專題12 雙曲線中的離心率問(wèn)題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專用）

第第頁(yè)專題12雙曲線中的離心率問(wèn)題限時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與相交于、兩點(diǎn)，若為正三角形，則的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，因?yàn)檩S，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則為線段的中點(diǎn)，

因?yàn)闉榈冗吶切?，則，所以，，所以，，則，所以，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.2．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】雙曲線的漸近線方程為，直線被圓所得截得的弦長(zhǎng)為，

則圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得，則，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.3．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，、兩點(diǎn)在雙曲線的左、右兩支上，且，，，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?，設(shè)（），則，，在中，，所以，化簡(jiǎn)得，解得，在中，，所以，所以，所以，得，所以離心率，故選：B4．如圖，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過(guò)點(diǎn)與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)．若是的中點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為（

）

A． B．2 C． D．【解析】因?yàn)椋瑒t，所以是直角三角形，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是直角斜邊中線，因此，而點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以是等腰三角形，因此，由雙曲線漸近線的對(duì)稱性可知中：，于是有：，因?yàn)殡p曲線漸近線的方程為：，因此有：，故選：B.5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若在上存在點(diǎn)不是頂點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】設(shè)與y軸交于Q點(diǎn)，連接，則，

因?yàn)?，故P點(diǎn)在雙曲線右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形內(nèi)角和為，故，則，即，即，所以的離心率的取值范圍為，故選：A6．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【解析】由于，所以，則，解得，由于，所以，整理得，兩邊除以得，由于，故解得.故選：B

7．已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過(guò)點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.由雙曲線的定義可得，故，所以，即的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解?故選：A.

8．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)的直線與的右支交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，雙曲線的右頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在圓上，所以，所以≌，所以，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，過(guò)作軸于，則，所以，所以，得，所以，，所以，所以離心率，故選：A

二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．雙曲線的離心率為，雙曲線的離心率為，則的值不可能是（

）A． B． C． D．【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以.故選：CD.10．雙曲線的離心率為e，若過(guò)點(diǎn)能作該雙曲線的兩條切線，則e可能取值為（

）．A． B． C． D．2【解析】斜率不存在時(shí)不合題意，所以直線切線斜率一定存在，設(shè)切線方程是，由得，顯然時(shí)，所得直線只有一條，不滿足題意，所以，由得，整理為，由題意此方程有兩不等實(shí)根，所以，，則為雙曲線的半焦距，，即，代入方程，得，此時(shí)，綜上，e的范圍是故選：AC

11．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．【解析】當(dāng)點(diǎn)同時(shí)在雙曲線的左支上時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，.作交于點(diǎn)，則，

而O為的中點(diǎn)，則P為的中點(diǎn)，故，因?yàn)?，為銳角，故所以，，所以，則，故雙曲線的離心率.當(dāng)點(diǎn)在雙曲線的兩支上時(shí)，仍有，

因?yàn)椋瑸殇J角，故所以，，所以，則，故雙曲線的離心率，故選：AD12．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（

）.A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，如圖，

雙曲線的漸近線方程為，即，在中，，設(shè)，又，則，又雙曲線中，即有，于是，，，，則，，，代入得，即，解得，則，A正確；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，如圖，

則，，在中，，設(shè)，又，則，又雙曲線中，即，于是，，，，則，，，而，即，因此，即，解得，則，C正確.故選：AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．雙曲線的一條漸近線方程為，則其離心率是.【解析】由題意知，又因?yàn)樵陔p曲線中，，所以，故（負(fù)舍）14．已知雙曲線方程為，左焦點(diǎn)關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為.【解析】如圖：設(shè)關(guān)于漸近線對(duì)稱的點(diǎn)在漸近線上，的中點(diǎn)在漸近線上，則，又，所以，所以，所以.

15．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是．【解析】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，直線，為雙曲線的通徑，則由得，則，由得，則，由得：即，所以，所以離心率16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，若，則該雙曲線的離心率的取值范圍是.【解析】依題意可得，以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為，由，得：或，所以，雙曲線的左頂點(diǎn)為，則，所以，，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，所以，所以，所以，又，所以.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求雙曲線的離心率e的取值范圍．【解析】雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，，，，故雙曲線的離心率e的取值范圍為：.

.18．已知橢圓與雙曲線，有相同的左、右焦點(diǎn)，，若點(diǎn)是與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且，設(shè)與的離心率分別為，，求的取值范圍.【解析】設(shè)，，，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，解得，，由，可得，即，由，，可得，由，可得，可得，即，則，設(shè)，則，由于函數(shù)在上遞增，所以，即的取值范圍為.19．已知雙曲線T：離心率為e，圓O：．(1)若e=2，雙曲線T的右焦點(diǎn)為，求雙曲線方程；(2)若圓O過(guò)雙曲線T的右焦點(diǎn)F，圓O與雙曲線T的四個(gè)交點(diǎn)恰好四等分圓周，求的值；(3)若R=1，不垂直于x軸的直線l：y=kx+m與圓O相切，且l與雙曲線T交于點(diǎn)A，B時(shí)總有，求離心率e的取值范圍．【解析】（1）因，雙曲線T的右焦點(diǎn)為，則，，，，則雙曲線方程為.（2）如圖所示，

因?yàn)閳AO與雙曲線T的四個(gè)交點(diǎn)恰好四等分圓周，則，，則，代入雙曲線方程，可得，令，則，解得，即.（3）由題知，作圖如下，

因?yàn)橹本€l：y=kx+m與圓O相切，且，則圓心到直線距離為，化簡(jiǎn)得，①又，設(shè)，則，即，則，②聯(lián)立得，則，，③聯(lián)立①②③，得，則，又，則，則，即離心率e的取值范圍為.20．已知點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，．(1)求雙曲線的離心率；(2)設(shè)、分別是△的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，求．【解析】（1）由為雙曲線的右支上一點(diǎn)，可得，又，可得，，在△中，，由余弦定理可得，即，可得；（2）由，即；因?yàn)椋?，所以，所以?1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為雙曲線C左支上一點(diǎn)，．(1)求雙曲線C的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，D為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，求雙曲線C的方程．【解析】（1）由于A為雙曲線C左支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知，所以．整理，得，所以，所以雙曲線C的離心率為．（2）由（1）可設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

設(shè)，，．直線AD的方程為．令，則．直線BD的方程為，令，則．所以．因?yàn)椋瑵M足方程，所以，,所以,所以雙曲線C的方程為．22．已知雙曲線，若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求雙曲線的離心率；(2)若直線不經(jīng)過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)，則，由