九年級數(shù)學全冊知識講解及鞏固練習：解直角三角形及其應用-知識講解

PAGE解直角三角形及其應用—知識講解責編：常春芳【學習目標】1．了解解直角三角形的含義，會綜合運用平面幾何中有關直角三角形的知識和銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形；2．會運用有關解直角三角形的知識解決實際生活中存在的解直角三角形問題．

【要點梳理】要點一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

要點詮釋：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關系指的是等式，沒有包括其他關系(如不等關系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

要點二、解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，要點詮釋：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.

要點三、解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

要點詮釋：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【典型例題】類型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，根據(jù)下列條件，解這個直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4；(2)a＝1，．【答案與解析】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由知，．由知，．(2)由得∠B＝60°，∴∠A＝90°-60°＝30°．∵，∴．【總結升華】解直角三角形的兩種類型是：(1)已知兩邊；(2)已知一銳角和一邊．解題關鍵是正確選擇邊角關系．常用口訣：有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦)，無弦(斜邊)用切(正切)．(1)首先用兩銳角互余求銳角∠A，再利用∠B的正切、余弦求b、c的值；(2)首先用正切求出∠B的值，再求∠A的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值．舉一反三：【高清課程名稱：解直角三角形及其應用高清ID號：395952關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例1（1）-（3）】【變式】（1）已知∠C=90°，a=2，b=2，求∠A、∠B和c；（2）已知sinA=,c=6，求a和b；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=2．（2016?包頭）如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延長線與AD的延長線交于點E．（1）若∠A=60°，求BC的長；（2）若sinA=，求AD的長．（注意：本題中的計算過程和結果均保留根號）【思路點撥】（1）要求BC的長，只要求出BE和CE的長即可，由題意可以得到BE和CE的長，本題得以解決；（2）要求AD的長，只要求出AE和DE的長即可，根據(jù)題意可以得到AE、DE的長，本題得以解決．【答案與解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴設BE=4x，則AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的長是．【總結升華】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)進行解答．類型二、解直角三角形在解決幾何圖形計算問題中的應用3．如圖所示，BC是半圓⊙O的直徑，D是的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E，(1)求證：△ABE∽△DBC；(2)已知BC＝，CD＝，求sin∠AEB的值；(3)在(2)的條件下，求弦AB的長．【答案與解析】(1)∵，∴∠1＝∠2，又BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝，CD＝，∴BD＝，∴sin∠AEB＝sin∠DCB＝．(3)在Rt△BDC中，BD＝，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD．∴，∴．又∵，∴CD2＝(BD－BE)·BD，即，∴．在Rt△ABE中，AB＝BEsin∠AEB＝．【總結升華】本題綜合了三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理、圓等方面知識，尤其涉及三角函數(shù)問題，都是通過找出或構造直角三角形來解決問題．(1)根據(jù)圓周角定理易證△ABE∽△DBC．(2)利用(1)的結論，將∠AEB轉化為Rt△BCD中的．(3)在Rt△ABE中求AB．舉一反三：【高清課程名稱：解直角三角形及其應用高清ID號：395952關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例2】【變式】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一點，若tan∠DBA=，則AD的長為多少?【答案與解析】解：作DE⊥AB于E，如圖，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB為等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，設AE=x，則DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．類型三、解直角三角形在解決實際生活、生產問題中的應用4．某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為（i＝1:是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比)，CD的長為10m，天橋另一斜面AB的坡角∠ABC＝45°．(1)寫出過街天橋斜面AB的坡度；(2)求DE的長；(3)若決定對該過街天橋進行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30°，方便過路群眾，改建后斜面為AF，試計算此改建需占路面的寬度FB的長(結果精確到.0.01m)．【答案與解析】(1)作AG⊥BC于G，DE⊥BC于E，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，AG＝BG．∴AB的坡度．(2)在Rt△DEC中，∵，∴∠C＝30°．又∵CD＝10m．∴．(3)由(1)知AG＝BG＝5m，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，，即，解得．答：改建后需占路面的寬度FB的長約為3.66m．【總結升華】（1）解梯形問題常作出它的兩條高，構造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的鉛直高度與水平寬度的比，它等于坡角的正切值．5．騰飛中學在教學樓前新建了一座“騰飛”雕塑．為了測量雕塑的高度，小明在二樓找到一點C，利用三角板測得雕塑頂端A點的仰角為30°，底部B點的俯角為45°，小華在五樓找到一點D，利用三角板測得A點的俯角為60°(如圖所示)．若已知CD為10米，請求出雕塑AB的高度．(結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)＝1.73)．【答案與解析】過點C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－3