2022年天津高考數(shù)學(xué)試題及解析

2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）

1.（5分）（2022?天津）設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={0,1,2},B=[-1,

2},則AC（CuB）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2）

2.（5分）（2022?天津）。為整數(shù)”是“2x+I為整數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

3.（5分）（2022?天津）函數(shù)/（X）=?x2-lI的圖像為（）

4.（5分）（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿

者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,

[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)

試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的

5.(5分)已知”=2°，7,h=(A)O-7,c=log2—?則()

33

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

6.(5分)(2022?天津)化簡(21og43+logs3)(Iog32+log92)的值為()

A.1B.2C.4D.6

7.（5分）（2022?天津）已知拋物線V=4述x,F\,尸2分別是雙曲線工--之一=1（a>0,

b>0）的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A,

若/三，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

4

2222

A.B.x2,-=1C.X2--^―=1D.-^―-y2=l

101644

8.（5分）（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底

面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積

為（）

9.（5分）（2022?天津）已知/（x）=Lsin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

2

◎（x）的最小正周期為2m

②f（x）在［-工，工］上單調(diào)遞增；

44_

③當(dāng)尤［工，2L］時，r（x）的取值范圍為［-近，返］;

6344

◎（X）的圖象可由g（x）=Isin（2X+-ZL）的圖象向左平移三個單位長度得到.

248

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的

給3分，全部答對的給5分）

10.（5分）（2022?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡止紅的結(jié)果為.

1+21

11.（5分）（2022?天津）（4+J）5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

X

12.（5分）（2022?天津）若直線x-y+m=0（??>0）與圓（JC-1）2+（y-1）2=3相交所

得的弦長為g則，w=.

13.（5分）（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A

的概率為;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為.

14.（5分）（2022?天津）在△A8C中，CA=a-CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE?試用Z，

E表示左為，若族，而，則NACB的最大值為.

15.(5分)(2022?天津)設(shè)aCR,對任意實(shí)數(shù)x,記/(x)=min[\x\-2,JC2-ax+3a-5｝.若

于(x)至少有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

三、解答題(本大題共5小題，共75分)

16.(15分)(2022?天津)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為小b,c.己知a=泥,

h=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值；

(2)求sinB的值；

(3)求sin(.2A-B)的值.

17.(15分)(2022?天津)直三棱柱ABC-Al81cl中，AAi=AB=AC=2,AA\±AB,AC1.

AB,。為AiBi中點(diǎn)，E為441中點(diǎn)，F(xiàn)為CD中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面ABC；

(2)求直線8E與平面CC1。的正弦值；

(3)求平面4CZ)與平面CCi。夾角的余弦值.

18.(15分)(2022?天津)設(shè)｛“”｝是等差數(shù)列，｛為｝是等比數(shù)列，且ai=bi=a2-b2=a3-

by—\.

(1)求｛a”｝與｛氏｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)｛而｝的前“項(xiàng)和為S”,求證:(S”+i+2+i)妹=酬+而+1-S疝”;

2n

(3)求￡[az.+i-(-1)kak\bk.

k=l

22

19.(15分)(2022?天津)橢圓2_+匚=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為4,上頂

2,2

ab

點(diǎn)為B,且滿足|BF!=，!_.

|ABI2

(1)求橢圓的離心率e；

(2)直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)M,與y軸相交于N(N異于M).記0為坐標(biāo)原點(diǎn),

若QM=|ON，且△OMN的面積為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

20.(15分)(2022?天津)已知a,b&R,函數(shù)/(x)="-asinx,g(x)—byfx.

(1)求函數(shù)y=/(x)在(0,f(0))處的切線方程；

(2)若y=/(x)和y=g(x)有公共點(diǎn).

(i)當(dāng)a=0時，求b的取值范圍；

(ii)求證：/+力2>e.

2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）

1.（5分）（2022?天津）設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2）,集合4={0,1,2},8={-1,

2）,則API（CuB）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2）

【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【專題】計算題；綜合法；高考數(shù)學(xué)專題；集合；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直接利用集合的補(bǔ)集與交集的運(yùn)算法則求解即可.

【解答】解：全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={0,1,2},8={-1,2},

則4n（CuB）={0,1,2}A{-2,0,1}={0,1}.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2022?天津）。為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【考點(diǎn)】充分條件與必要條件.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理.

【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可.

【解答】解：x為整數(shù)時，2x+l也是整數(shù)，充分性成立；

2x+l為整數(shù)時，x不一定是整數(shù)，如'=工時，所以必要性不成立，是充分不必要條件.

2

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了充分必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2022?天津）函數(shù)/（x）=?I的圖像為（）

X

【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象.

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和特殊點(diǎn)，即可判斷.

【解答】解：函數(shù)/(x)=」L的定義域?yàn)?-8,0)u(0,+8),

X

:.于(-X)=IXTI=-f(x),

-x

???該函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；

x>0時，f(x)f+8；x=Lf(x)=0；xf+8,f(x)f+8,

故BC錯誤，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿

者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,

[16,17J,將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)

試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的

【考點(diǎn)】頻率分布直方圖.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出第三組的總?cè)?/p>

數(shù)，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：志愿者的總?cè)藬?shù)為^-----20——=50,

（0.24+0.16）XI

.?.第3組的人數(shù)為50X0.36=18,

有療效的人數(shù)為18-6=12人.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）已知a=2°7,b—（A）07,c—\og2—,則（）

33

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷方>0>c.

【解答】解：因?yàn)閥=2'是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)，所以2°7>2°=1,即a=207>l：

[X]0?7[0-J

因?yàn)槭睿┦嵌x域R上的單調(diào)減函數(shù)，所以育）<（A）=1,且b=（A）

°-7,所以0V6V1；

因?yàn)閥=log2X是定義域（0,+8）上的單調(diào)增函數(shù)，所以]og2工Vlog21=0,即c=k）g2工

33

<0；

所以a>b>c.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷函數(shù)值大小的應(yīng)用問題，

是基礎(chǔ)題.

6.（5分）（2022?天津）化簡（21og43+logs3）（Iog32+log92）的值為（）

A.1B.2C.4D.6

【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用對數(shù)的換底公式計算即可.

【解答】解：⑵og43+log83）（log32+log92）=（21§3_+2§3）（型+型）

lg4lg8lg3lg9

=（Ig3+Jg3_）（Ag2+Jg2_）

lg231g2lg321g3

=41g3.3lg2

3lg22lg3

=2.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)的換底公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7.（5分）（2022?天津）己知拋物線尸=4遍X，F(xiàn)i,F2分別是雙曲線工￡-工1=1（。>0,

b>0）的左、右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)為，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A,

若NFiF2A=三，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

4

2222

A.3—-）2=1B.x2--^—=1C.x2-——=1D.-^―-y2=1

101644-

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先由拋物線方程的準(zhǔn)線方程，得雙曲線的半焦距C,再聯(lián)立拋物線準(zhǔn)線方程與雙

曲線的漸近線方程解得|加|,接著由可得|）川=尸|尸2],從而得b=2a,最

4

后再通過。2=〃2+/建立方程即可求解.

【解答】解：由題意可得拋物線的準(zhǔn)線為冗=/，又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)

F1,

_x=-c

:.聯(lián)立，b，可得|）/|=區(qū)，又2A=匹，

y=—xa4

a

???|洌=國產(chǎn)2|,

22

.*.^-=2c，:?b=2a,b=4af

a

又c2=a2+Z>2,

22

.\5=a+4af

Aa2=L廬=4,

...雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-X：=l.

4

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查拋物線的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底

面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積

為（）

十字歇山頂一^y?

十字鼬山頂

A.23B.24C.26D.27

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何;直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題目插圖和題干對“十字歇山”的結(jié)構(gòu)特征的描述，作出幾何體直觀圖，

再求出該組合體的體積.

【解答】解：如圖，該組合體由直三棱柱AFQ-BHC和直三棱柱AE8-DGC組成，且

ABCZ）為正方形，

設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為/,

作“M_LCB于M,因?yàn)镃H=BH=3,ZC/7B=120",

所以CM=BM=^J^~,HM=3,BC=AB=3M，

22

方法①：四個形狀相同的三棱錐（I-AEB、I-BCH,I-CDG.1-ADF）的體積之和，

加上正四棱錐/-ABCD的體積：

在直三棱柱AFC-84C中，AB_L平面84C,則A8_LHM,

由ABQBC^B可得HM_L平面ADCB,

正四棱錐/-ABCD的高等于HM的長，

力一向=爾/3禽X^X羋_=妾V/-ABCD=1X3V3X3V3X^=等，

該組合體的體積y=%AEBX4+V7.ABCD=22x4+22=27；

82

方法②：兩個直三棱柱體積相加，再減去重疊部分（正四棱錐/-ABCC）的體積：

在直三棱柱AFD-2HC中，A8_L平面8HC,則A8_LHM,

由ABHBC=B可得HMJ_平面ADCB,

正四棱錐/-ABCD的高等于HM的長，

[Q071Q

VLABCD=3X^^X3A/3VAWBHC=3X3V§

322224

該組合體的體積V^VAFD-BHCX2-0MBs=2義趾衛(wèi)=27.

42

故選：D.

E

D

【點(diǎn)評】本題主要考查組合體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識即體積的求法，需要具備一定的直觀想象能力,

屬于中檔題.

9.(5分)(2022?天津)已知/(x)=lsin2x,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：

◎(%)的最小正周期為2TT；

@fCx)在［--,匹］上單調(diào)遞增；

44

③當(dāng)在［工，2L］時，f(X)的取值范圍為［-1，退土

6344

@f(x)的圖象可由g(x)=lsin(2X+2L)的圖象向左平移三個單位長度得到.

248

以上四個說法中，正確的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

【解答】解：對于/(x)=LinZr,它的最小正周期為"=TT,故①錯誤；

22

在［-三，2L］,2XE［-2L,2L］,函數(shù)/?(外單調(diào)遞增，故②正確；

4422_

當(dāng)X曰工，2L］時，2A-G［-2L,2JL］,/(X)的取值范圍為［-近，1］,故③錯誤；

633342

/(%)的圖象可由g(x)=Isin(2X+2L)的圖象向右平移三個單位長度得到，故④錯

248

誤，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的

給3分，全部答對的給5分）

10.（5分）（2022?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡止紅的結(jié)果為l-5i

l+2i

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】計算題；整體思想；綜合法：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡即可.

【解答】解:ll-3i=)(l-2i)=5-25i=i_5/>

l+2i(l+2i)(l-2i)-5-

故答案為：1-5i.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.（5分）（2022?天津）（?+吝）5的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15.

x

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.

【專題】計算題.

【分析】先寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，整理出最簡形式，要求展開式的常數(shù)項(xiàng)，只要

使得變量的指數(shù)等于0,求出r的值，代入系數(shù)求出結(jié)果.

55-5r

【解答】解：???（TV）的展開式的通項(xiàng)是此4Z（與）r=（/3%=

x2x25

要求展開式中的常數(shù)項(xiàng)只要使得5-5r=0,即r=l

.?.常數(shù)項(xiàng)是C&X3=15,

故答案為：15

【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理，本題解題的關(guān)鍵是寫出展開式的通項(xiàng)，這是解決二項(xiàng)式

定理有關(guān)題目的通法，本題是一個基礎(chǔ)題.

12.（5分）（2022?天津）若直線x-y+m=0（/n>0）與圓（x-1）2+（y-1）2=3相交所

得的弦長為相，則2.

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓中的弦長公式建立方程，最后解方程即可

得解.

【解答】解:?.?圓心C(1,1)到直線x-y+m=0(m>0)的距離d=m

又直線與圓相交所得的弦長為m,

Am=2Vr2-d2>

2

,?血2=4（3一券）'

解得m=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查直線與圓相交的弦長問題，點(diǎn)到直線的距離公式，方程思想，屬基礎(chǔ)

題.

13.（5分）（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A

的概率為」一；已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A的概率為-L.

—22L~17~

【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到4的概率，再由條件概率的公式即

可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.

【解答】解：由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為8,第二次抽到A的事件為C,

則尸（BC）=_Lx&=i^,P（B）=_￡=工

52512215213

1

：.P（C|8）=P⑻）=^L=J_,

P（B）_L17

13

【點(diǎn)評】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.（5分）（2022?天津）在△ABC中，以=之，CB=b.。是4c中點(diǎn)，CB=2BE-試用Z，

E表示定為_至二亙_,若瓦，而，則/ACB的最大值為_工_.

~2~~6-

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意，利用兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積公式，基本不

等式，求出cosC的最小值，可得/ACB的最大值.

【解答】解：?.?△48C中，CA=a，CB=b.。是AC中點(diǎn)，CB=2BE，如圖：

???DE-CE-CD=CB+BE-—CA=b+--曳=組工.

2222

VAB=CB-CA=b-a.AB，DE，

.?萬a=(0；)?亨=小際2-4；?*；2)=o,即4”=7+3針,

即4*a*/>,cosC=a2+3i>2>即cosC=3_—巨弛

4ab4ab2

當(dāng)且僅當(dāng)a=3〃時，等號成立，故cosC的最小值為近，故C的最大值為工，

26

即NACB的最大值為三，

6

【點(diǎn)評】本題主要考查兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積公式，基本不

等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

15.(5分)(2022?天津)設(shè)“6R,對任意實(shí)數(shù)x,記/(x)=min[\x\-2,x2-ax+3a-5}.若

f(x)至少有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為“0,+8).

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

【專題】分類討論；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象;

數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)g(x)—x2-ax+3a-5,h(x)=|x|-2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個零

點(diǎn)，可得出△20,求出a的取值范圍，然后對實(shí)數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題

意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：設(shè)g(x)-ax+3a-5,h(x)=\x\-2,由m-2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)f(x)至少有3個零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個零點(diǎn)，

則A=a2-4(3a-5)20,

解得4?2或“》10.

①當(dāng)a=2時，g(x)=x2-2x+l,作出函數(shù)g(x)、h(x)的圖象如圖所示:

要使得函數(shù)于(x)至少有3個零點(diǎn)，則X2W-2,

—<-2

所以，2”，解得“60;

g(-2)=5a-l>0

③當(dāng)“=10時，g(x)=7-10x+25,作出函數(shù)g(x)、h(x)的圖象如圖所示:

④當(dāng)”>10時，設(shè)函數(shù)g(X)的兩個零點(diǎn)分別為X3、X4(X3<X4),

要使得函數(shù)/(X)至少有3個零點(diǎn)，則

7>2,解得。>4,此時。>10.

可得.

g(2)=a-l>0

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍是［10,+8).

故答案為：［10,+8).

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中難

題.

三、解答題（本大題共5小題，共75分）

16.（15分）（2022?天津）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知”=企

b—2c,cosA="-.

4

（1）求c的值：

（2）求sin8的值；

（3）求sin（2A-B）的值.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計算；兩角和與差的三角函數(shù)；正弦定理；余弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）由余弦定理及題中條件可得c邊的值；

（2）由正弦定理可得sinC的值，再由b=2c及正弦定理可得sinB的值；

（3）求出2A及8角的正余弦值，由兩角差的正弦公式可得2A-8的正弦值.

【解答】解（1）因?yàn)椤?a，b—2c,cosA=-―,

4

22222

由余弦定理可得cosA=b+ca=4+c6=,工，

2bc4c24

解得：c=l；............................................................（3分）

(2)cosA=-A,Ae(0,n),所以sinA=71-coS2A=」再

4

由匕=2c,可得sinB=2sinC,

由正弦定理可得，一=^^,即羋==」,..........................（6分）

sinAsinC715sinC

_4

可得sinC=YU,

8__

所以sinB=2sinC=2xH=YI^_；........................................(8分)

84

(3)因?yàn)閏osA=-』，sinA=1^_,

44__

所以sin24=2sirb4cos4=2X(-A)義^^=-,cos2A=2cos2A-1—2X_1_-1

44816

=--L,................................................................(11分)

8

sinB=2Z亞可得cosB=^^-,...........................................(13分)

44____

所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=--(--L)x=0^..,

84848

所以sin（2A-B）的值為YIE......................................（15分）

8

【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.（15分）（2022?天津）直三棱柱ABC-All。中，AA\=AB=AC^2,AA\±AB,AC±

AB,。為中點(diǎn)，E為A4中點(diǎn)，尸為CD中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面ABC；

（2）求直線BE與平面C。。的正弦值；

（3）求平面4CD與平面C。。夾角的余弦值.

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行.

【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模.

【分析】利用中位線可證（1）,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)若=（x,y,z）是平面CC\D的

法向量，平面A1CD的法向量為7=（x，y，z）,可解.

【解答】解：（1）證明：取881的中點(diǎn)G,連接FG,EG,連接AO交EG于K,

再連接FK,........................................................（1分）

'：EK//A\B\,且E是441的中點(diǎn)，則K是AO的中點(diǎn)，

J.FK//AC,EG//AB,

又FKC平面ABC,ACu平面ABC,

；.FK〃平面ABC,...................................................（3分）

同理可得，EG〃平面ABC,

又FKCEG=K,

平面EFG〃平面ABC,

〃平面ABC,...................................................（5分）

（2）在直三棱柱ABC-481cl中，ACLAB,則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

又A4=AB=4C=2,。為4B1中點(diǎn)，E為A4中點(diǎn)，尸為CD中點(diǎn).

故8(2,2,0),E(1,0,0),C(2,0,2),C\(0,0,2),D(0,1,0),

則應(yīng)=(-I.-2,0),(-2,0,0),CD=(-2,1,-2),.......(7分)

設(shè)二=(x，y，z)是平面CC\D的法向量，則有：n-CC*=O,，?而=0,即f-2乂=。，

1l-2x+y-2z=0

令z=l,則x=0,y=2,

所以W=(0,2,1)>............................................(9分)

設(shè)直線BE與平面CC\D的夾角為0,則sin0=|cos〈箴,

AH吊尸“10

分）

(3)VAi(0,0,0),則(2,0,2),7^D=(°，]，。)，...........(11分)

設(shè)平面AC。的法向量為ir=（x,y,z）,則有A[6=。，

即（2x+2z=0,令x=],則）=o,z=_1,故1r（i,0）_i）,...........（13分）

Iy=0

設(shè)平面MCD與平面CC\D的夾角為p,

所以30=13＜六孟〉尸|君途尸唔.

（15分）

【點(diǎn)評】本題考查了利用空間向量求線面角以及二面角的大小，屬于較難題.

18.（15分）（2022?天津）設(shè)｛&”｝是等差數(shù)列，｛為｝是等比數(shù)列,且a\—b\—ai-bl-ay-

63=1.

(1)求優(yōu)〃｝與｛加｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)他"｝的前〃項(xiàng)和為租,求證:(S?+i+a?+i)hn=Sn+ibn+i-Snbn；

2n

(3)求￡[ak+\-(-1)kak\bk.

k=l

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛珈｝的公差為d,等比數(shù)列｛加｝的公比為4,由切=4=42-歷

=a3-可得l+d-q=l,1+2J-q2=\,解得d,q,即可得出a〃.

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法能證明（S/l+4〃+l）bn

=Sn+1bn+1-Snbn；

2kk

（3）先求出［a2k-（-1）2卜1a2k_］也2hi+3&+L<-1）2k］b2k=2k>4,利用并項(xiàng)求

和，結(jié)合錯位相減法能求出結(jié)果.

【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛碗｝的公差為力等比數(shù)列｛治｝的公比為g,

a\=b\=a2~歷=〃3-加=1,

1+d-q=1,l+2d-/=1,

解得d=q=2,..........................................................................................................................(2分)

???〃〃=1+2(〃-1)=2n-1,bn=2〃-i...........................................................................(3分)

(2)證明：???b〃+i=2仇#0,

??要證明(S〃+l+a〃+l)bn=Sn+\bn+]~Snbn9

即證明(S"+l+〃〃+l)bn=2Sn+\*bn~Snbn9.......................................*.............................(4分)

即證明Sn+1+?！?1=2S?i+l-Sn?

即證明a〃+1=Sn+1-Snr

由數(shù)列的通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和的關(guān)系得：Z+1=S〃+1-S〃，....................（6分）

（S〃+l+O〃+l）bn—Sn+1bn+1-Snbn................................................................................（7分）

2k

(3)V[a2k_(_1)2k-1a^]b2k-\+[a2M-(-1)2k]b2k

=(4k-l+4A-3)X22A_2+[4it+l-(4^-1)]X22-1=2如4?,

2nn

2k[

[ak+\-(-1)kak\bk=f{[aik-(-1)'aik-\]bik-1+[a.(-1)左〃2H歷上}

k=lk=l

n

=￡2H4。.............................................................(10分)

k=l

n

設(shè)2k-4k-

k=l

貝“Tn=2X4+4X4?+6X43+?+2〃X4",①

47^=2X42+4X43+6x44+?+2nX4n+1,②..................................................................(12分)

①-②，得：

-3〃=2(4+42+43+44+*+4n)-2nMn+l

=2乂4/L2nx4nH

1-4

n+1

=(2-6n)?4-8

~T~

.?.3g-2)?4巾+8,...

（14分）

9

2n

￡[ak+\-（7皿吟』（15分）

k=l

【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯位相減法，考查了

推理能力與計算能力，屬于難題.

22

19.（15分）（2022?天津）橢圓2_+匚=1（〃>6>0）的右焦點(diǎn)為尸、右頂點(diǎn)為4,上頂

a2b2

點(diǎn)為B,且滿足工叫=近.

|ABI2

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)M,與y軸相交于N（N異于M）.記O為坐標(biāo)原點(diǎn),

若［0例|=1。朗，且△OMN的面積為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）根據(jù)膽!=近建立。，匕的等式，再轉(zhuǎn)化為a,c的等式，從而得離心率

lABI2

e的值；

（2）先由（1）將橢圓方程轉(zhuǎn)化為7+3y2=J,再設(shè)直線/為）,=h+加，聯(lián)立橢圓方程求

出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由△=（）及|OM=|OM，且△OMN的面積為北建立方程組，再解方

程組即可得解.

2

|BF|_a_=遮9

【解答】解：（1）,/---a----=—3，

杼了2-24

IABI2a+b+

.??。2=3廬，...............................................................(2分)

：.a1=3(a2-c2),A2a2=3c2,...........................................(3分)

22

(2)由(1)可知橢圓為七"^=1,

V

即/+3y2=〃2,.......................................................(5分)

設(shè)直線/：y=kx+m,聯(lián)立/+3)2=42,消去丁可得：

(3乒+1)x1+6kfwc+(3〃?2-〃2)=o,又直線/與橢圓只有一個公共點(diǎn)，

???△=36必加2-4(3F+1)(3m2-〃)=0,：.3m2=a2(3正+1)，.............(8分)

-V7_3km-3k2m

外二kxM+m=

XM-3k2+l3k2+l

2

又QM=|OM，???(二碧一)+(―L)2=m2(

3kJ+l3k^+l

解得k21，.?/=土近，...............................................

(11分)

33

w

,又叢OMN的面積為春?|0N||xH|~4",|m|,|—尸F(xiàn)，

2m23k"+l

m2

/._L=A/o,/.m=4,....................................(13分)

22

又k=^^-,3n^=<r(3/+1),.,.a2=6,h2=2,........................