考研數(shù)學(xué)一常微分方程歷年真題試卷匯編4-真題-無答案

考研數(shù)學(xué)一（常微分方程）歷年真題試卷匯編4(總分150,考試時(shí)間180分鐘)選擇題1.1.[2004年]微分方程y''+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為()．A.y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B.y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C.y*=ax2+bx+c+AsinxD.y*=ax2+bx+c+Acosx2.2.[2008年]在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3為任意常數(shù))為通解的是()．A.y'''+y''一4y'一4y=0B.y'''+y''+4y'+4y=0C.y'''一y''一4y'+4y=0D.y'''-y''+4y'-4y=03.3.[2015年]設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y''+ay'+by=cex的一個(gè)特解，則()．A.a=一3，b=2，c=一1B.a=3，b=2，c=一1C.a=一3，b=2，c=1D.a=3，b=2，c=14.4.[2016年]若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y'+p(x)y=q(x)的兩個(gè)解，則q(x)=()．A.3x(1+x2)B.一3x(1+x2)C.D.填空題5.5.[2006年]微分方程y'=y(1一x)／x的通解是______．6.6.[2008年]微分方程xy'+y=0滿足條件y(1)=1的解為______．7.7.[2014年]微分方程xy'+y(lnx—lny)=0滿足條件y(1)=e3的解為y=______.8.8.[2011年]微分方程y'+y=e-xcosx滿足條件y(0)=0的解為y=______．9.9.[2005年]微分方程xy'+2y=xlnx滿足y(1)=一1／9的特解為______．10.10.[2013年]已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解為y=______．11.11.[2002年]微分方程yy''+y'2=0滿足初始條件y｜x=0=1，y'｜x=0=1／2的特解是______．12.12.[2007年]二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y''-4y'+3y=2e2x的通解為______．13.13.[2012年]若函數(shù)f(x)滿足方程f''(x)+f'(x)-2f(x)=0及f''(x)+f(x)=2ex，則f(x)=______．14.14.[2017年]微分方程y''+2y'+3y=0的通解為y=______．15.15.微分方程xy''+3y'=0的通解為______．16.16.[2004年]歐拉方程(x＞0)的通解是______．17.17.[2009年]若二階常系數(shù)線性齊次微分方程y''+ay'+by=0的通解為y=(C1+C2x)ex，則非齊次方程y'+ay'+by=x滿足條件y(0)=2，y'(0)=0的解為______．解答題[2018年]已知微分方程y'+y=f(x)，其中f(x)是R上的連續(xù)函數(shù)．18.18.若f(x)=x，求方程的通解．19.19.若f(x)為周期函數(shù)，試證微分方程有解與其對(duì)應(yīng)，且該解也為周期函數(shù)．20.20.求微分方程x2y'+xy=y2滿足初始條件y｜x=1=1的特解．21.21.設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0為一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．22.22.[2010年]求微分方程y''一3y'+2y=2xex的通解．[2003年]設(shè)函數(shù)y=y(x)在(一∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)．23.23.試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；24.24.求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，y'(0)=3／2的解．25.25.[2005年]用變量代換x=cost(0＜t＜π)化簡微分方程(1一x2)y''-xy'+y=0，并求其滿足y｜x=0=1，y'｜x=0=2的特解．26.26.[2015年]設(shè)函數(shù)f(x)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意x0∈I，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與直線x=x0及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且f(0)=2，求f(x)的表達(dá)式．27.27.從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系．設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用．設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體積為B，海水密度為ρ，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k(k＞0)．試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v)．28.28.[2004年]某種飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)降落時(shí)，為了減少滑行距離，在觸地瞬間，飛機(jī)尾部張開降落傘以增大阻力使飛機(jī)迅速減速并停下．現(xiàn)有一質(zhì)量為