海天2012年考研《數(shù)學(xué)》真題

第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計(jì)算機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三重積分第九章一、三重積分的概念

類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限〞解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:是空間有界閉區(qū)域?qū)^(qū)域其中表示第個小閉區(qū)域，也表示它的體積，在每個上任取一點(diǎn)作乘積并作和如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時，和式的極限總存在，那么稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域上的三重積分，記作即上的有界函數(shù),任意分成n個小閉區(qū)域:積分區(qū)域被積函數(shù)積分表達(dá)式體積元素積分和其中叫做積分變量。注意：定義中的極限是否存在且等于I與區(qū)域的分法和點(diǎn)的取法無關(guān)。在直角坐標(biāo)系下性質(zhì):三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.例如中值定理.在有界閉域

上連續(xù),V為的體積,

那么存在使得二、三重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法1.投影法(“先一后二〞,然后化為三次積分)方法2.截面法(“先二后一〞)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法1.投影法(“先一后二〞)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束假設(shè)平行于z軸的直線穿過閉區(qū)域

時與的邊界曲面S只有兩個交點(diǎn)。把閉區(qū)域

投影到得投影區(qū)域以區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，此柱面閉與區(qū)域的交線把邊界曲面S分成上下兩片，其方程分別為：其中和都是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)。此時閉區(qū)域可以表示為：那么有類似地，如果平行于x軸(或y軸)的直線穿過閉區(qū)域

時與的邊界曲面S只有兩個交點(diǎn)，把閉區(qū)域

投影到面上。然后化三重積分為三次積分。假設(shè)方法2.截面法(“先二后一〞)記作機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束那么有：其中

為三個坐標(biāo)例1.

計(jì)算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:面及平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

計(jì)算三重積分解:

用“先二后一〞機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分

，就稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束如下圖,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域外表用柱面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時變量互相別離.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中

為由例3.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

計(jì)算三重積分解:在柱面坐標(biāo)系下所圍成.與平面其中

由拋物面原式=機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分

為點(diǎn)M的球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束從正z軸看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到的角為就稱如下圖,在球面坐標(biāo)系中體積元素為因此有其中適用范圍:1)積分域外表用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相別離.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.計(jì)算三重積分解:在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.求曲面所圍立體體積.解:由曲面方程可知,立體位于xoy面上部,利用對稱性,所求立體體積為yoz面對稱,并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于xoz

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系*說明:三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:對應(yīng)雅可比行列式為變量可別離.圍成;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.

將用三次積分表示,其中

由所提示:思考與練習(xí)六個平面圍成,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)計(jì)算提示:利用對稱性原式=奇函數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

設(shè)由錐面和球面所圍成,計(jì)算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1061(2),(3),(4);4;5;7;8;9(2);10(2);11(1),(4)第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題

1.計(jì)算所圍成.其中由分析：假設(shè)用“先二后一〞,那么有計(jì)算較繁!采用“三次積分〞較好.機(jī)動目錄上頁下頁返回