山東省臨沂市莒南縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.設(shè)全集，，，則集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到，進(jìn)而由補(bǔ)集和交集得到答案.【詳解】由題意得，即.故選：B．2.已知集合有三個(gè)元素.若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1 C.或1 D.0或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，分類討論結(jié)合元素的互異性求解即可.【詳解】因?yàn)椋曰?當(dāng)即時(shí)，，滿足題意；當(dāng)即時(shí)，若，則，滿足題意；若，則，不滿足題意；綜上，實(shí)數(shù)的值為或1.故選：C3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】，或，所以，“”“”，但“”“”，所以，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.函數(shù)的最小值是2B.函數(shù)的最小值是2C.“三角形是等腰三角形”是“三角形是等邊三角形”的必要不充分條件D.“有些三角形的外角至少有兩個(gè)鈍角”的否定是“所有三角形的外角至多有兩個(gè)鈍角”【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，基本不等式求解中等號成立的條件不滿足；C選項(xiàng)，等邊三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形，從而得到C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)命題的否定的概念得到D錯(cuò)誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．對于B選項(xiàng)，，令，即，方程無解，故等號不成立，B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，等邊三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形，故“三角形是等腰三角形”是“三角形是等邊三角形”的必要不充分條件，C正確；對于D選項(xiàng)，該命題的否定是“任意三角形的外角最多有一個(gè)鈍角”，D錯(cuò)誤.故選：C5.若正實(shí)數(shù)，滿足，則有下列結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)推理判斷，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，正實(shí)數(shù)是正數(shù)，且，①中，可得，所以是錯(cuò)誤的；②中，由，可得是正確的；③中，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，可得是正確的；④中，因?yàn)?，所以是正確的，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記不等式的基本性質(zhì)，合理推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.若定義在上的奇函數(shù)滿足：，且，都有，則稱該函數(shù)為滿足約束條件的一個(gè)“函數(shù)”，有下列函數(shù)：①；②；③；④，其中為“函數(shù)”的是A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】利用“函數(shù)”的定義逐項(xiàng)分析即得.【詳解】∵定義在上的奇函數(shù)滿足：，且，都有，∴為定義在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，①不是奇函數(shù)，所以①不是“函數(shù)”，②在上單調(diào)遞減，所以②不是“函數(shù)”，③定義域不是，所以③不是“函數(shù)”，④在上遞增且為奇函數(shù)，故④為“函數(shù)”.故選：D.7.函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次函數(shù)，利用一元二次方程最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由得，設(shè)，則，且，即，則等價(jià)為，拋物線開口向下，對稱軸為，∵，∴當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即，即函數(shù)的值域?yàn)?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8.若關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】含參解一元二次不等式，分類討論的范圍確定整數(shù)解即可.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)若有3個(gè)整數(shù)解，則需；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)若有3個(gè)整數(shù)解，則需綜上：所以或，故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的有（）A.與B.與C.與D.與【答案】AC【解析】【分析】求出各選項(xiàng)中函數(shù)、的定義域，結(jié)合函數(shù)相等的定義逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，與，兩個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?yīng)法則也一樣，則A滿足要求；對于B選項(xiàng)，定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)，B不滿足要求；對于C選項(xiàng)，與，兩個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?，對?yīng)法則也一樣，C滿足要求；對于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋@兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一個(gè)函數(shù)，D不滿足要求.故選：AC.10.已知集合，集合，若，則a的取值可能是（）A.2 B. C.1 D.0【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可知，然后對參數(shù)進(jìn)行分類討論求解.【詳解】解：集合，集合，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，故或，解得或綜上a的取值可能是，，.故選：BCD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，得到，逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，，所以，則，所以，即，所以，所以，故選：BCD12.1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805-1859）第一個(gè)引入了現(xiàn)代函數(shù)概念：“如果對于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對應(yīng)，那么是的函數(shù)”．由此引發(fā)了數(shù)學(xué)家們對函數(shù)性質(zhì)的研究．下面是以他的名字命名的“狄利克雷函數(shù)”：（表示有理數(shù)集合），關(guān)于此函數(shù)，下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù)B.C.對于任意的有理數(shù)，都有D.不存在三個(gè)點(diǎn)，使為正三角形【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)奇偶性驗(yàn)證A，由函數(shù)的定義驗(yàn)證BC，根據(jù)正三角形的高，舉特例判斷D．【詳解】A：由定義知：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)則，當(dāng)則，即有，故是偶函數(shù)，正確；B：由解析式知：或，即，正確；C：任意的有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，正確；D：若存在為正三角形，則其高為1，邊長為，所以當(dāng)時(shí)成立，存在，D錯(cuò)誤；故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知冪函數(shù)滿足，則________．【答案】4【解析】【分析】先求得的解析式，然后求得.【詳解】設(shè)，則.故答案為：.14.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的解析式______【答案】【解析】【分析】分，和三種情況，結(jié)合已知，可得到函數(shù)解析式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：15.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為________．【答案】．【解析】【分析】利用偶函數(shù)化簡不等式，并得出單調(diào)性，然后分類討論得不等式的解．【詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞減，，不等式化為，則或，所以或．故答案為：．16.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)在上是減函數(shù)需滿足每一段都是單調(diào)減函數(shù)且在交接點(diǎn)滿足減函數(shù).【詳解】由題意得函數(shù)在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，即二次函數(shù)對稱軸，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，還需要滿足時(shí)最小值大于時(shí)的最大值，即，解得，所以故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.若不等式的解集是．（1）解不等式；（2）b為何值時(shí)，的解集為R．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由題意可得和1是方程的兩個(gè)根，則有，求出的值，然后解不等式即可，（2）由（1）可知的解集為R，從而可得，進(jìn)而可求出的取值范圍【小問1詳解】由題意得和1是方程的兩個(gè)根，則有，解得，所以不等式化為，，解得或，所以不等式的解集為或【小問2詳解】由（1）可知的解集為R，所以，解得，所以取值范圍為18.設(shè)集合，集合.（1）若，求；（2）設(shè)命題：，命題：，若是成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）化簡集合，即得解；（2）化簡集合，得到集合是集合的真子集，解不等式組即得解.【詳解】（1）.因?yàn)?，所以，因此；?），，因?yàn)槭浅闪⒌谋匾怀浞謼l件，所以集合是集合的真子集，因此有，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的關(guān)系和運(yùn)算，考查一元二次不等式和絕對值不等式的解法，考查必要不充分條件的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19.（1）已知，求函數(shù)的最大值；（2）已知，且，求的最小值．【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式計(jì)算可得；（2）利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】（1），，故，所以．，，當(dāng)且僅當(dāng)，即或（舍）時(shí)，等號成立，故當(dāng)時(shí)，．（2）因?yàn)?，且，，?dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)等號成立，取最小值，，當(dāng)時(shí)，．20.已知函數(shù)為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，且時(shí)，，（1）求時(shí)，的解析式（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義，求函數(shù)最大值和最小值．【答案】（1）（2）最小值是；最大值是．【解析】【分析】（1）由奇偶性定義求解析式；（2）由單調(diào)性定義證明單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性求得最值．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以由題意可得，．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，；【小問2詳解】，且，則．由，得，于是，即．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．因此，函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最小值與最大值．在時(shí)取得最小值，最小值是；在時(shí)取得最大值，最大值是．21.某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元至0.75元之間，而用戶期望的電價(jià)為0.4元．經(jīng)測算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）．該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元．（1）寫出本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門的收益y（單位：元）關(guān)于實(shí)際電價(jià)x（單位：元）的函數(shù)解析式．（收益=實(shí)際電量×（實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)））（2）設(shè)，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%？【答案】（1）．（2）0.6元．【解析】【分析】（1）根據(jù)用電量、下調(diào)電價(jià)后新增用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比，得到本年度實(shí)際用電量，再乘以即可；（2）根據(jù)上年度電力部門實(shí)際收益，（1）知本年度電力部門預(yù)收益，然后由求解即可.【小問1詳解】設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為x元，依題意知用電量增至，電力部門的收益為；【小問2詳解】依題意有，整理得，解此不等式組得．答：當(dāng)電價(jià)最低定