第26講對數(shù)及對數(shù)式運(yùn)算?？碱}型總結(jié)

第26講對數(shù)及對數(shù)式運(yùn)算?？碱}型總結(jié)【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：對數(shù)式的運(yùn)算①對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．②常見對數(shù)的寫法：1.一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；2.常用對數(shù)：以為底，記為；3.自然對數(shù)：以為底，記為；③對數(shù)的性質(zhì)：1.特殊對數(shù)：；；其中且2.對數(shù)恒等式：(其中且，)3.對數(shù)換底公式： 如：．倒數(shù)原理： 如：．約分法則：④對數(shù)的運(yùn)算法則：1.；2.；3.，；4.和．【典型例題】題型一：對數(shù)的運(yùn)算【例1】若，，則＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用指數(shù)運(yùn)算求出，再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由，得，而，解得，所以.故選：B【例2】計(jì)算（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B【例3】若，則下列各式的值等于1的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將指數(shù)化為對數(shù)，然后利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，所?故選：B.【例4】已知函數(shù)，則．【答案】1【分析】代入計(jì)算即可．【詳解】由函數(shù)，有.故答案為：1【例5】已知，則．（用含a，b的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)換底公式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：．故答案為：．【例6】已知函數(shù)則．【答案】【分析】根據(jù)的值代入相應(yīng)的解析式即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：.【例7】.【答案】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】原式.故答案為：.【例8】【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】原式.故答案為：.【題型專練】1.（

）A．6 B．8 C．9 D．7【答案】A【分析】運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及對數(shù)的運(yùn)算公式進(jìn)行化簡求值.【詳解】解：.故選：A.2.已知，則的值為（

）A． B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】確定，得到，根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算得到答案.【詳解】，則，，故.故選：D.3.計(jì)算：【答案】/【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)化簡即可得解.【詳解】,故答案為：4.若，則.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的定義及運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)與對數(shù)間的關(guān)系（當(dāng)，時，）運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，所以.故答案為：.5.已知，且，則的值為．【答案】【分析】用含的式子表達(dá)，代入已知方程，即可求出的值.【詳解】由題意，，∴，．∵，∴，∴．∴，∴，∵，∴．故答案為：.6.設(shè)為正整數(shù)，已知點(diǎn)列在函數(shù)的圖象上，若，，則實(shí)數(shù)k的值為.【答案】3【分析】利用點(diǎn)在函數(shù)上得到與的關(guān)系，之后利用題干條件構(gòu)建關(guān)于的等量關(guān)系，計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)列在函數(shù)的圖象上，所以，則，則，所以，即即，所以，解得.故答案為：37.已知為正實(shí)數(shù)，且，則的值為.【答案】【分析】利用對數(shù)運(yùn)算法則得到，變形得到，換元后求出答案.【詳解】，故，即，方程同除以得，即，設(shè)，則，故，解得，故.故答案為：8.已知，．(1)求的值；(2)均為正實(shí)數(shù)，若函數(shù)（且），且，求的值．【答案】(1)1；(2)2【分析】（1）可以都化成同底指數(shù)結(jié)構(gòu)運(yùn)算或者先把指數(shù)化成對數(shù)結(jié)構(gòu)，再求和；（2）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】（1）法一：，所以，所以；法二：因?yàn)?，所以，所以；?），所以.9.設(shè)．(1)求和的值；(2)若把使為整數(shù)的正整數(shù)稱為期盼數(shù)，試求的期盼數(shù)．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)，利用換底公式求解；（2）利用對數(shù)的換底公式得到，再由求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．，，；?）由對數(shù)的換底公式，得，由，得．題型二:對數(shù)與不等式結(jié)合【例1】正數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】令，則，，，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：．【例2】已知，且則下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊值法，可排除A；利用基本不等式，可判斷BC正確；由作差法，可判斷D正確.【詳解】對于A，令，則，故A不正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；對于D，由，所以，，則，故D正確.故選：A.【例3】設(shè)實(shí)數(shù)，，求的最小值.【答案】4【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則及定義可得，進(jìn)而化簡，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由題意，，則，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為4.【題型專練】1.若滿足，則的最小值為（

）A． B． C．12 D．16【答案】D【分析】先利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，再利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)闈M足，所以，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故的最小值為16，故選：D.2.已知，則（

）A． B．C． D．當(dāng)時，的最小值為4【答案】ACD【分析】由對數(shù)化簡式和對數(shù)基本運(yùn)算逐一驗(yàn)證ABC選項(xiàng)即可；由換底公式和基本不等式可驗(yàn)證D項(xiàng)【詳解】由題可知，則，A正確；由，得，所以，B錯誤；，C正確；當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為4，D正確．故選：ACD3.已知實(shí)數(shù)，，滿足，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的轉(zhuǎn)化得到，，，對于A選項(xiàng)，根據(jù)即可判斷；根據(jù)對數(shù)的換底公式得到，即可判斷；對于C選項(xiàng)，利用作差法和換底公式結(jié)合基本不等式即可判斷；對于D選項(xiàng)：根據(jù)基本不等式即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，，對于A選項(xiàng)：因?yàn)?，則，即，所以，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)：，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)：，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD.題型三:對數(shù)與周期性結(jié)合【例1】已知奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計(jì)算出，，結(jié)合函數(shù)奇偶性得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，故，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.故選：B【例2】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則的值是.【答案】【分析】由已知對稱性得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，關(guān)于直線對稱，由此可得周期函數(shù)，周期為，然后利用周期性和對稱性結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則求值．【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)，即其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，為偶函數(shù)，即其圖象關(guān)于軸對稱，因此的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，，所以，，由此解得，，所以時，，由對稱性得，所以，是周期函數(shù)，周期為，又，則.故答案為：【題型專練】1.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則的值是（

）A． B． C．2 D．12【答案】B【分析】由已知可得函數(shù)的對稱軸與周期性，進(jìn)而可得函數(shù)解析式與函數(shù)值.【詳解】由為奇函數(shù)，可知函數(shù)關(guān)于中心對稱，又為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的周期，且，，所以，解得，，所以當(dāng)時，，，故選：B.2.已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由條件可得當(dāng)時，是周期為的函數(shù)，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，令，則，即，則，即是周期為的函數(shù)，又因?yàn)?，且，所?故選：A題型四：對數(shù)式的應(yīng)用題【例1】一個容器裝有細(xì)沙，細(xì)沙從容器底部一個細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，后剩余的細(xì)沙量為，經(jīng)過后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，若容器中的沙子只有開始時的十六分之一，則需再經(jīng)過的時間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件可得，解出的值，得到，再令，求解得到的值，然后可求出答案．【詳解】依題意有，即，兩邊取對數(shù)得，當(dāng)容器中只有開始時的十六分之一，則有，兩邊取對數(shù)得，所以再經(jīng)過的時間為.故選：A.【例2】記地球與太陽的平均距離為R，地球公轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，則太陽的質(zhì)量（單位：）.由，，，計(jì)算得太陽的質(zhì)量約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由題意在中兩邊取對數(shù)并代入數(shù)據(jù)得，然后化為指數(shù)形式即可求解.【詳解】由題意在中兩邊取對數(shù)得，，因?yàn)?，，，所以，所以，綜上所述：計(jì)算得太陽的質(zhì)量約為.故選：B.【例3】碳14是碳元素的一種同位素，具有放射性．活體生物其體內(nèi)的碳14含量大致不變，當(dāng)生物死亡后，其組織內(nèi)的碳14開始衰變并逐漸消失．已知碳14的半衰期為年，即生物死亡年后，碳14所剩質(zhì)量，其中為活體組織中碳14的質(zhì)量．科學(xué)家一般利用碳14這一特性測定生物死亡年代，2023年科學(xué)家發(fā)現(xiàn)某生物遺體中碳14含量約為原始質(zhì)量的倍，依據(jù)計(jì)算結(jié)果可推斷該生物死亡的時間約為公元前（參考數(shù)據(jù)：）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】A【分析】根據(jù)已知代入數(shù)據(jù)，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算式化簡運(yùn)算.【詳解】由題意知，所以，所以，所以可推斷該生物死亡的時間約為公元前年,故選：A．【例4】（其中為常數(shù)）近似表示絕對星等M，目視星等m和觀測距離d之間的關(guān)系.若1號天體的絕對星等為0.54，目視星等為0.04，2號天體的絕對星等為，目視星等為，則觀測者與1號天體和2號天體的距離的比值約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件、指對數(shù)的運(yùn)算分別求出觀測者與1號天體和2號天體的距離即可.【詳解】設(shè)觀測者與1號天體和2號天體的距離分別為，因?yàn)?號天體的絕對星等為0.54，目視星等為0.04，所以，解得，因?yàn)?號天體的絕對星等為，目視星等為，所以，解得，所以，故選：B【例5】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體初始溫度為，空氣的溫度為，那么小時后物體的溫度可由公式求得，其中、兩個物體放在空氣中冷卻，已知兩物體的初始溫度相同，冷卻小時后，、兩個物體的溫度分別為、，假設(shè)、兩個物體的冷卻系數(shù)分別為、，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知可得出，變形可得，兩式相除變形后可得合適的選項(xiàng).【詳解】由題意可得，則，兩式相除可得，所以，，即.故選：A.【例6】荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的3倍，大約經(jīng)過（）天．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．19 B．35 C．45 D．55【答案】D【分析】設(shè)大約經(jīng)過天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的3倍，由題設(shè)有，應(yīng)用指對數(shù)關(guān)系求值.【詳解】設(shè)大約經(jīng)過天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的3倍，則天.故選：D【例7】被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個著名的公式：，其中為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為；為信道帶寬，單位為；技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用，當(dāng)時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為；當(dāng)時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，則為.【答案】【分析】將相應(yīng)數(shù)值代入,再利用對數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，所以，因?yàn)楫?dāng)時，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為，所以，所以，故答案為:.【題型專練】1.我們知道，任何一個正實(shí)數(shù)可以表示成，此時.當(dāng)時，是是（

）位數(shù).A．601 B．602 C．603 D．604【答案】C【分析】結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡求解即可.【詳解】由，所以是603位數(shù).故選：C.2.E（單位：焦耳）的常用對數(shù)與震級M之間滿足線性關(guān)系，若4級地震所釋放的能量為焦耳，6級地震所釋放的能量為焦耳，則這次平原縣發(fā)生的地震所釋放的能量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．焦耳 B．焦耳C．焦耳 D．焦耳【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可代入數(shù)據(jù)求解,進(jìn)而可求解.【詳解】由題意可設(shè)，則，解得，所以，所以，所以當(dāng)時，焦耳.故選:D.3．今年月日,日本不顧國際社會的強(qiáng)烈反對,將福島第一核電站核污染廢水排入大海,對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究,福島核污水中的放射性元素有種半衰期在年以上;有種半衰期在與時間（年）近似滿足關(guān)系式為大于的常數(shù)且.若時,;若時,.則據(jù)此估計(jì),這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時,大約需要（

）（參考數(shù)據(jù):）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得,解方程組求出的值,當(dāng)時,在等式兩邊取對數(shù)即可求解.【詳解】由題意得:,解得,所以,當(dāng)時,得,即,兩邊取對數(shù)得,所以,即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時,大約需要年.故選:B.4．已知一容器中有兩種菌，為菌的個數(shù)，為菌的個數(shù)，且在任何時刻兩種菌的個數(shù)均滿足．若分別用和來表示菌、菌個數(shù)的指標(biāo)，則當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結(jié)合對數(shù)運(yùn)算以及指數(shù)冪運(yùn)算即可求解.【詳解】由題可知，則，又，所以，．故選：D.5．聲強(qiáng)級（單位：）與聲強(qiáng)（單位：）之間的關(guān)系是：，其中指的是人能聽到的最低聲強(qiáng)，對應(yīng)的聲強(qiáng)級稱為聞閾．人能承受的最大聲強(qiáng)為，對應(yīng)的聲強(qiáng)級為，稱為痛閾.某歌唱家唱歌時，聲強(qiáng)級范圍為（單位：），下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．聞閾的聲強(qiáng)級為B．此歌唱家唱歌時的聲強(qiáng)范圍為（單位：）C．如果聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?倍，對應(yīng)聲強(qiáng)級也變?yōu)樵瓉淼?倍D．聲強(qiáng)級增加，則聲強(qiáng)變?yōu)樵瓉淼?0倍【答案】BD【分析】根據(jù)題中所給聲強(qiáng)級與聲強(qiáng)之間的關(guān)系式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算以及函數(shù)的性質(zhì)逐一分析四個選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】由題意，，則，所以，當(dāng)時，，故A錯誤；當(dāng)時，即，則，當(dāng)時，即，則，故歌唱家唱歌時的聲強(qiáng)范圍為（單位：），故B正確；將聲強(qiáng)為對應(yīng)的聲強(qiáng)級作商為，故C錯誤；