專題10解三角形問題（講）【解析版】

第一篇熱點、難點突破篇專題10解三角形問題（講）真題體驗感悟高考1．（2022·全國·高考真題（理））已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，________．【答案】##【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.2.（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.3．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1．正弦定理或余弦定理獨立命題；2．正弦定理與余弦定理綜合命題；3．與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；4．考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換、立體幾何、解析幾何等結(jié)合考查.．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一正弦定理的應(yīng)用【核心知識】正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解決不同的三角形問題．【典例分析】典例1.（2022·西藏·日喀則市江孜高級高三期中）已知中，，，則B等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】已知兩邊一角，由正弦定理可求角B的正弦值，進而得到角B的大小.【詳解】解：，，，由正弦定理，得，，，而，則或，故選：C.典例2.（2021·浙江省義烏高三階段練習(xí)）在中，已知，且邊上的高為，則______；______．【答案】

4

【分析】作圖，根據(jù)圖像中的幾何關(guān)系，求出BC，再運用正弦定理即可求解.【詳解】依題意作下圖，圖中，垂足為D，則有，是等腰直角三角形，

，，由正弦定理得：，解得；故答案為：①4，②.典例3.（2019·全國高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【答案】.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【規(guī)律方法】1.已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．2.已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意．3.已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解考向二余弦定理的應(yīng)用【核心知識】余弦定理：，，.變形公式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)【典例分析】典例4.（2021·浙江·高考真題）在中，，M是的中點，，則___________，___________.【答案】

【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.典例5.（2020·全國·高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，證明：△ABC是直角三角形．【答案】（1）；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可化為，即可解出；（2）根據(jù)余弦定理可得，將代入可找到關(guān)系，再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出．【詳解】（1）因為，所以，即，解得，又，所以；（2）因為，所以，即①，又②，將②代入①得，，即，而，解得，所以，故，即是直角三角形．典例6.（2021·全國·高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.【總結(jié)提升】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．考向三三角形中邊角計算【核心知識】三角恒等變換公式正弦定理余弦定理【典例分析】典例7.（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（理））在中，已知．(1)求的大??；(2)若，求cosB和a的值．【答案】(1)或(2)，【分析】（1）由可求，再由，用正弦定理算出，可得.（2），結(jié)合已知條件可求值，再用余弦定理求a的值.【詳解】（1）△ABC中，因為，所以．由正弦定理得：，

所以．所以或．（2），則，所以（舍去）．此時，，，，所以．即．由余弦定理得：，即，由，解得：.典例8.（2021·全國·高考真題）記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當(dāng)時，（舍去）．當(dāng)時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.典例9.（2022·全國·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．【規(guī)律方法】考向四三角形面積、周長問題【核心知識】面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB【典例分析】典例11.（2022·浙江·高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．典例12.（2022·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以，即，所以；（2）解：因為，由（1）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.典例13.（2021·寧夏·永寧縣第二（永寧縣回民高級）模擬預(yù)測（文））在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足．(1)求；(2)若的面積為，，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果；（2）利用余弦定理和三角形的面積公式應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，所以，因為，所以，由于，所以．（2）由于，所以，解得．在中，由余弦定理可得：，整理得，所以，所以．故三角形的周長為．考向五三角形范圍和最值問題【核心知識】輔助角公式均值不等式【典例分析】典例14.（2022·河南·民權(quán)縣第一高級模擬預(yù)測（文））已知在中，角的對邊分別為，，，且．(1)求；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式與正弦的和差公式結(jié)合正弦定理的邊角變換，得到，從而得到，由此可得；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，從而得到，據(jù)此解答即可.【詳解】（1）由已知可得，所以，由正弦定理可得，即，則，因為，又，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，即，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即面積的最大值為．典例15.（2020·全國·高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出的形式，進而求得；（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，進而得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：余弦+不等式由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），周長，周長的最大值為.[方法二]：正弦化角（通性通法）設(shè)，則，根據(jù)正弦定理可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．此時周長的最大值為．[方法三]：余弦與三角換元結(jié)合在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知當(dāng)時，，所以周長的最大值為．典例16.（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知在中，邊,,所對的角分別為，，，.(1)證明：,,成等比數(shù)列；(2)求角的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)結(jié)合內(nèi)角和關(guān)系，通過三角恒等變換化簡條件等式可得，再利用正弦定理化角為邊即可證明；(2)根據(jù)余弦定理和基本不等式可求的最小值，由此可得角的最大值.【詳解】（1）通分化簡可得，，即，即，整理得，由正弦定理可得，所以a?b?c成等比數(shù)列；（2）由（1）可得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即為正三角形時等號成立，所以的最大角為.【規(guī)律方法】三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍．考向六數(shù)學(xué)文化與實際應(yīng)用【核心知識】實際問題中的有關(guān)概念(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)．(2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖3)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標(biāo)方向．②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．(4)坡度：①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖4，角θ為坡角)．②坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)．【典例分析】典例17.（2021·全國·