材料力學課件

第二章軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮是一種工程中常見的桿件的基本變形，例如：第一節(jié)引言軸向拉伸（壓縮）的受力特點：軸向拉伸（壓縮）的變形特點：承受軸向拉伸（壓縮）的桿件簡稱為拉（壓）桿與桿的軸線重合桿件沿軸線方向伸長（縮短）所受外力或外力合力的作用線拉桿壓桿[例1]判斷下列桿件哪些屬于軸向拉伸（壓縮）？軸向拉伸軸向壓縮偏心壓縮偏心拉伸第二節(jié)

軸力與軸力圖一、內(nèi)力與截面法內(nèi)力：截面法：截面法的基本思路：外力引起的構件內(nèi)部相連部分之間的相互作用力分析計算內(nèi)力的基本方法截開桿件，暴露內(nèi)力，根據(jù)平衡原理確定內(nèi)力二、拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力·軸力在拉（壓）桿橫截面上，只存在一個作用線與桿的軸線重合的內(nèi)力，稱之為軸力，記作

FN，并規(guī)定拉正壓負三、軸力圖表達軸力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖線[例2]試作出圖示拉（壓）桿的軸力圖。

[例3]試作出圖示拉（壓）桿的軸力圖。

第二節(jié)

軸力與軸力圖◆內(nèi)力與截面法第二章軸向拉伸與壓縮◆拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力·軸力在拉（壓）桿橫截面上，只存在一個作用線與桿的軸線重合的內(nèi)力，稱之為軸力，記作

FN，并規(guī)定拉正壓負第三節(jié)拉（壓）桿的應力

一、應力概念定義：稱為

k

點的應力如圖，分布內(nèi)力在

k

點的集度截面上分布內(nèi)力的集度表達方式：垂直于截面的法向應力分量稱為正應力，記作

，并規(guī)定拉正壓負；相切于截面的切向應力分量稱為切應力，記作

，并規(guī)定順時針轉向為正、逆時針轉向為負。單位：其中為

Pa。1

Pa=1

N/m2，常用MPa，有時用

GPa。應力常用其一對正交分量表示，在國際單位制中，應力的單位二、拉（壓）桿橫截面上的應力拉（壓）桿橫截面上只存在正應力。FN為橫截面上的軸力。式中，拉（壓）桿橫截面上的正應力均勻分布，即有作用于桿端的外力的分布方式，會影響桿端局部區(qū)域的應力分布，其影響區(qū)至桿端的距離大致等于桿的橫向尺寸。三、圣維南原理A

為橫截面的面積；四、拉（壓）桿斜截面上的應力斜截面的方位角

：在拉（壓）桿的斜截面上，既有正應力，又有切應力，其計算公式為式中，

為斜截面的方位角

；

為橫截面上的正應力。截面外法線

n

與

x

軸正方向之間的夾角，并規(guī)定以

x

軸為始邊，逆時針轉向的

角為正，反之為負?！?/p>

計算時應注意

與

的正負號。討論：1）當

=0°時，即在橫截面上，

max=

；3）切應力互等定理：

+

90°

=－

，即在任意兩個相互垂直的斜截面上，切應力大小相等、轉向相反。2）當

=45°時，即在

45°斜截面上，

max=

/

2

；[例1]如圖，已知

AB

為直徑

d=

15

mm

的圓截面桿，AC

為邊長

a

=

20

mm

的正方形截面桿，F(xiàn)=

10

kN，試計算兩桿橫截面上的應力。

解：用截面法，截取節(jié)點

A

為研究對象并作受力圖。列平衡方程，解得兩桿軸力1）計算兩桿軸力

2）計算兩桿應力AB桿：AC桿：

[例2]圖示壓桿，已知軸向壓力

F=

25

kN，橫截面面積

A=200mm2

，試求

m

-

m斜截面上的應力。

解：m

-

m斜截面的方位角橫截面上的正應力代入公式即得該斜截面上的正應力與切應力第四節(jié)拉（壓）桿的變形一、應變概念定義

為線應變，簡稱應變說明：2）

＞

0

為伸長，

＜

0

為縮短。3）量綱為一1）線應變反映了拉（壓）桿的變形程度，具有可比性。二、拉（壓）桿的軸向變形·胡克定律試驗表明，在線彈性范圍內(nèi)，有上式稱為胡克定律，可改寫為式中，E

為材料常數(shù)，稱為彈性模量，單位為

Pa

；EA

稱為桿件的抗拉（壓）剛度注意胡克定律的適用條件：1）線彈性范圍，即桿內(nèi)應力不大于材料的比例極限，

≤

p;2）單向拉伸（壓縮）三、拉（壓）桿的橫向變形·泊松比拉（壓）桿的橫向應變：式中，試驗表明，在彈性范圍內(nèi)，有2）

的量綱為一說明：

為材料常數(shù)，稱為橫向變形因數(shù)或泊松比1）在彈性范圍內(nèi)，

為材料常數(shù)

為軸向應變[例1]圖示階梯桿，已知軸向載荷

F1

=

20

kN、F2

=

50

kN，AB

段橫截面面積A1

=

300

mm2

，BC段和CD段橫截面面積

A2

=

A3

=

600

mm2，三段桿的長度

l1

=

l2

=

l3

=

100

mm，鋼材彈性模量

E

=

200

GPa，試求該階梯桿的軸向變形。

解：畫出桿的軸力圖2）分段計算軸向變形1）畫軸力圖3）計算總軸向變形[例2]試求圖示等直桿因自重引起的伸長。已知桿的原長為l，橫截面面積為A

，材料的彈性模量為E

，質量密度為

。

解：由截面法，得

x

截面上的軸力采用積分元素法即得桿的重力可視為沿桿的軸線平均分布，其分布集度[例3]圖示構架，已知桿

1

用鋼制成，彈性模量

E1

=

200

GPa，長度l1=

1

m，橫截面積

A1

=

100

mm2

；桿2用硬鋁制成，彈性模量

E2

=

70

GPa，長度

l2=

0.707

m，橫截面面積A2

=

250

mm2

。若載荷F

=

10

kN，試求節(jié)點

A

的位移。

解：截取節(jié)點A

，作受力圖1）計算桿的軸力由平衡方程得兩桿軸力2）計算桿的軸向變形由胡克定律得兩桿軸向變形3）計算節(jié)點

A

的位移小變形條件下，以切線代弧線、以直代曲◆

在小變形的條件下，在確定支座反力和內(nèi)力時，一般可忽略桿件變形、按照結構的原始尺寸和位置來進行計算；在確定位移時，則可采用上述“以切線代弧線”、“以直代曲”的方法。這樣，可使問題的分析計算大為簡化。得節(jié)點

A

的水平位移、豎直位移分別為[例4]已知鋼制螺栓內(nèi)徑d1=

10.1

m，擰緊后測得在長度

l=

60

mm內(nèi)的伸長

l=

0.03

mm

；鋼材的彈性模量

E

=

200

GPa，泊松比

=

0.3。試求螺栓的預緊力與螺栓的橫向變形。

解：螺栓橫截面上的應力螺栓的預緊力擰緊后螺栓的軸向線應變螺栓的橫向應變螺栓的橫向變形第五節(jié)材料在拉伸時的力學性能一、拉伸試驗簡介試驗標準：GB228－1987金屬材料室溫拉伸試驗方法標準拉伸試樣：規(guī)定標距:或者GB/T228－2002金屬材料室溫拉伸試驗方法標距：試樣工作段的原始長度試驗設備：液壓式電子式二、低碳鋼的拉伸曲線1.線彈性階段（Ob

段）性能特點——

⑴彈性變形彈性變形：卸載后會消失的變形⑵應力與應變成正比（Oa

段）性能參數(shù)——

⑴比例極限

p

胡克定律適用范圍：

≤

p⑵彈性模量

E彈性模量

E

就等于

Oa

直線段的斜率，即2.屈服階段（bc

段）性能特點——

⑴塑性變形塑性變形：卸載后不會消失⑵屈服現(xiàn)象性能參數(shù)

——

⑴屈服極限

s屈服極限

s：下屈服點的應力，即發(fā)生屈服現(xiàn)象的最小應力屈服現(xiàn)象：材料暫時喪失了的變形變形抗力3.強化階段（

ce

段）性能特點——

⑴彈塑性變形⑵強化現(xiàn)象性能參數(shù)

——

強度極限

b強度極限

b

：

—

曲線最高點的應力，即斷裂前所能承受的強化現(xiàn)象：材料恢復了變形抗力最大應力4.縮頸階段（ef段）⑴縮頸現(xiàn)象：⑵變形抗力急劇下降，直至斷裂變形局部化性能特點——

三、卸載規(guī)律與冷作硬化現(xiàn)象冷作硬化現(xiàn)象：卸載規(guī)律：線性卸載，如圖中

dd′直線段材料預加塑性變形后重新加載，比例極限提高，塑性變形降低四、材料的塑性指標（1）伸長率式中，l為標距；l1

為試件拉斷后工作段的長度（2）斷面收縮率式中，A

為原始橫截面積；A1

為試件拉斷后斷口處最小橫截面積工程中通常將材料劃分為兩類：塑性材料脆性材料五、名義屈服極限

有些塑性材料不存在明顯的屈服階段，工程中通常以產(chǎn)生0.2%的塑性應變所對應的應力作為屈服強度指標，稱為名義屈服極限或條件屈服極限，記作

0.2六、鑄鐵的拉伸

–

曲線性能特點

——

1.塑性變形很小

2.抗拉強度很低3.強度指標：強度極限

b4.彈性模量為近似值以

–

曲線開始部分的割線的斜率作為彈性模量，即對于鑄鐵，胡克定律近似成立第六節(jié)材料在壓縮時的力學性能試驗標準：標準試件：一、低碳鋼的壓縮曲線1)

壓縮時的比例極限

p、屈服2)

壓縮時不存在強度極限

b主要結論：GB/T7314－2005金屬壓縮試驗方法GB7314－1987金屬壓縮試驗方法短圓柱，dh

高度

h

與直徑

d

的比一般為2.5

～

3.5極限

s、彈性模量

E

與拉伸時大致相同二、鑄鐵的壓縮

曲線1)

抗壓強度極限

bc

明顯高于抗拉強2)

斷口方位角大致為

45°～

55°◆

脆性材料適宜制作承壓構件◆

什么原因？主要結論：度極限

b

(鑄鐵約為

3～4

倍)第七節(jié)拉（壓）桿的強度計算一、強度失效·極限應力·許用應力與安全因數(shù)強度失效：強度失效的兩種形式：1）塑性材料：2）脆性材料：極限應力：塑性材料（拉、壓相同）脆性材料（

bc＞

b）塑性屈服脆性斷裂材料喪失承載能力材料強度失效時所對應的應力，記作

u

，應取許用應力：式中，n

為大于1的常數(shù)，稱為安全因數(shù)作

[

]

，材料不發(fā)生強度失效所允許承受的最大應力，記工程中規(guī)定拉（壓）桿的強度條件：二、拉（壓）桿的強度條件強度條件：說明：1）對于塑性材料，拉伸與壓縮許用應力

[

]

基本相同，無需區(qū)分；對于脆性材料，拉伸許用應力

[

t

]與壓縮許用應力[

c

]

差異很大，必須嚴格區(qū)分。2）工程中規(guī)定，在強度計算中，如果桿件的實際工作應力

超出了材料的許用應力[

]

，但只要超出量

－

[

]

不大于許用應力[

]

的

5%，仍然是容許的。防止強度失效，保證安全工作的條件三、強度計算的三種類型1）校核強度2）截面設計3）確定許可載荷[例1]圖示圓截面階梯桿，已知軸向載荷

F1=

20

kN、F2=

50

kN；桿的直徑

d1

=

14.5

mm、d2

=

16

mm；材料為

Q235

鋼，屈服極限

s=

235

MPa

，取安全因數(shù)

ns=

1.8

，試校核該階梯桿的強度。

解：2）強度校核材料的許用應力1）作軸力圖分段進行強度校核AB段：

故AB段強度滿足要求

BC段：

故

BC段強度也滿足要求

解：[例2]如圖，已知吊重

F

=

1000

kN，兩側對稱斜拉桿由圓截面的鋼桿制成，材料的許用應力

[

]

=

120

MPa，

角為

20°，試確定斜拉桿橫截面的直徑。截取吊環(huán)的上半部分為研究得斜拉桿軸力對象，由平衡方程1）計算斜拉桿的軸力2）截面設計

根據(jù)拉（壓）桿強度條件解得斜拉桿橫截面的直徑故取斜拉桿直徑解：[例3]如圖，斜桿AB

由兩根80mm×80mm×7mm的等邊角鋼構成，橫桿AC

由兩根

No.10

槽鋼構成，許用應力[

]=120MPa，試根據(jù)強度確定許可載荷

[F

]

。

截取節(jié)點

A

，解得兩桿軸力列平衡方程1）計算兩桿軸力2）確定許可載荷查型鋼表，得斜桿

AB

橫截面面積橫桿

AC

橫截面面積由斜桿

AB

強度條件

解得再由橫桿

AC

強度條件

解得

所以，該支架的許可載荷為由斜桿

AB

強度條件

[例4]圖示組合屋架，已知屋架的跨度

l=8.4

m、高度

h=

1.4

m；所受均布載荷

q=

10

kN/m；圓截面鋼拉桿

AB

的直徑d=22mm；許用應力

[

]

=

160

MPa，試校核鋼拉桿

AB

的強度。解：截取左半個屋架為研究對象由對稱性得屋架的支座反力1）計算桿

AB

的軸力作受力圖由平衡方程得桿

AB

的軸力根據(jù)拉桿

AB

的強度條件2）校核桿

AB

的強度所以，鋼拉桿

AB

的強度仍然符合要求但由于第八節(jié)應力集中概念一、應力集中現(xiàn)象由于構件截面形狀或尺寸突然變化而引起的局部應力急劇增大的現(xiàn)象稱為應力集中。二、理論應力集中因數(shù)定義為理論應力集中因數(shù)說明：2）構件的角愈尖，孔愈小，截面尺寸改變的愈急劇，理論式中，

max為應力集中處的最大應力

為同一截面上的名義平均應力1）理論應力集中因數(shù)

K

愈大，構件的應力集中程度就愈大。應力集中因數(shù)

K

就愈大，即應力集中程度就愈大。三、應力集中對構件強度的影響1.在靜載荷作用下，應力集中對構件強度的影響與材料有關對于塑性材料，由于屈服現(xiàn)象，可以不考慮應力集中對構件強度的影響；

對于脆性材料(鑄鐵例外)，則必須考慮應力集中對構件灰口鑄鐵的內(nèi)部組織2.在交變載荷作用下，無論是塑性材料還是脆性材料，應力集中都將成為構件破壞的根源，都必須考慮應力集中對構件強度的影響。強度的影響。第九節(jié)簡單拉伸（壓縮）超靜定問題基本方法——基本步驟——1）作受力圖，列平衡方程；2）畫變形圖，列變形協(xié)調(diào)方程；3）借助物理方程（胡克定律），由4）聯(lián)立解方程，求出未知量。變形比較法變形協(xié)調(diào)方程得補充方程；要點——1）列平衡方程必須作受力圖2）列變形協(xié)調(diào)方程必須畫變形圖3）列變形協(xié)調(diào)方程時注意利用小變形假設[例1]如圖，等截面直桿兩端固定，在截面

C

處受一軸向外力F

的作用，桿的抗拉（壓）剛度為

EA，試作其軸力圖。解：作受力圖這是一次超靜定問題，需要有一個補充方程才能獲解。列平衡方程2）列變形協(xié)調(diào)方程因兩端固定約束的限制，變形后桿件的總長保持不變，故有變形協(xié)調(diào)方程1）列平衡方程3）建立補充方程根據(jù)胡克定律，代入變形協(xié)調(diào)方程，得補充方程4）求解未知力聯(lián)立補充方程與平衡方程，求得未知約束力作出軸力圖[例2]如圖，已知彈性桿

EC、HD

的抗拉（壓）剛度分別為E1A1、E2A2，橫梁

AB

是剛性的，試求載荷F

引起的兩桿軸力。解：作橫梁

AB

的受力圖，列出求解兩桿軸力的有效平衡方程

2）列變形協(xié)調(diào)方程畫結構的變形圖，得變形協(xié)調(diào)方程

1）列平衡方程3）建立補充方程利用胡克定律，由變形協(xié)調(diào)方程得補充方程4）解方程，求解未知軸力聯(lián)立補充方程與平衡方程，求得桿

EC

軸力桿

HD

軸力◆

對于超靜定結構，內(nèi)力與桿的相對剛度有關，桿的相對剛度愈大，其內(nèi)力就愈大。[例3]圖示階梯鋼桿，在溫度為15℃

時，兩端固定在絕對剛硬的墻壁上，已知

AC、CB

兩段桿的橫截面積分別

A1=

200

mm2

、

A2=100

mm2，鋼材的彈性模量

E=200GPa

、線脹系數(shù)

=1.25×10-5/℃

。試求當溫度升高至

55℃

時，桿內(nèi)的最大正應力。

解：作出桿的受力圖，2）列變形協(xié)調(diào)方程桿件總長維持不變，故有變形協(xié)調(diào)方程列平衡方程式中，

lF為兩端約束力引起的軸向變形，

lT為溫度變化引起的軸向變形。1）列平衡方程3）建立補充方程由胡克定律根據(jù)線脹系數(shù)

的定義代入變形協(xié)調(diào)方程，得補充方程4）解方程，求解未知量解方程，得◆

對于超靜定結構，由于多余約束的存在，當溫度變化時，桿件不能自由伸縮，將在桿內(nèi)引起應力。這種因溫度變化而引起的應力稱為溫度應力。桿內(nèi)的最大正應力位于

CB

段的橫截面上，為[例4]圖示結構，已知桿

1、桿

2

的抗拉(壓)剛度同為E1A1，桿

3

的抗拉(壓)剛度為E3A3。若因加工誤差，桿

3

的實際長度比設計長度

l短了

（

＜＜

l

），試求將其強行裝配后各桿內(nèi)產(chǎn)生的應力。解：截取節(jié)點

A

，作受力圖1）列平衡方程列平衡方程2）列變形協(xié)調(diào)方程畫出結構變形圖3）建立補充方程利用胡克定律，由變形協(xié)調(diào)方程得補充方程小變形，以直代曲，得變形協(xié)調(diào)方程4）解方程，計算軸力與應力聯(lián)立求解方程，得各桿軸力再除以橫截面面積，即得各桿應力◆

對于超靜定結構，這種因構件尺寸誤差假設

=

30°，

/

l=

1

/

1000

，三桿的抗拉

(

壓

)

剛度均相同，材料的彈性模量

E=200GPa，計算得各桿橫截面上的應力分別為強行裝配而引起的應力稱為裝配應力。第一節(jié)引言第三章剪切與擠壓在工程結構或機械中，構件之間通常通過鉚釘

銷軸

鍵鍵

等連接件相連接。這類連接件的主要變形破壞形式是剪切與擠壓。銷軸鉚釘本章主要解決連接件的強度問題。剪切的受力特點——剪切的變形破壞特點——構件在兩側面受到大小相等、方向相反、作用線相距很近的橫向外力(外力合力)的作用。構件沿位于兩側外力之間的截面發(fā)生相對錯動(被剪斷)。發(fā)生錯動的截面稱為剪切面。鉚釘剪切面一、剪切變形連接件在受到剪切變形的同時，往往還要受到擠壓變形。在外力作用下，連接件與被連接構件之間在側面互相壓緊、傳遞壓力。如果接觸面較小而傳遞的壓力較大，就有可能在接觸面局部被壓潰或發(fā)生塑性變形，這種變形破壞形式就稱為擠壓。傳遞壓力的接觸面稱為擠壓面。二、擠壓變形第二節(jié)剪切的實用強度計算一、剪切面上的內(nèi)力

剪切面上的內(nèi)力為一個切向力，稱為剪力，記作

FS

。鉚釘二、剪切面上應力的實用計算式中，AS為剪切面的面積在剪切面上，只存在切應力工程中假設剪切面上的切應力平均分布，即有FS為剪切面上的剪力三、剪切強度條件

式中，[

]為材料的許用切應力第三節(jié)擠壓的實用強度計算一、擠壓應力的實用計算在擠壓面上，存在著法向的擠壓應力，記作

bs式中，F(xiàn)bs為擠壓面上的擠壓力；Abs為擠壓面的計算面積，取實際擠壓面在垂直于擠壓力的平面上投影的面積。擠壓應力的工程實用計算公式為二、擠壓強度條件

式中，[

bs

]

為材料的許用擠壓應力[例1]

圖示掛鉤裝置，已知拉力F

=

20

kN，t1=

8

mm，t2=

5

mm，銷釘材料的許用擠壓應力

[

bs]

=

190

MPa，許用切應力

[

]

=

60

MPa，試確定銷釘直徑

d

。解：銷釘承受雙剪，每個剪切面上的剪力1）根據(jù)剪切強度條件確定銷釘直徑根據(jù)剪切強度條件

得銷釘直徑

2）根據(jù)擠壓強度條件確定銷釘直徑

由于

t1<

2

t2

，故知最大擠壓應力發(fā)生在銷釘?shù)闹虚g段，于是根據(jù)擠壓強度條件得銷釘直徑因此，可取銷釘直徑

[例2]

圖示連接件由兩塊鋼板用

4

個鉚釘鉚接而成。已知板寬

b=

80

mm、板厚

=

10

mm；鉚釘直徑

d

=

6

mm；板和鉚釘材料的許用切應力

[

]

=

100

MPa、許用擠壓應力

[

bs]

=

280

MPa、許用拉應力

[

]

=

160

MPa。試確定該連接件所允許承受的軸向拉力F。解：由剪切強度條件解得1）根據(jù)鉚釘?shù)募羟袕姸却_定許可軸向拉力由于這是對稱性問題，可以假設各鉚釘受力相同，于是，各鉚釘剪切面上的剪力均為解得2）根據(jù)鉚釘和板的擠壓強度確定許可軸向拉力由擠壓強度條件顯見，各擠壓面上的擠壓力均為3）根據(jù)板的拉伸強度確定許可軸向拉力作出板的受力圖，畫軸力圖，可見1-1截面與2-2截面為可能的危險截面，應分別對其進行拉伸強度計算。解得由

1-1截面的拉伸強度再由

2-2

截面的拉伸強度解得綜上所述，該連接件的許可軸向拉力為[例3]如圖，已知鋼板厚度

t

=

5

mm，剪切強度極限

b

=

160

MPa。欲用沖床將鋼板沖出直徑

d

=

25

mm

的孔，問所需的沖剪力

F

應為多大？解：由鋼板受剪切變形，剪切面為圓柱側面得沖孔所需沖剪力為故取沖剪力為[例

4]如圖，皮帶輪通過鍵與軸聯(lián)接，已知皮帶輪傳遞的力偶矩M

=600

N·m;軸的直徑

d

=

40

mm；鍵的尺寸

b=

12

mm、h

=8

mm、l=55

mm；鍵材料的許用切應力[

]

=

60

MPa、許用擠壓應力[

bs

]

=

180MPa，試校核鍵的強度。

解：選取鍵和軸為研究對象，作受力圖⑴計算鍵的受力

得鍵所受擠壓力由平衡方程⑵

校核鍵的剪切強度根據(jù)剪切強度條件鍵的剪切強度符合要求由截面法，⑶校核鍵的擠壓強度鍵的擠壓力得剪力根據(jù)擠壓強度條件鍵的擠壓強度符合要求結論：鍵的強度符合要求[例5]圖示帶肩桿件，已知材料的許用切應力

[

]=

100

MPa、許用擠壓應力

[

bs

]=320MPa、許用拉應力

[

]=160MPa，試確定許可載荷。解：1）根據(jù)桿件拉伸強度確定許可載荷由拉伸強度條件

解得

2）根據(jù)凸肩的剪切強度確定許可載荷桿件凸肩的剪切面為圓柱面，由剪切強度條件

解得

3）根據(jù)凸肩的擠壓強度確定許可載荷桿件凸肩的擠壓面為圓環(huán)形平面，由擠壓強度條件

解得所以，許可載荷第四章扭轉第一節(jié)引言受力特點：扭轉變形

——變形特點：受外力偶作用，外力偶的作用面垂直于桿的軸線桿的橫截面繞軸線作相對轉動主要承受扭轉變形的桿稱為軸材料力學主要討論圓軸的扭轉第二節(jié)

外力偶矩的計算·扭矩與扭矩圖一、扭轉圓軸橫截面上的內(nèi)力·扭矩一個位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力偶，該內(nèi)力偶的矩稱為扭矩，記作

T

，其正負號按右手螺旋法則確定。扭矩圖：表達扭矩隨橫截面位置變化規(guī)律的圖線[例1]圖示傳動軸，已知主動輪上的轉矩

MeC=300

N·m、從動輪上的阻力偶矩

MeA=50

N·m、MeB=100

N·m、MeD=150

N·m，試作出該傳動軸的扭矩圖。解：二、外力偶矩與功率、轉速之間的換算關系式中，P

為功率，以

kW

計n

為轉速，以

r/min

計Me為外力偶矩，以

N·m

計第三節(jié)扭轉圓軸橫截面上的應力基本結論：一、薄壁圓管扭轉時橫截面上切應力的近似計算公式薄壁圓管：

其中，

為壁厚、R

為平均半徑薄壁圓管扭轉時橫截面上切應力的近似計算公式圓軸扭轉時橫截面上只存在切應力

二、圓軸扭轉時橫截面上切應力的計算公式式中，

為點至圓心的距離，稱為圓截面對圓心的極慣性矩對于圓：對于圓環(huán)：（

=

d

/

D，為內(nèi)外徑比）T

為橫截面上的扭矩

三、最大扭轉切應力圓軸扭轉時，在橫截面邊緣各點處，切應力取得最大值，其計算公式為式中，，稱為抗扭截面系數(shù)對于圓：對于圓環(huán)：（

=

d

/

D，為內(nèi)外徑比）第四節(jié)扭轉圓軸的強度計算扭轉圓軸的強度條件

——式中，[

]為許用扭轉切應力[例2]圖示階梯軸，已知

AB

段直徑

d1=

80

mm

、BC

段直徑

d2=

50

mm；外力偶矩

M1=

5

kN·m、M2=

3.2

kN·m

、M3=

1.8

kN·m

；材料的許用扭轉切應力[

]

=

60

MPa

，試校核該軸強度。解：AB段：BC

段：1）作扭矩圖2）校核強度AB

段：BC

段：由于所以，該階梯軸的強度不符合要求[例3]如圖，某汽車傳動主軸由無縫鋼管制成。已知軸的外徑

D

=

90

mm，壁厚

=

2.5

mm

，工作時所承受的最大外力偶矩

Me=

1.5

kN·m

，材料為

45

鋼，許用扭轉切應力

[

]=60

MPa

，試校核此軸強度。解：2）計算抗扭截面系數(shù)1）計算扭矩故該軸強度符合要求3）校核軸的強度[例4]如把上例中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確定其直徑，并比較實心軸和空心軸的重量。由于

T

、[

]

不變，故要求兩軸強度相同，只需其抗扭截面系數(shù)

Wt

相等，即有解：解得實心軸直徑1）確定實心軸直徑D1實心軸橫截面面積2）比較實心軸與空心軸的重量空心軸橫截面面積在兩軸長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比就等于橫截面面積之比，故得◆

空心軸用料僅為實心軸的

31%

，為什么？第五節(jié)扭轉圓軸的變形與剛度計算一、切應變與剪切胡克定律1.切應變在切應力作用下，單元體直角的改變量稱為切應變，記作

。2.剪切胡克定律說明：2）彈性常數(shù)

E、G、

之間滿足關系式1）G

為材料的彈性常數(shù)，稱為切變模量，單位為

Pa

。對于鋼材，G=80GPa

。二、扭轉圓軸的變形·扭轉角的計算單位長度扭轉角dx

微段的扭轉角

相距為

l兩截面間的扭轉角，則有若說明：2）扭轉角

的正負號與扭矩

T

一致；3）在國際單位制中，

的單位為

rad、

′的單位為

rad/m。1）GIp稱為桿件的抗扭剛度；三、扭轉圓軸的剛度條件剛度條件：扭轉圓軸的剛度條件：注意：剛度條件中不等式兩邊的單位應統(tǒng)一式中，[

′]為軸的許用單位長度扭轉角對變形的限制條件解：[例5]如圖，圓軸

AC

受外力偶

MeA、MeB與

MeC的作用，已知MeA

=

180

N·m、MeB

=

320

N·m、MeC

=

140

N·m，Ip

=

3.0×105

mm4，l=2

m

，G=80

GPa

，試計算該軸

C

截面相對于

A

截面的扭轉角

AC

。1）作扭矩圖2）計算扭轉角故得[例6]如圖，圓軸

AB

承受均布外力偶作用，其力偶矩集度me=20N·m

/

m。已知圓軸直徑D

=

20

mm，長度

l

=

2

m，材料的切變模量

G

=

80

GPa。試畫出此軸的扭矩圖，并計算自由端面

B

相對于固定端面

A

的扭轉角

AB

。解：得距

A

端

x

處截面的扭矩扭矩

T

是

x

的線性函數(shù)，畫出扭矩圖：1）畫扭矩圖由截面法，A

截面處的扭矩最大，為40N·m將已知數(shù)據(jù)代人上式，得2）計算扭轉角

AB由于扭矩

T隨

x

連續(xù)變化，故需用積分形式的公式計算扭轉角

AB[例7]如圖，已知傳動軸的轉速

n

=

300

r/min；主動輪輸入功率

PC=

30

kW，從動輪輸出功率

PA=

5

kW、PB=

10

kW、PD=

15

kW；材料的切變模量

G=

80

GPa，許用切應力[

]

=

40

MPa；軸的許用單位長度扭轉角

[

]=

1°/

m。試按強度條件及剛度條件設計此軸直徑。解：1）計算外力偶矩2）畫扭矩圖，確定最大扭矩畫扭矩圖，最大扭矩發(fā)生在

BC

段和

CD

段，大小為3）按強度條件確定軸的直徑

根據(jù)扭轉圓軸的強度條件得軸的直徑4）按剛度條件確定軸的直徑由扭轉圓軸的剛度條件得為使軸同時滿足強度條件和剛度條件，軸的直徑應選取較大值故取軸的直徑第四章扭轉第一節(jié)引言受力特點：扭轉變形

——變形特點：受外力偶作用，外力偶的作用面垂直于桿的軸線桿的橫截面繞軸線作相對轉動主要承受扭轉變形的桿稱為軸材料力學主要討論圓軸的扭轉第二節(jié)

外力偶矩的計算·扭矩與扭矩圖一、扭轉圓軸橫截面上的內(nèi)力·扭矩一個位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力偶，該內(nèi)力偶的矩稱為扭矩，記作

T

，其正負號按右手螺旋法則確定。扭矩圖：表達扭矩隨橫截面位置變化規(guī)律的圖線[例1]圖示傳動軸，已知主動輪上的轉矩

MeC=300

N·m、從動輪上的阻力偶矩

MeA=50

N·m、MeB=100

N·m、MeD=150

N·m，試作出該傳動軸的扭矩圖。解：二、外力偶矩與功率、轉速之間的換算關系式中，P

為功率，以

kW

計n

為轉速，以

r/min

計Me為外力偶矩，以

N·m

計第三節(jié)扭轉圓軸橫截面上的應力基本結論：一、薄壁圓管扭轉時橫截面上切應力的近似計算公式薄壁圓管：

其中，

為壁厚、R

為平均半徑薄壁圓管扭轉時橫截面上切應力的近似計算公式圓軸扭轉時橫截面上只存在切應力

二、圓軸扭轉時橫截面上切應力的計算公式式中，

為點至圓心的距離，稱為圓截面對圓心的極慣性矩對于圓：對于圓環(huán)：（

=

d

/

D，為內(nèi)外徑比）T

為橫截面上的扭矩

三、最大扭轉切應力圓軸扭轉時，在橫截面邊緣各點處，切應力取得最大值，其計算公式為式中，，稱為抗扭截面系數(shù)對于圓：對于圓環(huán)：（

=

d

/

D，為內(nèi)外徑比）第四節(jié)扭轉圓軸的強度計算扭轉圓軸的強度條件

——式中，[

]為許用扭轉切應力[例2]圖示階梯軸，已知

AB

段直徑

d1=

80

mm

、BC

段直徑

d2=

50

mm；外力偶矩

M1=

5

kN·m、M2=

3.2

kN·m

、M3=

1.8

kN·m

；材料的許用扭轉切應力[

]

=

60

MPa

，試校核該軸強度。解：AB段：BC

段：1）作扭矩圖2）校核強度AB

段：BC

段：由于所以，該階梯軸的強度不符合要求[例3]如圖，某汽車傳動主軸由無縫鋼管制成。已知軸的外徑

D

=

90

mm，壁厚

=

2.5

mm

，工作時所承受的最大外力偶矩

Me=

1.5

kN·m

，材料為

45

鋼，許用扭轉切應力

[

]=60

MPa

，試校核此軸強度。解：2）計算抗扭截面系數(shù)1）計算扭矩故該軸強度符合要求3）校核軸的強度[例4]如把上例中的傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確定其直徑，并比較實心軸和空心軸的重量。由于

T

、[

]

不變，故要求兩軸強度相同，只需其抗扭截面系數(shù)

Wt

相等，即有解：解得實心軸直徑1）確定實心軸直徑D1實心軸橫截面面積2）比較實心軸與空心軸的重量空心軸橫截面面積在兩軸長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比就等于橫截面面積之比，故得◆

空心軸用料僅為實心軸的

31%

，為什么？第五節(jié)扭轉圓軸的變形與剛度計算一、切應變與剪切胡克定律1.切應變在切應力作用下，單元體直角的改變量稱為切應變，記作

。2.剪切胡克定律說明：2）彈性常數(shù)

E、G、

之間滿足關系式1）G

為材料的彈性常數(shù)，稱為切變模量，單位為

Pa

。對于鋼材，G=80GPa

。二、扭轉圓軸的變形·扭轉角的計算單位長度扭轉角dx

微段的扭轉角

相距為

l兩截面間的扭轉角，則有若說明：2）扭轉角

的正負號與扭矩

T

一致；3）在國際單位制中，

的單位為

rad、

′的單位為

rad/m。1）GIp稱為桿件的抗扭剛度；三、扭轉圓軸的剛度條件剛度條件：扭轉圓軸的剛度條件：注意：剛度條件中不等式兩邊的單位應統(tǒng)一式中，[

′]為軸的許用單位長度扭轉角對變形的限制條件解：[例5]如圖，圓軸

AC

受外力偶

MeA、MeB與

MeC的作用，已知MeA

=

180

N·m、MeB

=

320

N·m、MeC

=

140

N·m，Ip

=

3.0×105

mm4，l=2

m

，G=80

GPa

，試計算該軸

C

截面相對于

A

截面的扭轉角

AC

。1）作扭矩圖2）計算扭轉角故得[例6]如圖，已知傳動軸的轉速

n

=

300

r/min；主動輪輸入功率

PC=

30

kW，從動輪輸出功率

PA=

5

kW、PB=

10

kW、PD=

15

kW；材料的切變模量

G=

80

GPa，許用切應力[

]

=

40

MPa；軸的許用單位長度扭轉角

[

]=

1°/

m。試按強度條件及剛度條件設計此軸直徑。解：1）計算外力偶矩2）畫扭矩圖，確定最大扭矩畫扭矩圖，最大扭矩發(fā)生在

BC

段和

CD

段，大小為3）按強度條件確定軸的直徑

根據(jù)扭轉圓軸的強度條件得軸的直徑4）按剛度條件確定軸的直徑由扭轉圓軸的剛度條件得為使軸同時滿足強度條件和剛度條件，軸的直徑應選取較大值故可取軸的直徑第五章彎曲內(nèi)力第一節(jié)～第二節(jié)引言一、彎曲概念彎曲受力特點：受橫向外力或位于縱向平面內(nèi)的外力偶作用彎曲變形特點：桿的軸線由直線彎成曲線主要承受彎曲變形的桿稱為梁對稱彎曲：①梁至少具有一個縱向對稱面②所有外力均作用于同一縱向對稱面內(nèi)③梁的軸線彎成一條位于外力所在同一縱向對稱面內(nèi)的平面曲線材料力學主要討論直梁的對稱彎曲對稱彎曲又稱為平面彎曲二、梁的計算簡圖和分類梁的計算簡圖：梁的分類：⑴單跨靜定梁簡支梁外伸梁懸臂梁⑵多跨靜定梁(組合梁)⑶超靜定梁多跨靜定梁超靜定梁第三節(jié)剪力和彎矩一、梁橫截面上的內(nèi)力·剪力和彎矩一個切向內(nèi)力，稱為剪力，記作

FS一個位于縱向對稱平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩，稱為彎矩，記作

M剪力的正負號規(guī)定：繞梁段順時針轉向為正，反之為負彎矩的正負號規(guī)定：使梁段上壓下拉為正，反之為負[例1]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：計算支座反力畫受力圖，由平衡方程得剪力由平衡方程得彎矩截取右側梁段，受力圖中應假設剪力和彎矩均為正剪力：彎矩：二、求剪力、彎矩的簡便方法2.彎矩等于截面一側所有外力對截面形心的矩的代數(shù)和。1.剪力等于截面一側所有橫向外力的代數(shù)和。注意：外力既包含載荷又包含支座反力，故在用簡便方法計算剪力和彎矩時，一般應首先求出梁的支座反力。[例2]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩[例3]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩[例4]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩[例5]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩第四節(jié)～第五節(jié)剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程剪力方程：描述了梁的剪力隨截面位置的變化規(guī)律彎矩方程：描述了梁的彎矩隨截面位置的變化規(guī)律二、根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫剪力圖和彎矩圖2.建立剪力方程和彎矩方程；1.計算支座反力；3.根據(jù)剪力方程和彎矩方程，描點繪制剪力圖和彎矩圖。[例6]試根據(jù)剪力方程和彎矩方程，畫出圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）計算支座反力2）建立剪力方程和彎矩方程剪力方程彎矩方程3）根據(jù)方程描點畫圖[例7]試根據(jù)剪力方程和彎矩方程，畫出圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）計算支座反力2）建立剪力方程和彎矩方程剪力方程彎矩方程3）根據(jù)方程描點畫圖三、彎矩、剪力與分布載荷集度間的關系若規(guī)定分布載荷集度

q(x)

上正下負，則有

四、關于剪力圖、彎矩圖的主要結論1.

若無分布載荷，則剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線；若有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。特例：當剪力恒為零時，則彎矩圖為水平直線(純彎曲)。2.

若均布載荷向上，彎矩圖開口向上；

若均布載荷向下，彎矩圖開口向下。3.

若

FS(

x0)

=

0

，則在

x0截面處，彎矩圖取得極值。4.

在集中橫向力作用處，剪力圖突變，突變值就等于該集中橫向力值，且彎矩圖發(fā)生轉折。5.

在集中力偶作用處，彎矩圖突變，突變值就等于該集中力偶矩值。6.

兩截面上的彎矩之差，等于兩截面間剪力圖的面積。將各段的控制點連線成圖1.反力：計算支座反力2.分段：根據(jù)載荷分段3.定點：根據(jù)圖形規(guī)律確定各段控制點4.連線：五、快速繪制剪力圖、彎矩圖的基本步驟六、四個常用彎矩圖[例8]試不列方程，直接畫出圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例9]試不列方程，直接畫出圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例10]試不列方程，直接畫出圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例11]試不列方程，直接畫出圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例12]試不列方程，直接畫出圖示組合梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[練習題

1

]

試作圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[練習題

2

]

試作圖示組合梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線第五章彎曲內(nèi)力第一節(jié)～第二節(jié)引言一、彎曲概念彎曲受力特點：受橫向外力或位于縱向平面內(nèi)的外力偶作用彎曲變形特點：桿的軸線由直線彎成曲線主要承受彎曲變形的桿稱為梁對稱彎曲：①梁至少具有一個縱向對稱面②所有外力均作用于同一縱向對稱面內(nèi)③梁的軸線彎成一條位于外力所在同一縱向對稱面內(nèi)的平面曲線材料力學主要討論直梁的對稱彎曲對稱彎曲又稱為平面彎曲二、梁的計算簡圖和分類梁的計算簡圖：梁的分類：⑴單跨靜定梁簡支梁外伸梁懸臂梁⑵多跨靜定梁（組合梁）⑶超靜定梁多跨靜定梁超靜定梁第三節(jié)剪力和彎矩一、梁橫截面上的內(nèi)力·剪力和彎矩一個切向內(nèi)力，稱為剪力，記作

FS。一個位于縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩，稱為彎矩，記作

M。剪力的正負號規(guī)定：繞梁段順時針轉向為正，反之為負。彎矩的正負號規(guī)定：使梁段上壓下拉為正，反之為負。[例1]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：計算支座反力畫受力圖，由平衡方程得剪力由平衡方程得彎矩截取右側梁段，假設剪力和彎矩均為正剪力：彎矩：二、求剪力、彎矩的簡便方法2.彎矩等于截面一側所有外力對截面形心的矩的代數(shù)和。1.剪力等于截面一側所有橫向外力的代數(shù)和。注意：外力既包含荷載又包含支座反力，故在用簡便方法計算剪力和彎矩時，一般應首先求出梁的支座反力。[例2]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩[例3]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩[例4]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩[例5]試求圖示簡支梁指定截面的剪力和彎矩解：先求梁的支座反力快速計算指定截面的剪力和彎矩第四節(jié)～第五節(jié)剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程剪力方程：描述梁的剪力隨截面位置變化規(guī)律的函數(shù)關系，記作彎矩方程：描述梁的彎矩隨截面位置變化規(guī)律的函數(shù)關系，記作二、根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫剪力圖和彎矩圖2.建立剪力方程和彎矩方程；1.計算支座反力；3.根據(jù)剪力方程和彎矩方程，描點繪制剪力圖和彎矩圖。說明：1）畫剪力圖時，規(guī)定上正下負。2）畫彎矩圖時，機械行業(yè)規(guī)定上正下負；土木行業(yè)規(guī)定下正上負。[例6]試根據(jù)剪力方程和彎矩方程，畫出圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）計算支座反力2）建立剪力方程和彎矩方程剪力方程彎矩方程3）根據(jù)方程描點畫圖[例7]試根據(jù)剪力方程和彎矩方程，畫出圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）計算支座反力2）建立剪力方程和彎矩方程剪力方程彎矩方程3）根據(jù)方程描點畫圖三、彎矩、剪力與分布載荷集度間的關系若規(guī)定分布載荷集度

q(x)

上正下負，則有

四、關于剪力圖、彎矩圖的主要結論1.

若無分布荷載，則剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線；若有均布荷載，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。

特例：當剪力恒為零時，則彎矩圖為水平直線（純彎曲）。2.

若均布載荷向上，彎矩圖開口向下；

若均布載荷向下，彎矩圖開口向上。3.

若

FS(

x0)

=

0

，則在

x0截面處，彎矩圖取得極值。4.

在集中橫向力作用處，剪力圖突變，突變值就等于該集中橫向力值，且彎矩圖發(fā)生轉折。5.

在集中力偶作用處，彎矩圖突變，突變值就等于該集中力偶矩值。6.

兩截面上的彎矩之差，等于兩截面間剪力圖的面積。將各段的控制點連線成圖1.反力：計算支座反力2.分段：根據(jù)荷載分段3.定點：根據(jù)圖形規(guī)律確定各段控制點4.連線：五、快速繪制剪力圖、彎矩圖的基本步驟六、四個常用彎矩圖[例8]試不列方程，直接畫出圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例9]試不列方程，直接畫出圖示懸臂梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例10]試不列方程，直接畫出圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例11]試不列方程，直接畫出圖示外伸梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線[例12]試不列方程，直接畫出圖示組合梁的剪力圖和彎矩圖。解：1）反力2）分段3）定點4）連線第六節(jié)用疊加法作彎矩圖用疊加法作彎矩圖往往更加方便，在土木行業(yè)中經(jīng)常采用。[例13]試用疊加法畫出圖示簡支梁的彎矩圖。[例14]試用疊加法畫出圖示簡支梁的彎矩圖。第六章彎曲應力第一節(jié)引言基本結論：一般情況下，梁的橫截面上同時存在著彎曲正應力

和彎曲切應力

。其中，彎曲正應力

與彎矩

M

相關；彎曲切應力

與剪力FS相關。第二節(jié)截面的幾何性質一、靜矩1.靜矩的定義對

z

軸靜矩對

y

軸靜矩說明：1）靜矩為代數(shù)量，可正可負可為零。2）靜矩與坐標軸有關。3）靜矩的單位為

m3。2.靜矩與形心的關系1）若圖形對某軸靜矩為零，說明：則該軸必為形心軸；反之亦真。2）對于組合截面圖形，則有式中，Ai為第

i部分的面積；（zCi,

yCi）為第

i

部分的形心坐標。[例1]圖示矩形截面，試求其中陰影部分圖形對

z

、y

軸的靜矩，圖中b、h為已知。解：由于

y

軸通過陰影部分圖形的1）計算對

y軸靜矩2）計算對

z

軸靜矩形心，故有[例2]某梁的截面圖形如圖所示，試求其對圖示坐標軸的靜矩。此截面可以看作由

1、2

兩個矩形y軸為形心軸，故有2）計算對

z

軸的靜矩解：1）計算對

y

軸的靜矩組成，故得1.慣性矩的定義對

z

軸慣性矩對

y

軸慣性矩說明：1）慣性矩恒為正值2）慣性矩與坐標軸有關3）慣性矩的單位為

m4二、慣性矩與極慣性矩對坐標原點的極慣性矩4）2.簡單截面圖形對形心軸的慣性矩矩形：圓形：圓環(huán)形：型鋼截面：查型鋼表工字鋼

式中，

=d

/

D，為內(nèi)外徑比3.慣性半徑定義為截面圖形對

z

軸的慣性半徑4.慣性矩的平行移軸公式式中，zC(

yC)

軸為形心軸；z

(

y

)

軸為平行于

zC(yC)

軸的任一軸；a(

b

)

為兩軸間距。1.慣性積的定義對

z、y

軸的慣性積說明：1）慣性積為代數(shù)量2）慣性積與坐標軸有關3）慣性積的單位為

m4三、慣性積4）若直角坐標軸

z、y

中有一個是圖形的對稱軸，對該坐標軸的慣性積必為零則圖形2.慣性積的平行移軸公式a、b

為圖形形心在坐標系

Ozy

中的坐標，應注意正負號說明：四、轉軸公式與主慣性矩1.慣性矩與慣性積的轉軸公式2.主慣性軸若截面圖形對直角坐標軸

z0

、y0的慣性積等于零，則稱這一對直角坐標軸為主慣性軸，簡稱主軸。若主慣性軸的坐標原點位于圖形形心，則稱其為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。結論：1）有一個軸為圖形對稱軸的直角坐標軸就是主慣性軸2）若圖形沒有對稱軸，則主慣性軸的轉角為3.主慣性矩圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩；圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。主慣性矩的計算公式——[例3]計算圖示

T

形截面的形心主慣性矩。解：1）建立形心主慣性軸2）計算形心主慣性矩

Iy矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整個

T

形截面

——3）計算形心主慣性矩

Iz矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整個

T

形截面

——第六章彎曲應力第一節(jié)引言基本結論：一般情況下，梁的橫截面上同時存在著彎曲正應力

和彎曲切應力

。其中，彎曲正應力

與彎矩

M

相關；彎曲切應力

與剪力FS相關。第二節(jié)截面的幾何性質一、靜矩1.靜矩的定義對

z

軸靜矩對

y

軸靜矩說明：1）靜矩為代數(shù)量，可正可負可為零。2）靜矩與坐標軸有關。3）靜矩的單位為

m3。2.靜矩與形心的關系1）若圖形對某軸靜矩為零，說明：則該軸必為形心軸；反之亦真。2）對于組合截面圖形，式中，Ai為第

i部分的面積；（zCi,

yCi）為第

i

部分的形心坐標。則有[例1]圖示矩形截面，試求其中陰影部分圖形對

z

、y

軸的靜矩，圖中b、h為已知。解：由于

y

軸通過陰影部分圖形的1）計算對

y軸靜矩2）計算對

z

軸靜矩形心，故有[例2]某梁的截面圖形如圖所示，試求其對圖示坐標軸的靜矩。此截面可以看作由

1、2

兩個矩形y軸為形心軸，故有2）計算對

z

軸的靜矩解：1）計算對

y

軸的靜矩組成，由計算公式得1.慣性矩的定義對

z

軸慣性矩對

y

軸慣性矩說明：1）慣性矩恒為正值2）慣性矩與坐標軸有關3）慣性矩的單位為

m4二、慣性矩與極慣性矩對坐標原點的極慣性矩4）2.簡單截面圖形對形心軸的慣性矩矩形：圓形：圓環(huán)形：型鋼截面：查型鋼表工字鋼

式中，

=d

/

D，為內(nèi)外徑比。3.慣性半徑定義為截面圖形對

z

軸的慣性半徑4.慣性矩的平行移軸公式式中，zC(

yC)

軸為形心軸；z

(

y

)

軸為平行于

zC(yC)

軸的任一軸；a(

b

)

為兩軸間距。1.慣性積的定義對

z

、y

軸的慣性積說明：1）慣性積為代數(shù)量2）慣性積與坐標軸有關3）慣性積的單位為

m4三、慣性積4）若直角坐標軸

z、y

中有一個是圖形對稱軸，該對坐標軸的慣性積必為零。則圖形對1.主慣性軸若截面圖形對直角坐標軸z0

、

y0

的慣性積等于零，則稱這一對直角坐標軸為主慣性軸，簡稱主軸。

若主慣性軸的坐標原點位于圖形形心，則稱其為形心主慣性軸，簡稱形心主軸。結論：有一個軸為圖形對稱軸的直角坐標軸就是主慣性軸。四、主慣性軸與主慣性矩2.主慣性矩圖形對主軸的慣性矩稱為主慣性矩；圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。[例3]計算圖示

T

形截面的形心主慣性矩。解：1）建立形心主慣性軸2）計算形心主慣性矩

Iy矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整個

T

形截面

——3）計算形心主慣性矩

Iz矩形Ⅰ——矩形

Ⅱ

——整個

T

形截面

——第三節(jié)彎曲正應力一、彎曲正應力計算公式彎曲正應力只與彎矩有關，故通過純彎曲梁來研究彎曲正應力純彎曲：梁的剪力恒為零，彎矩為常量。觀察變形

——變形前變形后基本假設

——1.彎曲變形時，梁的橫截面仍保持為平面。2.彎曲變形時，梁內(nèi)的縱向“纖維”受到單向拉伸或者壓縮。中性層：保持不變的縱向“纖維”層。彎曲變形前后，梁內(nèi)長度中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層橫截面中性軸在橫截面上建立直角坐標系：以中性軸為

z

軸、以橫截面的對稱軸為

y

軸、以梁的軸線為

x

軸建立直角坐標系。變形幾何關系

——考察距中性層為

y

、長度為

dx

的縱向“纖維”原長：變形后長度：線應變：式中，

為中性層的曲率半徑結論：梁橫截面上任意點處的縱向線應變與該點到中性層的距離成正比物理關系

——結論：梁橫截面上任意點的彎曲正應力與該點的縱坐標

y

成正比，根據(jù)胡克定律即彎曲正應力沿截面高度方向呈線性分布。存在兩個待定問題：1）中性軸的位置？2）中性層的曲率（曲率半徑）？靜力學關系

——結論

1：中性軸

z

通過截面形心結論

2：中性層的曲率與彎矩成正比，與抗彎剛度

EIz

成反比。彎曲正應力計算公式：說明：對于非純彎曲梁，只要滿足長高比l

/

h

＞5，該公式依然適用二、彎曲正應力分布規(guī)律1.彎曲正應力沿寬度均布，沿高度線性分布。2.中性軸將橫截面分為拉、壓兩個區(qū)域，在中性軸上各點處，彎曲正應力為零。3.彎曲拉（壓）應力的最大值發(fā)生于上（下）邊緣各點處，其計算公式為4.最大彎曲正應力計算公式式中，，稱為抗彎截面圓環(huán)形：查型鋼表系數(shù)，取決于截面形狀和尺寸。矩形：圓形：型鋼截面：工字鋼

1）畫彎矩圖該梁可簡化為簡支梁[例1]圖示梁為

No.50a工字鋼，跨中作用一集中力

F=

140

kN。試求梁危險截面上的最大正應力以及翼緣與腹板交界處

a

點的正應力?？缰薪孛?/p>

C

為危險截面解：最大彎矩2）計算正應力查型鋼表，No.50a

工字鋼的慣性矩

Iz=

46470

cm4，抗彎截面系數(shù)

Wz=

1860cm3危險截面

C

上的最大正應力危險截面

C

上翼緣與腹板交界處

a

點的正應力[例2]試求圖示

T

形截面梁的最大拉應力和最大壓應力。已知

Iz=7.64×106mm4、

y1=52

mm、y2=88

mm。解：梁的最大正彎矩發(fā)生在截面

C

上，最大負彎矩發(fā)生在截面

B

上，分別為1）畫彎矩圖2）計算截面

C

的最大拉應力和最大壓應力3）計算截面

B

的最大拉應力和最大壓應力所以，T

形梁的最大拉應力發(fā)生在截面

C

的下邊緣，最大壓應力力發(fā)生在截面

B

的下邊緣，分別為第四節(jié)彎曲正應力強度計算彎曲正應力強度條件——對于塑性材料：對于脆性材料：[例3]圖示懸臂梁為工字鋼，已知

F=

45

kN，l=4

m，許用應力[

]

=

140

MPa。若不計梁的自重，試根據(jù)彎曲正應力強度條件確定工字鋼型號。解：最大彎矩1）畫彎矩圖2）強度計算由工字鋼型鋼表查得，可選用

No45a

工字鋼，其抗彎截面系數(shù)

Wz

=

1430

cm3，滿足強度要求。根據(jù)彎曲正應力強度條件，得梁的抗彎截面系數(shù)討論：結論：選用

No45a

工字鋼若考慮梁的自重，梁的自重應視為均布載荷不計梁的自重所引起的計算誤差約為3.5%，在工程中是允許的。[例4]圖示槽形截面鑄鐵梁。已知截面的

Iz

=

5260×104mm4、y1=

77

mm、y2=

120

mm；鑄鐵材料的許用拉應力

[

t]

=

30

MPa、許用壓應力

[

c]

=

90

MPa。試確定此梁的許可載荷。解：最大彎矩1）畫彎矩圖2）強度計算危險截面

B

處的最大彎矩為負值，梁上側受拉、下側受壓，最大拉應力和最大壓應力分別發(fā)生在該截面的上邊緣和下邊緣各點處，應分別進行強度計算得由得所以，許可載荷由[例5]T

字形截面鑄鐵梁所受載荷和截面尺寸如圖所示。材料的許用拉應力

[

t]

=

40

MPa、許用壓應力

[

c]

=

100

MPa，試按正應力強度條件校核梁的強度。截面

B

上有最大負彎矩截面

E

上有最大正彎矩解：1）畫彎矩圖2）計算截面的幾何性質中性軸（形心）位置截面對中性軸

z

的慣性矩3）強度校核截面

B

為負彎矩，上拉下壓B

截面應力分布3）強度校核截面

E

為正彎矩，上壓下拉結論：該梁強度滿足要求E

截面應力分布◆

在對拉、壓強度不同、截面關于中性軸又不對稱的梁進行強度計算時，一般需同時考慮最大正彎矩和最大負彎矩所在的兩個橫截面，只有當這兩個橫截面上危險點的應力都滿足強度條件時，整根梁才是安全的。第三節(jié)彎曲正應力一、彎曲正應力計算公式彎曲正應力只與彎矩有關，故通過純彎曲梁來研究彎曲正應力：純彎曲：梁的剪力恒為零，彎矩為常量。觀察變形

——變形前變形后基本假設：1.彎曲變形時，梁的橫截面仍保持為平面；2.彎曲變形時，梁內(nèi)的縱向“纖維”受到單向拉伸或者壓縮。中性層：保持不變的縱向“纖維”層。彎曲變形前后，梁內(nèi)長度中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層橫截面中性軸在橫截面上建立直角坐標系：以中性軸為

z

軸、以橫截面的對稱軸為

y

軸、以梁的軸線為

x

軸建立直角坐標系。變形幾何關系

——考察距中性層為

y

、長度為

dx

的縱向“纖維”：原長：變形后長度：線應變：式中，

為中性層的曲率半徑結論：梁橫截面上任意點處的縱向線應變與該點到中性層的距離成正比物理關系

——結論：梁橫截面上任意點的彎曲正應力與該點的縱坐標

y

成正比，根據(jù)胡克定律即彎曲正應力沿截面高度方向呈線性分布。存在兩個待定問題：1）中性軸的位置？2）中性層的曲率（曲率半徑）？靜力學關系

——結論

1：中性軸z

通過截面形心結論

2：中性層的曲率與彎矩成正比，與抗彎剛度

E