專題9.1 直線的方程（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁(yè)專題9.1直線的方程題型一傾斜角與斜率題型二直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍題型三求直線的方程題型四直線的定點(diǎn)問(wèn)題題型五直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題題型六直線平行或垂直題型七距離公式的應(yīng)用題型八對(duì)稱問(wèn)題題型一 傾斜角與斜率例1．（2023春·湖北荊州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且其傾斜角為135°，則m的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解即可.【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的斜率為，又直線的傾斜角為135°，∴，解得．故選：D例2．（2023春·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？计谥校┲本€的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意知,若a=0

,則傾斜角為,若,則,①當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，②當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”)，，故，綜上，，故選：C.練習(xí)1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若如圖中的直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出三條直線的傾斜角，結(jié)合直線斜率的定義和正切函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為，顯然，且，所以，又在上單調(diào)遞增，故，所以.故選：C練習(xí)2．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）對(duì)于下列命題：①若是直線l的傾斜角，則；②若直線傾斜角為，則它斜率；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】通過(guò)直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜角的關(guān)系判斷③和④的正誤.【詳解】對(duì)于①：若是直線的傾斜角，則；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；對(duì)于②：直線傾斜角為且，它的斜率；傾斜角為時(shí)沒(méi)有斜率，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因?yàn)閮A斜角為時(shí)沒(méi)有斜率，所以③正確；④錯(cuò)誤；其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為2.故選：B.練習(xí)3．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【分析】畫出直線的區(qū)域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.【詳解】如圖：

當(dāng)直線l的斜率，直線l的傾斜角的取值范圍為：.故答案為：.練習(xí)4．（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的斜率為，則該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為_(kāi)_______，________.【答案】/【分析】由已知結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系及兩角和與差的正切公式可求．【詳解】解：設(shè)等腰直角三角形斜邊上的高所在直線的傾斜角為，則，由題意得該等腰直角三角形兩腰所在直線的傾斜角分別為，，因?yàn)?，，所以該等腰直角三角形兩腰所在直線的斜率分別為為，．故答案為：，．練習(xí)5．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）（多選）若直線與軸交于點(diǎn)，其傾斜角為，直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得直線，則直線的傾斜角可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由傾斜角的定義，分類討論作出圖形，數(shù)形結(jié)合分析即可.【詳解】解析：當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為（如直線AC旋轉(zhuǎn)至直線AD）；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為（如直線AD旋轉(zhuǎn)至直線AB）.故選：BC.題型二 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、滿足，，則代數(shù)式的取值范圍為_(kāi)_____【答案】【分析】作圖，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】如圖，，，，則，.因?yàn)?，可表示點(diǎn)與線段上任意一點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知，，所以有.故答案為：.例4．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.【詳解】直線過(guò)點(diǎn).如圖，

由題意，直線與線段總有公共點(diǎn)，即直線以直線為起始位置，繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線即可，直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范圍是.故選：D.練習(xí)6．（2022秋·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，若直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，結(jié)合圖形得出的范圍．【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，且，由圖可知直線與線段沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足，解得，故選：B．練習(xí)7．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）如圖，已知兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與線段AB始終有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍．

【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形求出直線的斜率，直線的斜率，即得直線斜率的取值范圍．【詳解】根據(jù)圖形，∵直線的斜率是，直線的斜率是，∴過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)時(shí)，直線的斜率的取值范圍是．故答案為：．練習(xí)8．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知點(diǎn)，若直線與的延長(zhǎng)線（有方向）相交，則的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【分析】先求出的斜率，再利用數(shù)形結(jié)合思想，分情況討論出直線的幾種特殊情況，綜合即可得到答案.【詳解】如下圖所示，

由題知，直線過(guò)點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線化為，一定與相交，所以，當(dāng)時(shí)，，考慮直線的兩個(gè)極限位置.①經(jīng)過(guò)，即直線，則；②與直線平行，即直線，則，因?yàn)橹本€與的延長(zhǎng)線相交，所以，解得，所以.故答案為：.練習(xí)9．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知,，點(diǎn)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)的幾何意義即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以，，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以.故答案為：練習(xí)10．（2022秋·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，在x軸上的截距的取值范圍是，則直線l斜率的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圖形求出直線l的斜率取值范圍，即可作答.【詳解】令點(diǎn)，依題意，直線l與x軸的交點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)B，C），如圖，直線斜率，直線斜率，因此直線l的斜率或，所以直線l斜率的取值可能是或1.故選：BC題型三 求直線的方程例5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是；(4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)；(5)在x軸上的截距是，傾斜角是；(6)傾斜角為，與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離是3．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或【分析】（1）由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（2）由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（3）由截距式可得結(jié)果；（4）由兩點(diǎn)式可得結(jié)果；（5）由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（6）由斜截式可得結(jié)果.【詳解】（1）由點(diǎn)斜式得，即.（2）因?yàn)橹本€平行于軸，所以斜率等于，由點(diǎn)斜式得，即.（3）因?yàn)樵趚軸和y軸上的截距分別是；所以直線方程的截距式為：，即.（4）由兩點(diǎn)式得，即.（5）斜率，由點(diǎn)斜式得，即.（6）斜率為，因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到x軸的距離是3，所以直線在軸上的截距為，所以所求直線方程為或，即或.例6．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知直線l的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求直線l的一般式方程．【答案】或.【分析】根據(jù)給定條件，求出直線l的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求解作答.【詳解】直線l的傾斜角為，，當(dāng)為銳角時(shí)，，直線l的斜率，由直線點(diǎn)斜式方程得：，即，當(dāng)為鈍角時(shí)，，直線l的斜率，由直線點(diǎn)斜式方程得：，即，所以直線l的一般式方程為或.練習(xí)11．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為的直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】由直線的傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即.故選：A練習(xí)12．（2022秋·高三?？颊n時(shí)練習(xí)）直線和直線在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】化簡(jiǎn)直線方程分別為和，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】化簡(jiǎn)直線方程分別為和，顯然的斜率是的縱截距,的縱截距是的斜率，對(duì)于A中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然不成立；對(duì)于B中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然成立；對(duì)于C中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然不成立；對(duì)于D中，由的圖象，可得，即；由的圖象，可得，即，顯然不成立；故選：B.練習(xí)13．（2022秋·高三?？颊n時(shí)練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，M為AB的中點(diǎn)，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．【答案】D【分析】求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由直線的兩點(diǎn)式方程求解.【詳解】點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1),由直線的兩點(diǎn)式方程得,即.故選：D練習(xí)14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．

(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)，此時(shí)直線的方程為．(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，，則直線的方程為，依題意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此時(shí)、的值，從而求出直線方程；（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，分別求出，的坐標(biāo)，求出的方程，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出直線方程即可．【詳解】（1）依題意設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，即，所以，此時(shí)直線的方程為．（2）由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線的方程為，即．（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，令，解得，令，解得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為．練習(xí)15．（2023春·上海徐匯·高三上海中學(xué)?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點(diǎn)平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，進(jìn)而得出交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)為兩交點(diǎn)的中點(diǎn)建立等式，求出的值，從而即可解決問(wèn)題.【詳解】如果直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，不符合題意；所以直線斜率存在設(shè)為，則直線方程為，聯(lián)立直線得：，聯(lián)立直線得：，，所以直線與直線，直線的交點(diǎn)為：，又直線夾在兩條直線和之間的線段恰被點(diǎn)平分，所以，解得：，所以直線的方程為：，故選：B.題型四 直線的定點(diǎn)問(wèn)題例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】整理所得直線方程為，根據(jù)題意，即可求得結(jié)果.【詳解】把直線方程整理為，令，故，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)為.故選：C.例8．（2023·全國(guó)·高二對(duì)口高考）以下關(guān)于直線的說(shuō)法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B．直線一定不經(jīng)過(guò)第三象限C．直線一定經(jīng)過(guò)第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線【答案】B【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A、D，再分、、三種情況討論，分別判斷直線所過(guò)象限，即可判斷B、C；【詳解】對(duì)于直線，令，解得，故直線恒過(guò)點(diǎn)，一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)直線即為，直線過(guò)二、三象限，當(dāng)時(shí)直線即為，若，則，，直線過(guò)一、二、三象限，若，則，，直線過(guò)二、三、四象限，所以直線一定過(guò)二、三象限，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)，所以直線可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線，故選：B練習(xí)16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題分析運(yùn)算.【詳解】直線可以為，表示過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線，所以所有直線都通過(guò)定點(diǎn)為.故選：A.練習(xí)17．（2022秋·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量，，且．若點(diǎn)的軌跡過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直可得數(shù)量積為0，得出軌跡方程即可求出軌跡過(guò)定點(diǎn).【詳解】，，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，顯然不論取何值，總有滿足方程，即點(diǎn)的軌跡過(guò)定點(diǎn)，故選：A練習(xí)18．（2023春·上海長(zhǎng)寧·高三上海市第三女子中學(xué)?？计谥校┲本€（）必過(guò)點(diǎn)________.【答案】【分析】將直線方程化為形式求解即可.【詳解】直線方程（）可化為，（），∴由，解得，∴直線（）必過(guò)定點(diǎn).故答案為：.練習(xí)19．（2023春·上海浦東新·高三上海師大附中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，則直線必過(guò)定點(diǎn)______.【答案】【分析】由成等差數(shù)列，可得，即，故直線可得．【詳解】成等差數(shù)列，，，直線必過(guò)點(diǎn)．故答案為：．練習(xí)20．（2023春·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與：交于點(diǎn)P，則的值為_(kāi)_______．【答案】2【分析】根據(jù)兩直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即可根據(jù)和，利用斜率得垂直關(guān)系即可分情況求解.【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩直線的斜率分別為，，，故，從而；當(dāng)時(shí)，易求得，此時(shí)，綜上可知，．故答案為：2題型五 直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問(wèn)題例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中?？计谥校┮阎本€的方程為．(1)求直線過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)直線與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程；【答案】(1)；(2)【分析】（1）將直線的方程變形，列出方程組即可求解；（2）利用直線的截距式方程設(shè)出直線的方程，根據(jù)（1）的結(jié)論及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）由題意，直線的方程可化為，聯(lián)立方程組解得，所以直線過(guò)的定點(diǎn)．（2）設(shè)直線，則，由（1）知，直線過(guò)的定點(diǎn)，可得，因?yàn)椋?，解得，?dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積為，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程為，即．例10．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為_(kāi)_________．【答案】或【分析】討論直線過(guò)原點(diǎn)和直線不過(guò)原點(diǎn)兩種情況，分別計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，過(guò)點(diǎn)，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.練習(xí)21．（2022秋·高三?？颊n時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)(2，0)，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和等于6的直線方程是____.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)條件列方程組求解即可.【詳解】設(shè)直線的方程為，則解得則直線的方程為+=1，即.故答案為：練習(xí)22．（2023·上海·高三專題練習(xí)）求過(guò)點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．【答案】或【分析】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程直接求出；當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的截距式為，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可得出．【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，化為，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的截距式為，把點(diǎn)代入可得：，解得，所以直線的方程為：，綜上所述，所求直線方程為或.故答案為：或.練習(xí)23．（2022秋·安徽六安·高三校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則直線的方程為_(kāi)_________.【答案】或【分析】設(shè)直線方程為，則，解得的值，即得此直線方程.【詳解】設(shè)直線方程為，則，解得或直線的方程為或故答案為：或.練習(xí)24．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省資中縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線，.(1)證明直線l過(guò)定點(diǎn)A，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，若直線過(guò)點(diǎn)A，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，求直線的方程.【答案】(1)定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2)或【分析】（1）整理方程為，然后解方程組可得答案；（2）設(shè)出直線方程，求出截距，利用截距之間的關(guān)系列方程求解.【詳解】（1）直線可化為，則，解得，直線l過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的，則當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，符合題意，此時(shí)直線方程為，即；當(dāng)直線的橫縱截距均不為零時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)，得，解得，此時(shí)直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.練習(xí)25．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）若直線與直線平行，且在軸上的截距比在軸上的截距大，求直線的方程.【答案】【分析】由平行可設(shè)直線方程為，分和兩種情況，并結(jié)合題意列等式即可【詳解】直線與直線平行，則設(shè)其方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為，故可得在軸上的截距和在軸上的截距都是為，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，方程化為截距式為，因?yàn)橹本€在軸上的截距比在軸上的截距大，所以，解得，直線的方程為.題型六 直線平行或垂直例11．（2022秋·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）與直線垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)垂直關(guān)系確定所求直線的斜率，設(shè)出直線方程后再根據(jù)橫截距確定與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得待定系數(shù)，確定答案.【詳解】因?yàn)樗蟮闹本€與直線垂直，所以，得.設(shè)所求直線為,又因?yàn)樗笾本€在x軸上的截距為2即過(guò)點(diǎn)，求得,所以所求直線的斜截式方程為，故選：B.例12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知直線和，若，則___________．【答案】3【解析】由由有，即可求，然后驗(yàn)證、是否共線.【詳解】∵，有，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，，，即、為同一條直線；當(dāng)時(shí)，，，即；∴，故答案為：3練習(xí)26．（2023·河南鄭州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線與直線垂直，若直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，由誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，代入即可得出單.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，所以，所以.故選：D.練習(xí)27．（2022秋·四川瀘州·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則l的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出兩個(gè)定點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)及這兩個(gè)定點(diǎn)確定的直線斜率作答.【詳解】過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)直線的斜率為，則直線l的斜率為，點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)為，所以直線l的方程為，即.故選：B練習(xí)28．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）直線和，當(dāng)________時(shí)，；當(dāng)________時(shí)，；當(dāng)________時(shí)，與相交．【答案】/0.5且【分析】利用直線平行、垂直、相交的性質(zhì)求解.【詳解】由題知，，，解得；，，解得；與相交，，解得且.故答案為：；；且練習(xí)29．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知直線平行于直線，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為_(kāi)_________和__________．【答案】【分析】化簡(jiǎn)兩直線為斜截式方程，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】由直線，整理得直線，整理得，因?yàn)閮芍本€平行，可得，又由在軸上的截距為，即，可得，所以.故答案為：；.練習(xí)30．（2023秋·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）已知直線，若且，則的值為（

）A． B．5 C． D．7【答案】B【分析】利用直線一般式下平行與垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以由，得，解得，由，得，解得，所以．故選：B．題型七 距離公式的應(yīng)用例13．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·高三?？计谥校┲本€過(guò)點(diǎn).求分別滿足下列條件的直線方程.(1)若直線與直線平行；(2)若點(diǎn)到直線的距離為1.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)直線平行設(shè)出直線方程，代入點(diǎn)即可求出結(jié)果；（2）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出參數(shù)，即可求出直線方程.【詳解】（1）設(shè)直線方程為將代入得，所求直線方程是（2）若直線的斜率不存在，則過(guò)的直線為，到點(diǎn)的距離為1，滿足題意；若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則的方程為.由點(diǎn)到直線的距離為1，可得.解得，所以直線方程為，即.綜上得所求的直線方程為或.例14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)點(diǎn)且和的距離相等的直線方程是_________．【答案】或【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線為，此時(shí)不滿足條件；若斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或練習(xí)31．（2023春·河南洛陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）兩條平行線，間的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可.【詳解】依題意，將直線變?yōu)椋?，所以兩平行線間的距離為.故選：A.練習(xí)32．（2022秋·高三單元測(cè)試）已知直線過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到這條直線的距離為1，則這條直線的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，原點(diǎn)到這條直線的距離為1，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，∵原點(diǎn)到這條直線的距離為1，∴，解得，∴直線的方程是，即，綜上，直線的方程是和.故選：A.練習(xí)33．（2022秋·高三?？颊n時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)A在直線上，且點(diǎn)A到直線的距離為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_______________.【答案】或【分析】利用點(diǎn)在線上及點(diǎn)線距離公式得到關(guān)于A的坐標(biāo)的方程組，解之即可.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則有，解得或.故答案為：或.練習(xí)34．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）過(guò)點(diǎn)且和的距離相等的直線方程是_________．【答案】或【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線為，此時(shí)不滿足條件；若斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或練習(xí)35．（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)的距離為5，并求直線PM的方程.【答案】或，對(duì)應(yīng)直線PM的方程為或.【分析】利用點(diǎn)在直線上和兩點(diǎn)距離建立方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，代入點(diǎn)斜式求解直線方程.【詳解】設(shè)，由題意，解得或，所以或，當(dāng)時(shí)，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即.題型八 對(duì)稱問(wèn)題例15．（2022秋·高三?？颊n時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對(duì)稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【答案】D【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，①且AB中點(diǎn)在已知直線上，代入得，②聯(lián)立①②組成的方程組，解得，故選：D.例16．（2022秋·安徽六安·高三?？茧A段練習(xí)）已知直線的方程為.（1）若直線和直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程__________；（2）若直線和直線關(guān)于直線對(duì)稱，求直線的方程__________.【答案】.【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，列出方程即可得到結(jié)果；由題意可得直線與直線的交點(diǎn)，求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，即可得到直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€和直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在直線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在直線上，將點(diǎn)代入直線可得，所以直線的方程為；設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，所以，解得，則，在直線上取點(diǎn)，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則①因?yàn)榕c的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以②由①②可得，所以因?yàn)橹本€和直線關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以直線的兩點(diǎn)式方程為，整理得直線的一般式方程為.故答案為:;.練習(xí)36．（2023秋·上海奉賢·高三校考期末）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊