高等數(shù)學(xué)B（下）：ch9-7 Fourier級(jí)數(shù)- 9-8 一般周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)

一、問(wèn)題的提出二、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)四、小結(jié)

第七節(jié)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)

第九章

前面兩節(jié)我們講了冪級(jí)數(shù)，給出了它的收斂半徑和收斂域的求法，并討論了函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的條件及函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的直接展開法、間接展開法。本節(jié)討論一般項(xiàng)是三角函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)--------三角級(jí)數(shù)，重點(diǎn)討論如何把函數(shù)展開為三角級(jí)數(shù)的問(wèn)題，它的重要應(yīng)用：①對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行頻譜分析一、問(wèn)題的提出②學(xué)習(xí)積分變換的基礎(chǔ)③求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和

正弦函數(shù)是一類比較簡(jiǎn)單的周期函數(shù)，而且是應(yīng)用十分廣泛的一類周期函數(shù)。如在簡(jiǎn)諧振動(dòng)和正弦電路電流分析中常遇到正弦型函數(shù)但是在實(shí)際問(wèn)題中，除了正弦函數(shù)外，還會(huì)遇到非正弦周期函數(shù)，它們反映了較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)如：矩形波(開關(guān)電路中電子流動(dòng)模型)(周期為2∏)

如何深入地研究非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)系到前面介紹過(guò)的用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我們也想將周期函數(shù)展開成簡(jiǎn)單的周期函數(shù)如正弦函數(shù)組成的級(jí)數(shù)以開關(guān)電路中矩形波為例問(wèn)題：對(duì)于一般的周期為Ｔ的函數(shù)F(t)，能否用一系列以T為周期的正弦函數(shù)組成的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)表示？1項(xiàng)2項(xiàng)3項(xiàng)4項(xiàng)5項(xiàng)無(wú)窮項(xiàng)上例說(shuō)明，可以將以T

為周期的函數(shù)可化成一系列不同頻率的正弦波疊加。

(注：冪級(jí)數(shù)，點(diǎn)逼近；傅氏級(jí)數(shù)，整體逼近.)冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)0處逼近42246420246上例說(shuō)明，可以將以T

為周期的函數(shù)可化成一系列不同頻率的正弦波疊加。

物理意義：把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加基本思想：周期為Ｔ的一般函數(shù)F(t)可以由周期為Ｔ的正弦函數(shù)迭加而成，即結(jié)論：簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

為角頻率,

為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).二、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.三角級(jí)數(shù)2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系φ在[-π,π]上兩兩正交：是指φ中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在[-π,π]上的積分為零三角函數(shù)系φ(兩兩正交)事實(shí)上,在[-π,π]上正交三角函數(shù)系φ(兩兩正交)事實(shí)上,在[-π,π]上正交同理可證:上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在三角函數(shù)系φ在[-π,π]上正交三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系結(jié)論三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題:ⅰ若能展開,是什么?ⅱ展開的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)即f(x)能展開為傅立葉級(jí)數(shù)且假設(shè)其可逐項(xiàng)求積，其中f(x+2π)=f(x)傅里葉系數(shù)3.傅里葉級(jí)數(shù)2.

f(x)的n階傅里葉多項(xiàng)式傅里葉系數(shù)問(wèn)題:4.定理

(收斂定理,展開定理)設(shè)

f(x)是周期為2

的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),(即圖形不作無(wú)限次振動(dòng))則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,且有

x

為間斷點(diǎn)其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點(diǎn)注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.滿足狄利克雷充分條件嗎?解和函數(shù)圖象為t展開步驟①驗(yàn)證

f(x)滿足Dirichlet

條件，并確定f(x)的所有間斷點(diǎn)，可作圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷②根據(jù)公式計(jì)算Fourier系數(shù)(主要工作)③寫出Fourier級(jí)數(shù)展開式，并注明展開式的成立范圍注意：求Fourier系數(shù)一般要用分部積分法，有時(shí)甚至要多次分部積分，較麻煩且容易出錯(cuò)，此外，某些an,

bn

需要單獨(dú)計(jì)算，容易忽略而導(dǎo)致錯(cuò)誤(可利用函數(shù)的奇偶性可簡(jiǎn)化Fourier系數(shù)計(jì)算)說(shuō)明:如果函數(shù)只在區(qū)間上有定義,并5.非周期函數(shù)的周期性延拓且滿足狄氏充分條件,也可展開成傅氏級(jí)數(shù).作法:在外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義,使它拓廣為周期為2∏的周期函數(shù)F(x)(或延拓時(shí)端點(diǎn)可先不參與)若端點(diǎn)為不連續(xù)點(diǎn),則5.非周期函數(shù)的周期性延拓作法:∵F(x)在[-∏,∏)上連續(xù)∴F(x)的Fourier級(jí)數(shù)在[-π,π)上收斂于F(x)

解①把f(x)拓廣為R上的周期為2π的函數(shù)F(x)∵F(x)處處連續(xù)

∴F(x)的Fourier級(jí)數(shù)在[-π,π]上收斂于f(x).

②根據(jù)公式計(jì)算Fourier系數(shù)F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)

利用傅氏展開式求幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和(有限數(shù))四、小結(jié)1.基本概念；2.傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分條件；4.非周期函數(shù)的傅氏展開式；5.傅氏級(jí)數(shù)的意義——整體逼近播放課后習(xí)題答案傅里葉(1768–1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分.最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.狄利克雷(1805–1859)德國(guó)數(shù)學(xué)家.對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出的貢獻(xiàn),是解析數(shù)論他是最早提倡嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家.函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的第一個(gè)充分條件;了改變絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中項(xiàng)的順序不影響級(jí)數(shù)的和,舉例說(shuō)明條件收斂級(jí)數(shù)不具有這樣的性質(zhì).他的主要的創(chuàng)始人之一,并論文都收在《狄利克雷論文集(1889一1897)中.1829年他得到了給定證明思考、討論題：2.周期為2L的奇(偶)函數(shù)f(x)的傅氏展開式有何特征?3.怎樣把[-L,L]上的函數(shù)f(x)展開成傅氏級(jí)數(shù)?4.怎樣把[0,L]上的函數(shù)f(x)展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)?1.怎樣把以2L為周期的函數(shù)f(x)展開成傅氏級(jí)數(shù)?5.將f(x)作周期延拓、奇(偶)延拓,求傅氏展開式時(shí),為何不必作出延拓函數(shù)F(x)?為何通常僅在f(x)的定義區(qū)間上判定傅氏級(jí)數(shù)的收斂性?6.簡(jiǎn)述傅氏級(jí)數(shù)展開較之冪級(jí)數(shù)展開的優(yōu)劣?一、以2l為周期的傅氏級(jí)數(shù)二、正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)三、小結(jié)第八節(jié)一般周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)

第九章

一、以2l

為周期的函數(shù)的傅里葉展開周期為2l函數(shù)f(x)周期為2

函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開變量回代

f(x)的傅氏展開式(x為連續(xù)點(diǎn))(z為連續(xù)點(diǎn))記設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開式為(x為連續(xù)點(diǎn))定理.(x為間斷點(diǎn))=

f(x)其中若

f(x)為奇(偶)函數(shù),則…（在每點(diǎn)都收斂）說(shuō)明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中注:

無(wú)論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,傅里葉級(jí)數(shù)收斂于如果

f(x)為奇函數(shù),則有二、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)2、函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)☆非周期函數(shù)的周期性延拓則有如下兩種情況奇延拓:

(奇函數(shù))F(x)(端點(diǎn)的收斂情況另外判別)偶延拓:

(偶函數(shù))F(x)(端點(diǎn)的收斂情況另外判別)例.把展開成(1)正弦級(jí)數(shù);(2)余弦級(jí)數(shù).不是(-2,2)解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有(2)將作偶周期延拓,則有說(shuō)明:

在[0,2]上展開周期為4的Fourier級(jí)數(shù)不唯一(2)將

作偶周期延拓,(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k,k=±1,±2,…

處級(jí)數(shù)收斂于何值?當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),令即在上展成傅里葉級(jí)數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級(jí)數(shù)其傅里葉展開方法:記(對(duì)稱區(qū)間)例3.

將函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:令記將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定則三、小結(jié)以2l為周期的傅氏系數(shù);

求傅氏展開式的步驟;1.驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);2.求出傅氏系數(shù);3.寫出傅氏級(jí)數(shù),并注明它在何處收斂于奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓;

需澄清的幾個(gè)問(wèn)題.(誤認(rèn)為以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級(jí)數(shù);課后