第一章偏微分方程定解問(wèn)答

,.第一章偏微分方程定解問(wèn)題引言：在研究、探索自然科學(xué)和工程技術(shù)中，經(jīng)常遇到各種微分方程。感謝閱讀如牛頓定律md2xg------(1)dt2波動(dòng)方程2222ua2uuuf(t,x,y,z)------(2)t2x2y2z2熱傳導(dǎo)方程ua2222uuuf(t,x,y,z)------(3)tx2y2z2靜電場(chǎng)位方程a222f(x,y,z)------(4)2uuux2y2z2激波方程uu0------(5)tux等等。其中(1)為一維常微分方程；(2)----(4)為三維偏微分方程；(5)精品文檔放心下載為一維偏微分方程。這些數(shù)學(xué)中的微分方程均來(lái)自物理問(wèn)題，有著各自的物理背景，從數(shù)量關(guān)系上反映著相應(yīng)的物理規(guī)律，稱(chēng)為數(shù)學(xué)物理方程，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)理方程。謝謝閱讀數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)與物理學(xué)的交叉分支學(xué)科。從物理上講它是理論物理的基本工具；在數(shù)學(xué)上屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的(偏)微分方程分支。精品文檔放心下載本課程主要研究和討論三類(lèi)數(shù)理方程(2)，(3)，(4)的建立(導(dǎo)出)以及幾種常用的典型的求解方法。精品文檔放心下載,.為了下面研究和討論的方便，先引入有關(guān)微分方程的幾個(gè)基本概念感謝閱讀(術(shù)語(yǔ))。常，偏微分方程只含一個(gè)自變量，關(guān)于該變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對(duì)該變量感謝閱讀的導(dǎo)數(shù)的微分方程為常微分方程，如(1)。含有多個(gè)自變量，關(guān)于這些變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對(duì)這些感謝閱讀變量的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程為偏微分方程，如(2)----(5)。精品文檔放心下載2.階上述(1)----(5)均可改寫(xiě)成如下形式md2xg0------(1’)dt22uf0ua2-------(2’)t23ua2uf0------(3’)t3a2uf0------(4’)3uuu0------(5’)tx其中222，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)x2y23z2或f(x,y,z)。這些方程可歸納為如下形式u,u,,u,,mu=0，F(xiàn)x,x,,x,u,xxxxm12nxmxm12n1122nn其中mmmm為導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，成為方程的階。12n,.線(xiàn)性、非線(xiàn)性偏微分方程只涉及未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合(一次項(xiàng))的偏微分方程稱(chēng)為線(xiàn)性偏微分方程。如(2)----(4)。感謝閱讀含有未知函數(shù)及欺騙導(dǎo)數(shù)二次或二次以上乘積項(xiàng)的偏微方程稱(chēng)為非感謝閱讀線(xiàn)性偏微分方程。如(5)。1.1三個(gè)典型方程的導(dǎo)出本課程中研究問(wèn)題的方式是：先將物理問(wèn)題裝化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型；再求解數(shù)學(xué)模型；精品文檔放心下載最后由所得解來(lái)分析，解釋?zhuān)沂緦?shí)際物理問(wèn)題出現(xiàn)的結(jié)果。精品文檔放心下載1.1.1：弦的(微小)橫振動(dòng)(1)相關(guān)的物理規(guī)律uuv uuv牛頓第二定律 Fmauuv uuuuv胡克定律 Fmx(2)波動(dòng)方程的導(dǎo)出微元分析法：(x,x+dx)uuv已知外力Gt,x;dxgt,xdxμj，均勻線(xiàn)密度為uuv弦內(nèi)部張力(t,xdx)T(t,xdx)iT(t,xdx)jμ?12,.uuuvμ?12導(dǎo)數(shù)的基和意義：uT/T，x21uT/TT(t,xdx)u(t,xdx)T(t,xdx)x212x1T(t,x)u(t,x)T(t,x)2x1由牛頓第二定律得到如下矢量關(guān)系式uuuvuuuvuuuvdmguuuv(t,x)G(t,x;dx)T(t,xdx)T(t,x)tti:T(t,xdx)T(t,x)0μ11tt22由此可得：T2ug(Tu)gT2uT10，1x1uxt2x1x2xx即T(t,x)T(t)，2ugT(t)2u11t21x2又由小振動(dòng)條件知|ux|11ux21,ds dx2du21ux2dxdx精品文檔放心下載而TT2T2T1u2TT(t)121x1故最終有一維波動(dòng)方程為uu22t2a2x2f(t,x)，用同樣的方法可導(dǎo)出：二維波動(dòng)方程(如鼓膜小振動(dòng))：2ua22u2uf(t,x,y)，t2x2y2三維波動(dòng)方程(如聲波)：,.2ua22u2u2uf(t,x,y)a2uf(t,x,y)。t2x2y2z23說(shuō)明波動(dòng)方程反映了一類(lèi)物理系統(tǒng)，如細(xì)弦、彈性桿、鼓膜、聲音，乃至電磁系統(tǒng)中的電流、電壓、電場(chǎng)、磁場(chǎng)隨時(shí)間演化的共同規(guī)律。這些物理系統(tǒng)的狀態(tài)(方程的解)隨時(shí)間的變化是可逆的。而在數(shù)學(xué)上該方程屬于一類(lèi)典型的偏微分方程----雙曲型方程。精品文檔放心下載1.1.2:熱傳導(dǎo)問(wèn)題(1)相關(guān)的物理規(guī)律傅立葉定律(熱傳導(dǎo))uuv$μμqkukkuixjxx其中uuvdQμ為沿μn方向的熱流強(qiáng)度，k>0，qdSdtn能量轉(zhuǎn)化與守恒定律(熱平衡)VuQC牛頓冷卻定律(熱交換)q(S,t)h[u(t,x,y,z)|u]，S0其中S為邊界面積，u為外界溫度。0(2)熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出微元分析法dV=dxdydz,.已知dV中dt內(nèi)產(chǎn)生的熱量為g(t,x,y,z)dVdt謝謝閱讀經(jīng)面1流入dV的熱量QQqku|1，1滿(mǎn)足：dydzdtxxx經(jīng)面2流入dV的熱量Q滿(mǎn)足：Q2u|ku|qk2dydzdtxdx(x)xdxxxdxtt+dt內(nèi)沿x軸流入dV中的凈熱量為QQku|ku|dydzdt12xxxxdx(||)kuxxdxuxxdydzdtkuxxdxdydzdt，同理，tt+dt內(nèi)沿y軸流入dV中的凈熱量為QQkudxdydzdt，34yytt+dt內(nèi)沿z軸流入dV中的凈熱量為QQkudxdydzdt56zz故tt+dt內(nèi)dV中增加的凈熱量為g(t,x,y,z)dVdtQQQQQQ123456g(t,x,y,z)dVdtkuxxdVdtkuyydVdtkuzzdVdtg(t,x,y,z)k(uxxuyyu)dVdtzz這些熱量用來(lái)使dV內(nèi)的物質(zhì)在tt+dt內(nèi)升溫，升溫所需的熱量感謝閱讀為cdmutdtcdVutdt，c為物質(zhì)的比熱，感謝閱讀由能量守恒定律知：,.cdVudtg(t,x,y,z)k(uxxuyyuzz)dVdtt即cug(t,x,y,z)k(uxxuyyu)tzz化簡(jiǎn)后可得三維熱傳導(dǎo)方程ua22u2u2uf(t,x,y,z)a2uf(t,x,y,z)tx2y2z23其中ak，f(t,x,y,z)g(t,x,y,z)。c同理可得出二維、一維熱傳導(dǎo)方程為：二維(如溫度分布、變化與高度無(wú)關(guān)的柱體)ua22u2uf(t,x,y)；tx2y2一維(如側(cè)面絕熱細(xì)桿)ua22uf(t,x)。感謝閱讀t x2(3)說(shuō)明熱傳導(dǎo)方程也反映了一類(lèi)物理現(xiàn)象的共同特征。只要機(jī)理與熱傳導(dǎo)相似(有源，流等)，如氣體擴(kuò)散、雜質(zhì)擴(kuò)散、濃度擴(kuò)散等，均滿(mǎn)足該形式的方程，故熱傳導(dǎo)方程也常稱(chēng)為擴(kuò)散方程。這類(lèi)現(xiàn)象(方程的解)隨時(shí)間的演化是不可逆的。在數(shù)學(xué)上，該方程也屬于一類(lèi)典型的偏微分方程----拋物型方程。感謝閱讀1.1.3:(靜電)場(chǎng)位方程(1)相關(guān)物理規(guī)律1(x,y,z)dV高斯定律E(x,y,z)gdS(積分形式)uuvuuvV0Vμuuv$μμ$μkE(x,y,z)ixjyEiEjEkxyz,.ExxEyyEzz1(x,y,z) (微分形式)感謝閱讀0 ?uuvuv感謝閱讀ExyzdlLuuv$E(x,y,z)iEEy$zziy(2)場(chǎng)位方程的導(dǎo)出

xμjyμkzEx$iEyμjEzμk精品文檔放心下載ExEzEuuv(微分形式)μjyExμk0zxxyuuv$μμ$μ若A(x,y,z)(x,y,z)ixjkxiyjzyz則uuvy$μyμA(x,y,z)zzixzjxxkyzxyμ22$22μ22kyzizxxzjyxzyxy反之，數(shù)學(xué)上可以證明：uuv uuv uuv若A(x,y,z)0，則必有標(biāo)量函數(shù)(x,y,z)，使A(x,y,謝謝閱讀

μkuuv0z)。uuv由法拉弟定律可知 E代入高斯定律有()2(x,y,z)，感謝閱讀0化簡(jiǎn)后即得三維場(chǎng)位方程2u2u2uuf(x,y,z)x2y2z23其中f(x,y,z)(x,y,z)，0相應(yīng)的二維和一維方程分別是：2u2uf(x,y)和2uf(x)。感謝閱讀x2y2x2(3)說(shuō)明,.場(chǎng)位方程也反映了一類(lèi)物理現(xiàn)象，即穩(wěn)定分布現(xiàn)象的共同特征。這些感謝閱讀現(xiàn)象是不隨時(shí)間變化的(方程的解中不含時(shí)間變量)，故也常成為穩(wěn)定感謝閱讀分布方程。例如，熱傳導(dǎo)問(wèn)題中可以出現(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)某物體內(nèi)熱源產(chǎn)精品文檔放心下載生的熱量恰好等于傳出體外的熱量，此時(shí)體內(nèi)溫度的分布便不隨時(shí)間謝謝閱讀變化，在熱傳導(dǎo)方程中有ua22u2u2uf(t,x,y,z)0，tx2y2z2熱傳導(dǎo)方程自然轉(zhuǎn)化為溫度的穩(wěn)定分布方程。在數(shù)學(xué)上，場(chǎng)位方程(有時(shí)稱(chēng)為Poisson方程)屬于又一類(lèi)典型的偏微分方程----橢圓型方程。精品文檔放心下載1.2定解問(wèn)題及其適定性在完成了建立偏微分(數(shù)理)方程后，接下來(lái)的任務(wù)就是求解這些精品文檔放心下載方程。為此還要介紹幾個(gè)有關(guān)微分方程解的基本概念。1.2.1:解，通解和特解如果將一個(gè)函數(shù)代入微分方程(取代未知函數(shù))后，原方程變成一個(gè)恒感謝閱讀等式，該函數(shù)就稱(chēng)為原方程的解。微分方程的解可分為兩類(lèi)：通解和特解。例1.2.1求解 u0，其中uu(,)。感謝閱讀分析：若uu()，則udu0uC為與無(wú)關(guān)的任意常數(shù)。精品文檔放心下載 d但當(dāng)uu(,)時(shí)，雖然由u0形式上仍可得uC，但此處的常數(shù)C應(yīng)該僅僅只是與無(wú)關(guān)。因,是兩個(gè)獨(dú)立的變量，故一般說(shuō)來(lái)，C可以與有關(guān)，即Cf()為與無(wú)關(guān)的任意函數(shù)。2u0感謝閱讀,.解：將原方程兩邊對(duì)積分，得uf()。謝謝閱讀例1.2.2求解2u0，其中uu(,)。謝謝閱讀解：原方程可寫(xiě)為 u0，兩邊對(duì)積分一次得 uh()，兩邊再對(duì)積分一次得uh()dg()f()謝謝閱讀其中g(shù)(),f()均為任意可微函數(shù)。上述兩例中方程的解均含有任意函數(shù)。例1.2.1含一個(gè)，而方程為1謝謝閱讀階；例1.2.2中含兩個(gè)，而方程為2階。這種m階偏微分方程的含感謝閱讀有m個(gè)任意函數(shù)的解稱(chēng)為偏微分方程的通解。與常微分方程通解相比，它們要復(fù)雜得多。感謝閱讀這就從數(shù)學(xué)上表明僅有偏微分方程本身，充其量只能求得其通解，不能確定其中任意函數(shù)的具體形式。精品文檔放心下載具體問(wèn)題的解釋不能含有不確定的任意函數(shù)或任意常數(shù)的，這種解稱(chēng)為方程的特解。感謝閱讀以波動(dòng)方程為例從物理上看，在獲得這一方程時(shí)僅考慮到任一時(shí)刻弦內(nèi)部及外力對(duì)弦內(nèi)部的作用而未考慮初始時(shí)刻弦的運(yùn)動(dòng)以及外部環(huán)境對(duì)弦震動(dòng)的影響，因此，不管是初始時(shí)不動(dòng)的弦還是初始時(shí)運(yùn)動(dòng)的弦；不管是無(wú)限長(zhǎng)的弦還是有限長(zhǎng)的弦，它們的運(yùn)動(dòng)均滿(mǎn)足同一個(gè)波動(dòng)方程。換句話(huà)說(shuō)，這些不同情況的弦的運(yùn)動(dòng)都是波動(dòng)方程的解。因此，僅有一個(gè)波動(dòng)方程最多就能解出反映各種弦運(yùn)動(dòng)共同特征的通謝謝閱讀,.解，而不能得出反映不同的具有各自特色的弦運(yùn)動(dòng)的特解。感謝閱讀前述分析表明實(shí)際上單靠一些數(shù)理方程是不能完全決定一個(gè)具體精品文檔放心下載問(wèn)題的解的，因此，數(shù)理方程本身被稱(chēng)為泛定方程。1.2.2:定解條件前面已說(shuō)明，要解決一個(gè)具體的數(shù)理問(wèn)題，單給泛定方程是不夠精品文檔放心下載的。更為嚴(yán)重的是，實(shí)際上只有極少數(shù)極其簡(jiǎn)單的泛定方程能求出其精品文檔放心下載通解，求解一般的偏微分方程的通解是極其困難的，也不實(shí)用。通常感謝閱讀情況是根據(jù)方程的物理背景或數(shù)學(xué)特點(diǎn)求出某些特定形式的特解，這精品文檔放心下載除了需要泛定方程外，還要有具體問(wèn)題找出相應(yīng)的定解條件。感謝閱讀泛定方程+定解條件=定解問(wèn)題。常見(jiàn)的定解條件如下1.初始條件系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的變化是個(gè)歷史過(guò)程。某時(shí)刻(t=0或t=t)的狀精品文檔放心下載0態(tài)對(duì)今后時(shí)刻(t>0或t>t)的狀態(tài)是會(huì)有影響的，該時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的謝謝閱讀0數(shù)學(xué)表式即為初始條件。到底怎樣才算給出了初始條件，以自由弦的謝謝閱讀波動(dòng)方程為例來(lái)說(shuō)明。自由弦的波動(dòng)方程為utta2uxx，關(guān)于t的偏導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)為2。感謝閱讀若僅給出u|(x)，則僅能由方程得出任意x處u|的值，并不t0ttt0能得出x處u|的值，故下一時(shí)刻(t0)的u|不知，推求進(jìn)程無(wú)tt01tt1法繼續(xù)。若同時(shí)給出u|(x)，u|(x)，則下一時(shí)刻(t0)x處的u|t0tt01tt1值可知，同時(shí)由方程可知u|的值，因此下一時(shí)刻(t0)x處的u|ttt01ttt1,.的值也可知，再由已知的u|、u|同理可推出更下一時(shí)刻tt的ttttt2111的值，L，等等。這樣，任一時(shí)刻t>0之u值可求出。u|tt2,ut|tt2由此推廣可知，偏微分方程中關(guān)于t的最高騙到的最高階數(shù)為m,則謝謝閱讀出數(shù)條件應(yīng)為：給出u|,u|,L,m1之值。ut0tt0tm1t0給定初始條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱(chēng)為初值問(wèn)題。注意：初始條件需給出t=0時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)而非某一處的狀態(tài)值。謝謝閱讀邊界條件系統(tǒng)的狀態(tài)變化除了本身的內(nèi)在因素，還要受到周?chē)h(huán)境的影響。這種影響在數(shù)理方程的求解問(wèn)題中就表現(xiàn)為邊界條件。精品文檔放心下載邊界條件有多種，常見(jiàn)的有以下三類(lèi)：第I類(lèi)邊界條件：直接給出系統(tǒng)在邊界處的狀態(tài)值，如u(t)；xx11第II類(lèi)邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)值，如u(t)；xxx1第III類(lèi)邊界條件：給出系統(tǒng)在邊界處的偏導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)值的線(xiàn)性組合謝謝閱讀潪。如(uux)|xxF(t)。感謝閱讀1到底采用何種邊界條件要由具體問(wèn)題決定。給出邊界條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱(chēng)為邊值問(wèn)題。注意：邊界條件需要給出系統(tǒng)邊界處所有時(shí)刻之值而不是某時(shí)刻之精品文檔放心下載值。同時(shí)給出初始條件和邊界條件求泛定方程特解的問(wèn)題稱(chēng)為混合問(wèn)題。3：銜接條件謝謝閱讀,.系統(tǒng)由若干個(gè)性質(zhì)或參數(shù)不同部分組成時(shí)，各部分交界處的物理量要謝謝閱讀滿(mǎn)足一定的數(shù)值關(guān)系，此即銜接條件。如：固、液體界面處的壓強(qiáng)，不同材料連成的彈性桿，不同金屬連成精品文檔放心下載的電阻，不同介電常數(shù)組成的系統(tǒng)，等等。1.2.3:定解問(wèn)題的適定性如果一個(gè)定解問(wèn)題的解存在，唯一且穩(wěn)定(初始條件有微小變化感謝閱讀時(shí)，相應(yīng)的解也只有微小的變化)，就稱(chēng)該定解問(wèn)題是適定的。精品文檔放心下載今后我們只討論適定的定解問(wèn)題，直接承認(rèn)其適定性而不作證謝謝閱讀明。1.3三類(lèi)數(shù)理方程常見(jiàn)的定解問(wèn)題1.3.1：波動(dòng)方程的定解問(wèn)題下面以一維方程為例來(lái)說(shuō)明。因方程utta2uxxf(t,x)中對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)為2，故需要兩個(gè)初精品文檔放心下載始條件：ut0(x)，utt0(x)。感謝閱讀三類(lèi)邊界條件如下：I直接給出邊界處xx的振動(dòng)情況u (t)。感謝閱讀0xx0II 給出邊界處xx 的外力，相當(dāng)于給出邊界處的偏微商謝謝閱讀0u (t)。xxx0,.取微元(x,xdx),0 0已給出xdxuttxx0

xuuv處的負(fù)荷外力為F(t)F(t)j，則0F(t)g(t,x)dxT(t,xdx)謝謝閱讀0 2 0F(t)g(t,x)dxT(t,xdx)T(t,x)T(t,x)感謝閱讀0 2 0 2 0 2 0dxug(t,x)dxT(t,xdx)T(t,x)謝謝閱讀xx002020g(t,x)dxT(t)uxx，01xx0故F(t)T(t,x)F(t)T(t)u0，201xxx0F(t)F(t)即u(t)。xxxT(t)T(t)01III邊界xx處除外力，還有彈力，相當(dāng)于給出邊界處的函數(shù)值與其感謝閱讀0uF(t)。偏微商的線(xiàn)性組合值kuTxxx0,.取微元(x,x0 0已給出xx0

dx),uuvμ和彈力ku，則處的負(fù)荷外力F(t)F(t)jxx0用與上述II相同的方法，可得F(t)kuT(t)u0xx01xxx0uF(t)。移項(xiàng)后即有kuTxxx0注意：無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題不需要邊界條件；半無(wú)限長(zhǎng)弦問(wèn)題需要一個(gè)(端)邊界條件；有限長(zhǎng)弦問(wèn)題需要兩個(gè)(端)邊界條件。1.3.2:熱傳導(dǎo)方程的定解問(wèn)題下面以三為方程ua2uf(t,x,y,z)為例來(lái)說(shuō)明t3因方程中對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)為 1，故需要一個(gè)初始條件：精品文檔放心下載(x,y,z)。0三類(lèi)邊界條件如下：I直接給出邊界面上的溫度值u(t,x,y,z)(t,x,y,z)，VV其中V為體積V的邊界。II給出邊界面Vμ方向的熱流。相當(dāng)于給出邊界面上的偏微上的沿nu(t,x,y,z)。nV在邊界面運(yùn)用法拉第熱傳導(dǎo)定律uuvq(t,x,y,z) q(t,x,y,z)μn精品文檔放心下載V VkunμnV,.即有u1。nkq(t,x,y,z)VV給出邊界面V內(nèi)外熱交換，面外溫度為，面內(nèi)溫度為u，相當(dāng)感謝閱讀給出邊界面上的函數(shù)值與其偏微商的線(xiàn)性組合值謝謝閱讀uh。huknVV在邊界面上運(yùn)用牛頓熱交換定律和傅立葉熱傳導(dǎo)定律，沿n方向在dt內(nèi)流經(jīng)dS的凈熱量精品文檔放心下載為hudSdtku，VnV而熱量在界面上是不能積累的，故有：hudSdtku0，VnVuh即：huknVV1.3.3：場(chǎng)位方程的定解問(wèn)題因方程中不含對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，故問(wèn)題無(wú)初始條件。三類(lèi)邊界條件如下I直接給出邊界上的電勢(shì)值u (x,y,z) 。謝謝閱讀V VuuvII由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系式Eu(比較電容器中謝謝閱讀勻強(qiáng)電場(chǎng)情況)可知Enun。若給出邊界面的精品文檔放心下載場(chǎng)強(qiáng)分量值，則相當(dāng)于給出uE(x,y,z)。nnVV,.III在時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，熱傳導(dǎo)體系處于溫度穩(wěn)定分布，精品文檔放心下載有ua2uf(t,x,y,z)0。仿照前述，若體系t3外界溫度為，則有u。hukhnVV1.4波動(dòng)方程的行波解1.4.1:一維無(wú)界齊次波動(dòng)方程的通解及其處置問(wèn)題的達(dá)朗貝爾公式精品文檔放心下載一維無(wú)界齊次波動(dòng)方程為utta2uxx，aa可化為txtxu0，utauxv(t,x)------(i)，則vtavx0------(ii)設(shè)想作變量變換tt(,),xx(,)以化簡(jiǎn)原方程。精品文檔放心下載此時(shí)，有u(x,y)u(t(,),x(,))，感謝閱讀utuxu，utuxu------(iii)txtx若能將(ii)化為v0，則v易由積分求出，精品文檔放心下載若再能將(i)化為v=u，則u也可由積分求出。謝謝閱讀先看(ii)：比較(iii)，若取tk且xka------(iv)11則(ii)為1tvxv1v=0------(a)，ktxk11再看(i)：比較(iii)，若取tk2且xk2a------(v),.則(i)為1tuxuv------(b)，ktxk22由(i)、(ii)、(a)、(b)知原方程化為2u 0，謝謝閱讀按照例1.2.2，對(duì)其積分兩次可得：h()dg()f()------(c)謝謝閱讀()、g()均為可微函數(shù)。接著再確定tt(,),xx(,)的具體形式，精品文檔放心下載由(iv)得tkr()，xkas()精品文檔放心下載1 1把(vi)代入(v)得dr()k，ds()kad2d2解得：r()k，s()ka22代入(vi)有tkk，xkaka，精品文檔放心下載1 2 1 2反解出：12不妨取k1k112a，22a即得：xat，xat------(d)式(d)代入式(c)，得到原方程最終解為：u(t,x)f(xat)g(xat)，感謝閱讀其中f，g均為任意可微函數(shù)。顯然，這是原波動(dòng)方程的通解?，F(xiàn)討論其物理意義：如圖，以a=1為例,.f(510)f(411)f(312)L，表明f(xat)為左行波；g(510)g(611)g(712)L，表明g(xat)為右行波。故無(wú)限長(zhǎng)弦自由橫振動(dòng)的通解為左、右行波解。精品文檔放心下載要具體確定f，g的形式需用初值條件。例1.4.1無(wú)限長(zhǎng)弦自由橫振動(dòng)的初值問(wèn)題2ua22u,t0,x精品文檔放心下載t2x2u(x)u(x),t0tt0解：由上面的討論知utta2uxx的通解是u(t,x)f(xat)g(xat)，謝謝閱讀utddftddgtf'(xat)ag'(xat)(a)精品文檔放心下載af'(xat)ag'(xat)。感謝閱讀將初始值代入得uf(x)g(x)(x)f(x)g(x)(x)t0，即u1af'(x)ag'(x)(x)x()dctf(x)g(x)a0t0f(x)1[(x)1x()dc]2a011x()dc]g(x)0,.u(t,x)f(xat)g(xat)感謝閱讀12[(xat)1axat()d(xat)1axat()d]00謝謝閱讀12[(xat)(xat)]21axat()dxat感謝閱讀此即達(dá)朗貝爾公式。達(dá)朗貝爾解的物理意義：反映出初始擾動(dòng)在體系中的傳播過(guò)程。感謝閱讀(i)初始位移(x)的擾動(dòng)12[(xat)(xat)],僅由x+at，x-at兩處的值決定。(ii)初始速度(x)的擾動(dòng)1xat()d，由2[x+at，x-at]區(qū)間內(nèi)精品文檔放心下載2a xat所有初速值共同決定，是一種積累效應(yīng)。(x)1x()d，則2a(xat)21axat()d,(xat)21axat()d精品文檔放心下載分別為左、右傳播的位移行波，而1xat()d(xat)(xat)即為兩者的反相疊加。謝謝閱讀2a xat,.依賴(lài)區(qū)間，確定區(qū)域及影響區(qū)域1.4.2：半直線(xiàn)上的問(wèn)題——延拓法例1.4.3一端固定半無(wú)界弦的自由振動(dòng)因?yàn)橛羞吔?端點(diǎn))，故除了初始條件外，還有邊界條件，為混合問(wèn)題。精品文檔放心下載2ua22u,t2x2u(t,0)0,u(0,x)(x),

t0,x0,u (x)t0解：因(x)，(x)僅在x0時(shí)有定義，x0時(shí)無(wú)意義。故不能直接精品文檔放心下載應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式。,.可通過(guò)補(bǔ)充定義x0范圍中的初始條件而將(x)，(x)延拓至謝謝閱讀x，再利用達(dá)朗貝爾公式。自然延拓后的初始條件在x0時(shí)有(x)(x), (x)(x)。感謝閱讀延拓后按達(dá)朗貝爾公式有u(t,0)1[(at)(at)]1[at()dat()d]22a0012[(at)(at)]21aat[()()]d00謝謝閱讀(x),(x)獨(dú)立，故(at)(at),()()。感謝閱讀又由at任意，故(x)(x),(x)(x)，均為奇函數(shù)。即(x)(x),x0(x),x0。(x),x0;(x)(x)x0此時(shí)邊界條件與初始條件均能滿(mǎn)足，有u(t,x)1[(xat)(xat)]1xat()d22axat1[(xat)(xat)]1xat()d,tx22axata。1[(xat)(atx)]1xatxatx下面討論此解的物理意義(為方便起見(jiàn)令()0)當(dāng)tx時(shí)，u(t,x)1[(xat)(xat)],x0，a2時(shí)刻x處的位移由初位移的左行波(xat)與右行波(xat)決感謝閱讀定。,.由圖可知(x)的左行波總能影響x點(diǎn)，(x)的左行波在tax時(shí)對(duì)謝謝閱讀點(diǎn)影響。當(dāng)tx時(shí)，u(t,x)1[(xat)(atx)],x0,a2(xat)仍是(x)形成的左行波，而(atx)((xat))是由感謝閱讀(x)形成的右行波，t時(shí)刻x處的位移由該兩波決定。謝謝閱讀下圖示意上述結(jié)論：(atx)到底是何右行波？(x)是(x)先經(jīng)y軸反射為(x)，再經(jīng)x軸反射而成，精品文檔放心下載(atx)是(xat)(xat)的反相反射右行波，如下圖：精品文檔放心下載由此有結(jié)論：該問(wèn)題中弦的波動(dòng)在tax時(shí)由初始擾動(dòng)形成的左、感謝閱讀右行波決定；在tax時(shí)由初始擾動(dòng)形成的左行波及其經(jīng)端點(diǎn)反射形精品文檔放心下載,.成的反相反射右行波決定。可見(jiàn)該問(wèn)題中端點(diǎn)的作用：形成于入射波反相的反射波。假想一無(wú)限長(zhǎng)弦，x0處并不固定，但初始位移為(x)而非(x)，精品文檔放心下載如下圖由圖可知任一時(shí)刻t在x0處(x)形成的左、右行波(xat)、精品文檔放心下載(xat)互相抵消，x0處u(t,0)0；而假想系統(tǒng)中x0部分是完全等同于實(shí)際研究的半無(wú)界系統(tǒng)，故假想系統(tǒng)解的x0部分即為所求解。同時(shí)也可見(jiàn)(xat)為(xat)的反相反射波。謝謝閱讀1.4.3:中心對(duì)稱(chēng)球面波三維自由(齊次)波動(dòng)方程ua2ua2uuu2222t23x2y2z2關(guān)于x、y、z三變量是對(duì)稱(chēng)的。若初始條件u,u僅與距離t0tt0rx2y2z2有關(guān)，則可以猜想到其初值問(wèn)題2ua2u,t0,rx2y2z2t23,u(r)u(r)tt0必有球?qū)ΨQ(chēng)解u(t,r)。求解這樣的問(wèn)題可將三維問(wèn)題化為一維問(wèn)題求感謝閱讀,.解。解：令uu(t,x,y,z)u(t,r), r x2y2z2。精品文檔放心下載先將泛定方程由直角坐標(biāo)形式化為求坐標(biāo)形式：uru2xuxuxxr2x2y2z2rrr2u[x]uxr2u1x1ruxx2ux2xrrrxr2rr2xrrrr2謝謝閱讀1xxux22u1x2