新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義第十一講三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式（含解析）

第十一講：三角函數(shù)概念和誘導(dǎo)公式【考點(diǎn)梳理】1．任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念(1)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）弧長(zhǎng)與扇形面積公式扇形的弧長(zhǎng)公式：SKIPIF1<0，扇形的面積公式：SKIPIF1<0．（3）任意角的三角函數(shù)借助單位圓定義：任意角SKIPIF1<0的終邊與單位圓交于點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．借助終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)：，若取點(diǎn)SKIPIF1<0是角SKIPIF1<0終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三角函數(shù)在各個(gè)象限符號(hào)記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式(1)平方關(guān)系：SKIPIF1<0．(2)商數(shù)關(guān)系：SKIPIF1<0；（3）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0余弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限【方法技巧與總結(jié)】1．利用SKIPIF1<0可以實(shí)現(xiàn)角SKIPIF1<0的正弦、余弦的互化，利用SKIPIF1<0可以實(shí)現(xiàn)角SKIPIF1<0的弦切互化．2．“SKIPIF1<0”方程思想知一求二．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典型題型講解】考點(diǎn)一：弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式【典例例題】例1．（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱(chēng)的美感．萊洛三角形的畫(huà)法：先畫(huà)等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則其面積是______．【詳解】由條件可知，弧長(zhǎng)SKIPIF1<0，等邊三角形的邊長(zhǎng)SKIPIF1<0，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧SKIPIF1<0所對(duì)的扇形面積為SKIPIF1<0，中間等邊SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0所以萊洛三角形的面積是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】熟記弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2（弧度制SKIPIF1<0）【變式訓(xùn)練】1.炎炎夏日，在古代人們乘涼時(shí)習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開(kāi)后，扇形ABC的面積S為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當(dāng)該紙疊扇的周長(zhǎng)C最小時(shí)，BD的長(zhǎng)度為_(kāi)__________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：設(shè)扇形ABC的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，則扇形面積SKIPIF1<0.由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以紙疊扇的周長(zhǎng)SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<02.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為SKIPIF1<0的圓面中剪下扇形SKIPIF1<0，使剪下扇形SKIPIF1<0后所剩扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的比值為SKIPIF1<0，再?gòu)纳刃蜸KIPIF1<0中剪下扇環(huán)形SKIPIF1<0制作扇面，使扇環(huán)形SKIPIF1<0的面積與扇形SKIPIF1<0的面積比值為SKIPIF1<0.則一個(gè)按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】記扇形SKIPIF1<0的圓心角為SKIPIF1<0，扇形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，扇環(huán)形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，圓的面積為SKIPIF1<0，由題意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)榧粝律刃蜸KIPIF1<0后所剩扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的比值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.考點(diǎn)二：三角函數(shù)及相關(guān)概念：【典例例題】例1.已知角SKIPIF1<0的終邊上有一點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．不確定【答案】B【詳解】角SKIPIF1<0的終邊上點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【方法技巧與總結(jié)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義【變式訓(xùn)練】1.已知角SKIPIF1<0的始邊與SKIPIF1<0軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：B2.在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角SKIPIF1<0以O(shè)??為始邊，OP為終邊，若SKIPIF1<0，則P所在的圓弧是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】本題主要考查三角函數(shù)線的知識(shí).由下圖可得：有向線段SKIPIF1<0為余弦線，有向線段SKIPIF1<0為正弦線，有向線段SKIPIF1<0為正切線.對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且SKIPIF1<0在第三象限時(shí)，SKIPIF1<0，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，故選C.3.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【答案】A【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.故選A.考點(diǎn)三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：【典例例題】例1.已知SKIPIF1<0是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且SKIPIF1<0則這個(gè)三角形的形狀是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.不等腰的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】解法1：主要是判斷SKIPIF1<0是鈍角、銳角還是直角，又可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為判斷SKIPIF1<0的某一三角函數(shù)值的符號(hào).由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0兩邊平方得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0故SKIPIF1<0為鈍角.解法2：由SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為鈍角.例2.（2022·廣東惠州·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】熟練掌握商，平方的關(guān)系式.熟練掌握正弦、余弦和差與之積的關(guān)系式【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東茂名·一模）已知角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與SKIPIF1<0軸非負(fù)半軸重合，終邊與直線SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)榻荢KIPIF1<0的終邊與直線SKIPIF1<0平行，即角SKIPIF1<0的終邊在直線SKIPIF1<0上所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0故選：D2.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.3.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0同號(hào)，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．4.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C考點(diǎn)四：誘導(dǎo)公式【典例例題】例1．（2022·廣東佛山·高三期末）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A例2．（2022·廣東深圳·高三期末）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與SKIPIF1<0整數(shù)倍角的和差問(wèn)題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過(guò)SKIPIF1<0等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）SKIPIF1<0等可利用誘導(dǎo)公式把SKIPIF1<0的三角函數(shù)化【變式訓(xùn)練】1．（2021·廣東佛山·一模）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D2.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，故選：D．3．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.4.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-3 D．3【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，分子分母同除以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故選：C5.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0_____．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0則，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<06.已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D.【鞏固練習(xí)】一、單選題1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體是上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，SKIPIF1<0垂直于底面，SKIPIF1<0，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0長(zhǎng)度是弧SKIPIF1<0長(zhǎng)度的3倍，SKIPIF1<0，則該曲池的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長(zhǎng)度為弧BC長(zhǎng)度的3倍可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故該曲池的體積SKIPIF1<0.故選：D.2．二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，是中國(guó)農(nóng)歷中表示李節(jié)變遷的24個(gè)特定節(jié)令．如圖，每個(gè)節(jié)氣對(duì)應(yīng)地球在黃道上運(yùn)動(dòng)SKIPIF1<0所到達(dá)的一個(gè)位置．根據(jù)描述，從立冬到立春對(duì)應(yīng)地球在黃道上運(yùn)動(dòng)所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】根據(jù)題意，立春是立冬后的第六個(gè)節(jié)氣，故從立冬到立春相應(yīng)于地球在黃道上逆時(shí)針運(yùn)行了SKIPIF1<0，所以從立冬到立春對(duì)應(yīng)地球在黃道上運(yùn)動(dòng)所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B3．已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角等于SKIPIF1<0的扇形，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以圓錐的體積為SKIPIF1<0，故選：C4．已知角SKIPIF1<0的大小如圖所示，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由圖可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故選：A.5．SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C6．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0故選：C7．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．-2 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0（舍去），故選：C8．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，0.618就是黃金分割比SKIPIF1<0的近似值，黃金分割比還可以表示成SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．4 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)題意，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形（如圖）的面積為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0，圓面中剩余部分的面積為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值為SKIPIF1<0（黃金分割比）時(shí)，折扇看上去較為美觀，那么（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】設(shè)扇形的半徑為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，故D正確；由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故C正確；由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確.故選：BCD10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．SKIPIF1<0成立的條件是角SKIPIF1<0是銳角B．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】CD【詳解】由誘導(dǎo)公式二，知SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以A錯(cuò)誤．當(dāng)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，所以B錯(cuò)誤．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，所以C正確．將等式SKIPIF1<0兩邊平方，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以D正確．故選CD三、填空題11．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則tanθ=____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0角θ的終邊過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0在第四象限，SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.12．已知SKIPIF1<0為第三象限角，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為第三象限角，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題13．某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（