時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析

時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析The

Frequency-domainAnalysis

of

the

DiscreteTime

Signal

&

System第一頁(yè)，共四十五頁(yè)。內(nèi)容提要時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)序列的Z變換討論Z變換的定義和收斂域逆Z變換Z變換的定理和性質(zhì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及特點(diǎn)第二頁(yè)，共四十五頁(yè)。·

信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法：時(shí)域分析和頻域分析模擬信號(hào)：連續(xù)時(shí)間函數(shù)表示信號(hào)，微分方程表示系統(tǒng)，F(xiàn)T或LT表示其頻域時(shí)域離散信號(hào)：序列表示信號(hào)，差分方程描述系統(tǒng)，F(xiàn)T或Z變換表示其頻域第三頁(yè)，共四十五頁(yè)。2.2.1時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換而f(jΩ)的傅里葉反變換定義為：連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)的傅里葉變換定義為：第四頁(yè)，共四十五頁(yè)。時(shí)域離散信號(hào)x(n)的傅里葉變換定義為X(ejω)的傅里葉反變換定義為在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為數(shù)字域頻率。

X(ejω)一般為復(fù)數(shù)，可用它的實(shí)部和虛部表示為或用幅度和相位表示為(2.2.1)第五頁(yè)，共四十五頁(yè)。例2.9求下列信號(hào)的傅里葉變換解：時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：X(ejω)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí)，X(ejω)的幅值|

X(ejω)|在0≤ω≤2π區(qū)間內(nèi)偶對(duì)稱函數(shù)，相位arg[X(ejω)]是奇對(duì)稱函數(shù)。第六頁(yè)，共四十五頁(yè)。Note：并不是任何序列x(n)的傅里葉變換都是存在的。條件：只有當(dāng)序列x(n)絕對(duì)可和，即時(shí)，式(2.

2.1)中的級(jí)數(shù)才是絕對(duì)收斂的，或x(n)的傅里葉變換存在。第七頁(yè)，共四十五頁(yè)。2.2.2

時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)(1)FT的周期性n,

M為整數(shù)(2.2.6)因此序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。X(ejω)是傅里葉級(jí)數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。(2)線性設(shè)則第八頁(yè)，共四十五頁(yè)。(3)時(shí)移和頻移特性設(shè)則(2.2.8)(2.2.9)(4)序列的折疊設(shè)則第九頁(yè)，共四十五頁(yè)。(5)序列乘以n設(shè)則(6)序列的復(fù)共軛設(shè)則第十頁(yè)，共四十五頁(yè)。(7)序列的傅里葉變換的對(duì)稱性首先定義兩個(gè)對(duì)稱序列：共軛對(duì)稱序列xe(n)，定義為e

o

o

oxe(n)=x

*(-n)；共軛反對(duì)稱序列x

(n)定義為x

(n)=-x

*(-n)，此處上標(biāo)*表示復(fù)共軛。其中共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)?共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)。序列的傅里葉變換X(ejω)可以被分解成共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱兩部分之和，即其中第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)?！?/p>

FT的對(duì)稱性(a)將序列x(n)分成實(shí)部xr(n)與虛部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進(jìn)行FT，得到X(e

jω)=Xe(e

jω)+Xo(e

jω)式中結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，?shí)部的FT具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的FT具有共軛反對(duì)稱性。第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)。(b)將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分

xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)其中：第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)。將上面兩式分別進(jìn)行FT，得到FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)所以：X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

(2.2.26)結(jié)論：序列的共軛對(duì)稱部分xe(n)對(duì)應(yīng)著FT的實(shí)部XR(ejω)，而序列的共軛反對(duì)稱部分xo(n)對(duì)應(yīng)著FT的虛部（包括j）。第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)。·

分析實(shí)序列h(n)的對(duì)稱性FT只有共軛對(duì)稱部分He(ejω)，共軛反對(duì)稱部分為零。H(ejω)=He(ejω)H(ejω)=H*(e-jω)實(shí)序列的FT的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)?！?/p>

實(shí)序列h(n)分解為共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分h(n)=he(n)+ho(n)則：he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列(2.2.27)第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)。(2.2.28)實(shí)因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為(2.2.29)h(n)=

he(n)u+(n)h(n)=

ho(n)u+(n)+h(0)δ(n)(2.2.30)(2.2.31)第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)。(8)序列的卷積設(shè)則(9)序列相乘設(shè)則第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)。(10)Parseval定理帕斯維爾定理告訴我們，信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)。2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)2.3.1

定義設(shè) 是以N為周期的周期序列，

由于是周期性的，

可以展成傅里葉級(jí)數(shù)()其基波頻率為：用復(fù)指數(shù)表示：第k次諧波為：第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)。由于是周期序列，且k次諧波也是周期為N的序列：因此，對(duì)于離散傅里葉級(jí)數(shù)，只取下標(biāo)從0到N-1的N個(gè)諧波分量就足以表示原來的信號(hào)。這樣可把離散傅里葉級(jí)數(shù)表示為式中，乘以系數(shù)1/N是為了下面計(jì)算的方便；為k次諧波的系數(shù)。第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)。將上式兩邊乘以由復(fù)指數(shù)序列的正交性：所以，第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)。得到周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式：(2.3.6)(2.3.7)如果將n當(dāng)作時(shí)間變量，k當(dāng)作頻率變量，則第一式表示的是時(shí)域到頻域的變換，稱為DFS的正變換。第二式表示的是頻域到時(shí)域的變換，稱為DFS的反變換。由于故 是周期為N的離散周期信號(hào)。周期序列的信息可以用它在一個(gè)周期中的N個(gè)值來代表。第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)。2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式(2.3.8)模擬系統(tǒng)中，令時(shí)域離散系統(tǒng)中，令假定其FT的形式與(2.3.8)式一樣，但由于n取整數(shù)，下式成立取整數(shù)第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)。說明：復(fù)指數(shù)序列的FT是在ω0±2πr處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2π，如圖2.3.2所示。因此e

jω0n的FT為(2.3.9)若上述假定成立，則按照式(2.2.4)

的逆變換必須存在，

且唯一等于 ，

下面進(jìn)行驗(yàn)證。第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)。圖2.3.2的FT第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)。觀察圖2.3.2，

在±π區(qū)間，

只包括一個(gè)單位沖激函數(shù)，

等式右邊為 ，

因此得到下式：結(jié)論：證明了式(2.3.9)是ejω0n的FT.對(duì)一般周期序列，按式(2.3.4)展開DFS，第k次諧波為其FT為第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)。式中k=0,

1,

2…N-1,如果讓k在±∞之間變化，上式可簡(jiǎn)化成(2.3.10)因此的FT如下式第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)。表2.3.2基本序列的傅里葉變換第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)。例

2.3.3

令，2π/ω0為有理數(shù)，求其FT。解：將用歐拉公式展開(2.3.11)按照式(2.3.9)，其FT推導(dǎo)如下：第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)。圖2.3.4

cosω0n的FT第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)。2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系·

模擬信號(hào)xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式(2.4.1)(2.4.2)其中，t與Ω的域均在±∞之間。第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)。·

連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)·

采樣信號(hào) 和連續(xù)信號(hào)xa(t)的傅里葉變換之間的關(guān)系第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)?！?/p>

時(shí)域離散信號(hào)x(n)，或稱序列x(n)：x(n)=xa(nT)n取整數(shù)，否則無定義?！?/p>

x(n)的一對(duì)傅里葉變換用式(2.2.1)和式(2.2.4)表示：第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)。·

討論·X(e

jω)與Xa(jΩ)的關(guān)系·

數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω(f)之間的關(guān)系將t=nT代入式模擬信號(hào)的傅里葉變換式中，得到(2.4.4)并將其表示成無限多個(gè)積分和，每個(gè)積分區(qū)間為2π/T第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)。，代入上式后，再將Ω′用Ω令代替，得到式中，因?yàn)閞和n均取整數(shù)，e-j2πrn=1，交換求和號(hào)和積分號(hào)得到(2.4.5)第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)?！?/p>

若序列是由一模擬信號(hào)取樣產(chǎn)生，則序列的數(shù)字頻率ω與模擬信號(hào)的頻率Ω(f)成線性性關(guān)系，即：ω=ΩT式中T是采樣周期T=1/fs，將其代入式(2.4.5)得到(2.4.6)現(xiàn)在對(duì)比(2.2.4)式和(2.4.6)式，得到(2.4.7)第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)?！?/p>

結(jié)論：序列的傅里葉變換和模擬信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系，與采樣信號(hào)的FT和模擬信號(hào)的FT之間的關(guān)系一樣，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓，且在頻率軸上進(jìn)行歸一化（對(duì)歸一化）。頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系用式(1.2.10)表示。第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)。圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系第四十頁(yè)，共四十五頁(yè)?！?/p>

例2.4.1設(shè)xa(t)=cos(2πf0t)，

f0=50

Hz，以采樣頻率fs=200

Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣，

得到采樣信號(hào) 和時(shí)域離散信號(hào)x(n)，

求的傅里葉變換以及x(n)的FT。xa(t)和解：(2.4.8)第四十一頁(yè)，共四十五頁(yè)。，按照以fs=200

Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào)式(1.5.2)

， 與xa(t)的關(guān)系式為的傅里葉變換用式(1.5.5)確定，即以Ωs=2πfs為周期，將Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：第四十二頁(yè)，共四十五頁(yè)。(2.4.9)將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(