計算機圖形學之Bezier 曲線與曲面

第七章Bezier曲線與曲面基礎知識介紹Bezier曲線的定義Bezier曲線的性質Bezier曲面7.1基礎知識介紹1插值、逼近、擬合給定一組有序的數(shù)據(jù)點Pi，i=0,1,…,n，構造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值（Interpolatory），所構造的曲線稱為插值曲線。逼近(Approximation)：提供的是存在誤差的實驗數(shù)據(jù)

–最小二乘法、回歸分析提供的是構造曲線的輪廓線用的控制點

–Bezier曲線、B樣條曲線等擬合(fitting)：指的是曲線、曲面的設計過程中，用插值或逼近方法使生成的曲線、曲面達到某些設計要求。2

參數(shù)曲線的代數(shù)形式和幾何形式我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。1）代數(shù)形式一條三次參數(shù)曲線的代數(shù)形式是方程組中12個系數(shù)唯一地確定了一條3次參數(shù)曲線的位置與形狀。上述代數(shù)式寫成矢量式是：其中a0,a1,a2,a3是代數(shù)系數(shù)矢量，P(t)是三次參數(shù)曲線上任一點的位置矢量。2）幾何形式描述參數(shù)曲線的條件一般有端點位矢、端點切矢等。對三次參數(shù)曲線，我們應用兩個端點以及對應的切矢量可得到下述四個方程：求解上述四個方程得到：參數(shù)曲線的幾何形式，P是幾何系數(shù)

把a0,a1,a2和a3代入代數(shù)矢量表達式，并令則有其中

我們選擇曲線的二個端點及其切矢量構造參數(shù)曲線的幾何形式，也可根據(jù)已知條件選擇四個不同的點，或者四個點的切矢等。

1962年，法國雷諾汽車公司的P.E.Bezier構造了一種以逼近為基礎的參數(shù)曲線和曲面的設計方法，并用這種方法完成了一種稱為UNISURF的曲線和曲面設計系統(tǒng)。1972年，該系統(tǒng)被投入應用。7.1

Bezier曲線的定義Bezier曲線的形狀是通過一組多邊折線（特征多邊形）的各頂點唯一地定義出來的。在這組頂點中：(1)只有第一個頂點和最后一個頂點在曲線上；

(2)第一條邊和最后一條邊則表示了曲線在兩端點處的切線方向；(3)曲線的形狀趨于多邊形的形狀。例：1、2和3次Bézier曲線1次Bézier曲線2次Bézier曲線332t

P++

3(1

-

t)t2

P2033(1

t)

tPP

(t)

(1

t)

P+

-=

-3次Bézier曲線11．定義給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier曲線可定義為：其中，Pi構成該Bezier曲線的特征多邊形，P0,P1…..Pn稱為P(t)的控制頂點。Bi,n(t)是n次Bernstein基函數(shù)(basis

function)

：00=1,

0!=1Bézier曲線示例

Bézier曲線P(t)與其控制多邊形的關系可以這樣認為：控制多邊形P0P1…Pn是P(t)的大致形狀的勾畫；P(t)是對P0P1…Pn的逼近；一次Bézier曲線當n=1時：矩陣表示是：Bézier曲線的矩陣表示一次Bezier曲線的兩條基函數(shù)二次Bézier曲線當n=2時，Bézier曲線如下所示：矩陣形式是：此式說明二次Bézier曲線對應一條起點在P0，終點在P2處的拋物線，即有：二次Bézier曲線圖示二次Bezier曲線的三條基函數(shù)三次Bézier曲線當n=3時，Bézier曲線如下所示：其中，令：則三次Bernstein基函數(shù)是：三次Bézier曲線的矩陣表示如下所示：圖示1圖示2三次Bezier曲線的四條基函數(shù)7.2

Bezier曲線的性質Betnstein基函數(shù)的性質正性端點性質（3）權性由二項式定理可知：（4）對稱性因為（5）最大值。在處達到最大值。2．Bezier曲線的性質（1）端點性質由Bernstein基函數(shù)的端點性質可以推得，當t=0時，P(0)=P0；當t=1時，P(1)=Pn。由此可見，

Bezier曲線的起點、終點與相應的特征多邊形的起點、終點重合。（2）凸包性由于 ，且 ，這一結果說明當t在[0，1]區(qū)間變化時，對某一個t值，P(t)是特征多邊形各頂點的加權平均，權因子依次是 。在幾何圖形上，意味著Bezier曲線P(t)在中各點是控制點Pi的凸線性組合，即曲線落在Pi構成的凸包之中，如圖所示。凸包（3）幾何不變性。這是指某些幾何特性不隨坐標變換而變化的特性。Bezier曲線位置與形狀與其特征多邊形頂點 的位置有關，它不依賴坐標系的選擇。XYX’Y’(4)對稱性給定控制多邊形P0,p1,…,pn，我們可以自P0出發(fā)構造Bezier曲線，也可以自Pn出發(fā)反向構造Bezier曲線，這兩條曲線的形狀完全相同，但參數(shù)化方向相反，亦即Bezier曲線具有對稱性。曲線的對稱性表明，由同一控制多邊形定義的Bezier曲線唯一。（5）交互能力改變控制點的位置來改變曲線的形狀。保凸性平面上的凸控制多邊形產(chǎn)生凸曲線。變差縮減性Bezier曲線比控制多邊形波動得少，更關順。光順(Fairing)指曲線的拐點不能太多。對平面曲線而言，相對光順的條件是：–a.具有二階幾何連續(xù)性(G2)；–b.不存在多余拐點和奇異點；–c.曲率變化較小。7.3

Bezier曲面設 為一個4×4的空間點列其可以定義一張雙三次Bezier曲面片。該空間點列用矩陣表示為依次用線段連接點列中相鄰兩點所形成的空間網(wǎng)格，稱之為控制網(wǎng)格(control

net)。雙三次Bezier曲面的形成過程為：(1)控制頂點的四個列陣生成四條三次Bezier曲線表示為(2)給定任一u,設u=u1,則可在上述四條曲線上分別得到點 它們構成一個新的多邊形，該多邊形在w向定義一條新的三次

Bezier曲線P(u1,w):