專題15-逆命題及逆定理(知識點串講)(解析版)

1/12專題15逆命題及逆定理知識框架重難突破一、互逆命題與互逆定理1.互逆命題對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題.

備注：所有的命題都有逆命題.原命題正確，它的逆命題不一定是正確的.2.互逆定理如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理.備注：（1）一個命題是真命題，但是它的逆命題不一定是真命題的，所以不是每個定理都有逆定理；(2)一個假命題的逆命題可以是真命題，甚至可以是定理.

二、線段垂直平分線性質定理及其逆定理線段垂直平分線（也稱中垂線）的性質定理是：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等；逆定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．備注：性質定理的前提條件是線段已經有了中垂線，從而可以得到線段相等；逆定理的題設是已知線段相等，結論是確定線段被垂直平分，一定要注意兩者的區(qū)別，前者在題設中說明，后者則在最終的結論中得到，所以在使用這兩個定理時不要混淆了.要點二、角平分線性質定理及其逆定理角平分線性質定理是：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；逆定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.備注：性質定理的前提條件是已經有角平分線了，即角被平分了；逆定理則是在結論中確定角被平分，一定要注意兩者的區(qū)別，在使用這兩個定理時不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年級期末）下列命題的逆命題成立的是（）A．對頂角相等 B．等邊三角形是銳角三角形C．正方形的對角線互相垂直 D．平行四邊形的對角線互相平分【答案】D【解析】解：A、逆命題為相等的角是對頂角，不成立；

B、逆命題為：銳角三角形是等邊三角形，不成立；

C、逆命題為：對角線互相垂直的四邊形是正方形，不成立；

D、逆命題為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，成立，

故選：D．練習1．（2019·山東德州市·）數(shù)學中有一些命題的特征是：原命題是真命題，但它的逆命題卻是假命題．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命題中，具有以上特征的命題是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的對應角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my【答案】C解：A、原命題正確，逆命題為同位角相等，兩直線平行，正確，為真命題，不符合題意；B、原命題錯誤，是假命題；逆命題為如果a＝1，那么|a|＝1，正確，是真命題，不符合題意；C、原命題正確，是真命題；逆命題為：對應角相等的三角形全等，錯誤，是假命題，符合題意；D、當m＝0時原命題錯誤，是假命題，不符合題意，故選：C．練習2．（2020·山西臨汾市·八年級期末）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．若，則 B．兩個全等三角形的對應角相等C．若，，則 D．全等三角形的對應邊相等【答案】D解:A：逆命題：若，則，當a=1，b=-2時，錯誤；B：逆命題：對應角相等的兩個三角形全等，錯誤；C：逆命題：若，則，，也可能a=0，b≠0，錯誤；D：逆命題：對應邊相等的兩個三角形全等，根據(jù)SSS可以判定，正確，故選D.例2．（2020·四川巴中市·八年級期末）命題“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是_______【答案】有兩個角相等的三角形是等腰三角形∵原命題的題設是：“一個三角形是等腰三角形”，結論是“這個三角形兩底角相等”，∴命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“有兩個角相等三角形是等腰三角形”．故答案為：有兩個角相等的三角形是等腰三角形.練習1．（2018·富順縣趙化中學校八年級期末）命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是___________________.它是________命題（填“真”或“假”）.【答案】如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形真【解析】分析：把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的條件是直角三角形，結論是斜邊上的中線等于斜邊的一半，故其逆命題：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．詳解：定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．它是真命題.故答案為：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川綿陽市·八年級期末）如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（）A．∠A、∠B兩內角的平分線的交點處B．AC、AB兩邊高線的交點處C．AC、AB兩邊中線的交點處D．AC、AB兩邊垂直平分線的交點處【答案】D解：根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，超市應建在AC、AB兩邊垂直平分線的交點處，故選：D．練習1．（2019·四川成都市·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分別以點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點P、Q，過P、Q兩點作直線交BC于點D，則CD的長是_____．【答案】【解析】分析：連接AD由PQ垂直平分線段AB，推出DA=DB，設DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根據(jù)AD2=AC2+CD2構建方程即可解決問題；詳解：連接AD．∵PQ垂直平分線段AB，∴DA=DB，設DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=，∴CD=BC﹣DB=5﹣=，故答案為．例4．（2020·四川廣元市·八年級期末）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點，交于點，連接.（1）若，則的度數(shù)是；（2）若，的周長是.①求的長度；②若點為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值.【答案】（1）；（2）①6；②．解：解：（1）如圖，∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=70°，

∴∠A=40°，

∵AB的垂直平分線交AB于點N，

∴∠ANM=90°，

∴∠NMA=50°，

故答案為：50；

（2）①∵MN是AB的垂直平分線，

∴AM=BM，

∴△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，

∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC的周長是14，

∴BC=14-8=6；

②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，

∴當點P與M重合時，PA+PC=AC，此時PB+PC最小，

∴△PBC周長的最小值=AC+BC=8+6=14．練習1．（2020·四川成都市·七年級期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）直接寫出∠BAC的度數(shù)；（2）求∠DAF的度數(shù)，并注明推導依據(jù)；（3）若△DAF的周長為20，求BC的長．【答案】（1）100°；（2）20°，推導見解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是線段AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周長為20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，F(xiàn)A＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．練習2．（2020·四川成都市·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC各頂點的坐標分別為：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1（點A、C分布對應A1、C1）；（2）請在y軸上找出一點P，滿足線段AP+B1P的值最?。敬鸢浮浚?）作圖見解析；（2）作圖見解析．（1）如圖所示：（2）如圖所示：點P即為所求．例5．（2020·四川瀘州市·）如圖，在中，，是角平分線，若，，則點到的距離是（）A． B． C． D．【答案】C過點D作DE⊥AB，∵，∴DC⊥AC,∵AD平分∠BAC，∴DE=DC,∵，，∴DE=DC=4cm，故選：C.練習1．（2020·四川成都市·七年級期末）如圖，在Rt中，，在邊、上分別截取，，使，分別以、為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點，作射線交邊于點．若，則點到的距離為______．【答案】2根據(jù)作圖過程可知：AF平分∠BAC，過點F作FG⊥AC，∵∠B＝90°，∴FB⊥AB，∴FG＝FB＝2．∴點F到AC的距離為2．故答案為：2．練習2．（2020·四川廣元市·八年級期末）如圖，OC平分∠MON，P為OC上一點，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A、B，連接AB，得到以下結論：（1）PA=PB；（2）OA=OB；（3）OP與AB互相垂直平分；（4）OP平分∠APB，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA=PB，故（1）正確；在Rt△APO和Rt△BPO中，，∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL），∴∠APO=∠BPO，OA=OB，故（2）正確，∴PO平分∠APB，故（4）正確，OP垂直平分AB，但AB不一定垂直平分OP，故（3）錯誤，故選：C．例6．（2020·四川綿陽市·八年級期末）如圖，為內一點，平分，，，若，，則的長為()A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A解：延長BD,與AC交于點F,∵∴∠BDC＝∠FDC=90°∵平分，∴∠BCD＝∠FCD在△BDC和△FDC中∴△BDC≌△FDC∴BD=FD=1BC=FC=3∵∴AF=BF∵，，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故選：A例7．（2020·四川巴中市·七年級期末）如圖，是中邊的垂直平分線，分別交，于點，，平分，若．求的度數(shù)．【答案】∠C的度數(shù)為90°．∵DE是線段AB的垂直平分線，∠B=30°，

∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=30°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠EAC=∠BAE=30°，

即∠BAC=60°，

∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．

∴∠C的度數(shù)為90°．練習1．（2018·四川南充市·）如圖，已知：∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，AB＝6，AC＝3，則BE＝_______．【答案】解：如圖所示，連接CD、BD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分線，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中∴Rt△CDF≌Rt△BDE∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=6，AC=3，∴BE=．故答案為：練習2．（2020·四川眉山市·八年級期末）已知，平分，點分別在上．（1）如圖1，若于點