)于語文課來講，預(yù)習(xí)相當(dāng)重要，特別是古文學(xué)習(xí)，如果你能在預(yù)習(xí)階段就能通過自己的

思考將文章中出現(xiàn)的重要語法知識(shí)歸納出來，學(xué)會(huì)主動(dòng)學(xué)習(xí)，便可以達(dá)到以下四個(gè)目標(biāo)：

(1)大致了解：對(duì)課文或下一課所學(xué)的內(nèi)容及層次有大致的了解；

(2)鞏固梳理：鞏圍復(fù)習(xí)舊知識(shí)，理解新知識(shí)，能把新舊知識(shí)進(jìn)行粗層次的有機(jī)聯(lián)系；

(3)找出重點(diǎn)：找出課文中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和自己感到費(fèi)解的地方，尤其對(duì)那些似是而非、似

曾相識(shí)的知識(shí)要特別引起注意；

(4)課后練習(xí)：了解課文后面的練習(xí)，對(duì)于難度較大的問題要做記號(hào)，等老師授課時(shí)注意聽

講或提出。預(yù)習(xí)實(shí)際上是聽課前在思想上、心理上及知識(shí)上的準(zhǔn)備。

2、專心上課

課堂是教育教學(xué)的主陣地。學(xué)生在校的