高一數(shù)學(xué)必修第一冊2019(A版)-《冪函數(shù)》教材分析

3.3冪函數(shù)一、本節(jié)知識結(jié)構(gòu)框圖二、重點、難點重點：五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).難點：畫和的圖象，通過5個冪函數(shù)的圖象概括出它們的共性.三、教科書編寫意圖及教學(xué)建議教科書將冪函數(shù)的內(nèi)容安排在函數(shù)的一般概念和性質(zhì)之后，是高中階段研究的第一類具體函數(shù).教學(xué)中應(yīng)注意通過對冪函數(shù)的討論，引導(dǎo)學(xué)生加強對前面所學(xué)函數(shù)知識的理解和應(yīng)用，體會研究具體函數(shù)的基本內(nèi)容、過程和方法.根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》的要求，教科書從實際問題中得到5個常用的冪函數(shù)，通過歸納它們的共性，給出冪函數(shù)概念.教學(xué)時，只需對這5個函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行認(rèn)識，不必拓展到對一般冪函數(shù)的討論.教學(xué)重點在于利用一般函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)研究這5個冪函數(shù)，體會研究一類函數(shù)的“基本套路”.因此，本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以看成是一般函數(shù)概念與性質(zhì)的下位學(xué)習(xí).1.冪函數(shù)的定義（1）教科書首先給出5個實例，目的是引出5個常用的冪函數(shù)，同時也體現(xiàn)了函數(shù)是刻畫實際問題的重要模型.從第四個實際問題中獲得的函數(shù)為，由于教科書將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的內(nèi)容安排在第四章“指數(shù)函數(shù)”中，因此這里用邊框的形式直接指出也可以表示為.因為這里不涉及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算，所以教學(xué)中不必做過多解釋.（2）教科書在給出5個實例后安排了觀察欄目.實際上，其中有3個函數(shù)是學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過的，它們分別是正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，這里要求學(xué)生從另一個角度看它們.因此，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從指數(shù)冪的形式入手，觀察5個函數(shù)解析式中的底數(shù)、指數(shù)的共性，得出它們“都具有冪的形式，而且都是以冪的底數(shù)為自變量，冪的指數(shù)都是常數(shù)”，由此概括解析式的共性，獲得冪函數(shù)的定義.（3）在獲得冪函數(shù)的定義后，教科書設(shè)置了“思考”，引導(dǎo)學(xué)生回顧以往學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，提出研究冪函數(shù)的基本內(nèi)容和思路.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)習(xí)函數(shù)的過程，結(jié)合前面研究一般函數(shù)的內(nèi)容，明確研究一類具體函數(shù)的基本過程：①根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的定義域；②畫出函數(shù)的圖象；③利用圖象和解析式，討論函數(shù)的值域、單調(diào)性、奇偶性等.2.5個冪函數(shù)的圖象教科書直接在一個坐標(biāo)系中給出了5個冪函數(shù)的圖象.5個函數(shù)中，，，都是學(xué)生熟悉的，很容易畫出圖象；和的圖象，在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)的解析式進行描點作圖得到函數(shù)圖象，要提醒學(xué)生取點時應(yīng)注意代表性.最后，可以利用信息技術(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出5個函數(shù)的圖象，便于學(xué)生觀察它們的共性和個性，為得出性質(zhì)奠定基礎(chǔ).3.冪函數(shù)的性質(zhì)教科書在函數(shù)圖象后給出了一個探究欄目，引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)的圖象和解析式探索函數(shù)的性質(zhì).在明確了函數(shù)的研究內(nèi)容，畫出了函數(shù)圖象后，應(yīng)放手讓學(xué)生展開自主探究。學(xué)生通過觀察圖象，應(yīng)當(dāng)比較容易地填寫表3.3-1.進一步，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從“共性”與“個性”兩個角度繼續(xù)觀察，容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象都過一個公共點，并且與其他函數(shù)不同，它具有無限靠近軸和軸的趨勢.在引導(dǎo)學(xué)生探究的過程中，應(yīng)注意提醒學(xué)生從函數(shù)圖象和解析式兩個角度認(rèn)識函數(shù)的性質(zhì)，從解析式中可以獲得定義域、奇偶性等性質(zhì)，這些性質(zhì)也可以反過來幫助作圖，使研究解析式和作函數(shù)圖象相輔相成.4.例題、練習(xí)與習(xí)題的處理（1）本節(jié)例題要求利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明的單調(diào)性.由于之前冪函數(shù)的基本性質(zhì)是由圖象觀察得來，這里對的單調(diào)性給予嚴(yán)格證明，一方面彌補了由圖象歸納性質(zhì)的不嚴(yán)謹(jǐn)，另一方面也是對剛剛學(xué)習(xí)的一般函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用.在用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程中，難點一般在代數(shù)變形上.這里采用分子有理化的方法，這也是代數(shù)變形中常用的方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).（2）教學(xué)中還可讓學(xué)生選取其他幾個性質(zhì)進行證明，以訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)推理技能.（3）練習(xí)中的3個題目，第1題體現(xiàn)了冪函數(shù)定義的應(yīng)用；第2題體現(xiàn)了冪函數(shù)單調(diào)性在比較大小中的應(yīng)用，教學(xué)中應(yīng)注意不要用實數(shù)的性質(zhì)直接去比較大小，應(yīng)選取合適的冪函數(shù)模型，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較