2022年山東省濟南市高考數(shù)學模擬試卷（3月份）（附答案詳解）

2022年山東省濟南市高考數(shù)學模擬試卷（3月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.己知全集U={x\x>0},集合/={x\x（x-1）<0},則GM=（）

A.{x\x>1,或不<0}B.{x\x>1,或％<0}

C.{x\x>1}D.{x\x>1}

2.已知復數(shù)z滿足2（1+0=-1（其中》為虛數(shù)單位），則z的模為（）

A.；B.在C.V2D.2

22

3.某學校于3月12日組織師生舉行植樹活動，購買垂柳、銀杏、側柏、海桐四種樹苗

共計1200棵，比例如圖所示.高一、高二、高三報名參加植樹活動的人數(shù)分別為600,

400,200,若每種樹苗均按各年級報名人數(shù)的比例進行分配，則高三年級應分得

側柏的數(shù)量為（）

4.已知sin（a+：）=—苧，貝Ils譏2a的值為（）

A.；B.一；C.隹D.-更

2222

5.函數(shù)/'（%）=X-StTlX的部分圖象大致為（）

6.我們通常所說的AB。血型系統(tǒng)是由4,B,。三個等位基因決定的，每個人的基因型

由這三個等位基因中的任意兩個組合在一起構成，且兩個等位基因分別來自于父親

和母親，其中A4,4。為4型血，BB,80為B型血，4B為4B型血，。。為。型血.比

如：父親和母親的基因型分別為A。，4B,則孩子的基因型等可能的出現(xiàn)4448,

AO,B。四種結果.已知小明的爺爺、奶奶和母親的血型均為AB型，不考慮基因突

變，則小明是4型血的概率為（）

A2_R1

168cj

7.的一個充分條件是（）

A.ea~b>2B.ln^>0abD

DC.a>b-分

8.已知直線kx-y+2k=0與直線x+ky-2=0相交于點P,點4（4,0）,。為坐標原

點，則tanzOAP的最大值為（）

A.2-V3B.—C.1D.V3

3

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.（x+$6的展開式中，下列結論正確的是（）

A.展開式共6項B.常數(shù)項為64

C.所有項的系數(shù)之和為729D.所有項的二項式系數(shù)之和為64

10.在棱長為1的正方體力BCD—4B1GD1中，。為正方形4&GD1的中心，則下列結

論正確的是（）

第2頁，共18頁

A.BO14cB.B?！ㄆ矫?CDi

C.點8到平面4CD1的距離為3D.直線B。與直線ZD1的夾角為g

3J

11.已知函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx,下列結論正確的是()

A.f(x)為偶函數(shù)B./(x)的值域為［一1,迎］

C./Q)在［0,兀］上單調(diào)遞減D.的圖象關于直線x=:對稱

12.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西

尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標系xOy中，

M(-2,0),N(2,0),動點P滿足-|PN|=5,其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則

下列結論正確的是()

A.曲線C與y軸的交點為(0,-1),(0,1)

B.曲線C關于x軸對稱

C.APMN面積的最大值為2

D.|0P|的取值范圍是［1,3］

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量五，石滿足蒼=(2,1),a-K=(1,0).則五了的值為.

14.已知圓錐的軸截面是一個頂角為腰長為2的等腰三角形，則該圓錐的體積為

2

15.已知橢圓G：，+'=1的焦點分別為0,F2,且尸2是拋物線C2：y=2px(p>0)

的焦點，若P是G與的交點，且|P&|=7,則cos/PFiFz的值為.

16.已知函數(shù)〃乃=竺義竺等±史9，對任意非零實數(shù)》,均滿足/。)=/(-》.則

/1)的值為；函數(shù)/'(x)的最小值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

2

17.已知%是數(shù)列｛%｝的前n項和,Sn=n.

(1)求數(shù)列｛a"的通項公式；

(2)求數(shù)列｛不上｝的前n項和7；.

18.已知△48C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足bsinA=gacosB.

⑴求B;

(2)若。為邊AC的中點，0BD=小,c=4,求a.

19.如圖，矩形力BCD中，AB=2,BC=1,將A4CD沿AC折起，使得點。到達點P的

位置，PB=V3.

(1)證明：平面P4BJ■平面4BC；

(2)求直線PC與平面4BC所成角的正弦值.

第4頁，共18頁

20.第56屆世界乒乓球錦標賽將于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱

潮.現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一

球得1分.

(1)已知某局比賽中雙方比分為8：8,此時甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，

甲發(fā)球時甲得分的概率為最乙發(fā)球時乙得分的概率為也各球的結果相互獨立，當

任何一方的積分達到11分且領先對方2分時，該局比賽結束，求該局比賽甲以11：

9獲勝的概率；

(2)已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為|,

乙獲勝的概率為:，且每局比賽的結果相互獨立.兩人又進行了X局后比賽結束，求

X的分布列與數(shù)學期望.

21.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：，一總=l(a>0">0)的離心率為近，實

軸長為4.

(1)求C的方程；

(2)如圖，點4為雙曲線的下頂點，直線，過點P(O,t)且垂直于y軸(P位于原點與上頂

點之間)，過P的直線交C于G,H兩點,直線4G,分別與，交于M,N兩點，若0,

A,N,M四點共圓，求點P的坐標.

22.設函數(shù)/(x)=ae2x-2ex+2.

(1)若/(%)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)g(x)=3&62*+9-2)1一26一有兩個極值點與，x2,證明:

。(42)-。(41)>2_1

x2-x±a

第6頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：：全集U={x\x>0},

集合力—{x|x(x—1)<0}={x|0<x<1),

CuA={x\x>1}.

故選：D.

求出集合4,利用補集定義求出JA.

本題考查補集的求法，考查補集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是

基礎題.

2.【答案】B

【解析】解：???z(l+0=-i,

-i-i(l-i)11.

?\z=—=----------=---------1.

1+i(l+i)(l-i)22

???|Z|=(心)2=今

故選：B.

根據(jù)已知條件，運用復數(shù)的運算法則，以及復數(shù)模的公式，即可求解.

本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，以及復數(shù)模的公式，需要學生熟練掌握公式,

屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：高三年級應分得側柏的數(shù)量為1200x25%x=50,

200+400+600

故選：C.

按比例計算求解即可.

本題考查了數(shù)據(jù)分析的應用，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：因為sin(a+》=一日，

所以3sina+—cosa=—更，可得sina+cosa=—漁，兩邊平方，可得1+Isinacosa=

2222

3

1+sin2a=

2

所以s譏2a=1.

故選：A.

利用兩角和的正弦公式化簡已知等式可得sina+cosa=-漁，兩邊平方利用同角三角

2

函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦公式即可求解.

本題主要考查了兩角和的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦公式在三

角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：/(無)=x-sinx的定義域為R,/(-X)=—X-sin(-x)=-x+sinx=

一/(力

可得f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，可排除選項。；

又/'(%)=x—sinx的導數(shù)為f'(x)=1—cos%2O可得/(x)遞增，且f(0)=0,

所以f(x)的零點只有一個，為0,可排除選項A；

當X—+8時，/(x)->+00,可排除選項C；

故選：B.

首先判斷/(X)的奇偶性，可得圖象的特點，討論f(x)的零點和XT+8時，/"(X)的變化

趨勢，由排除法可得結論.

本題考查函數(shù)的圖象的判斷，注意分析函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的變化趨勢，考查數(shù)形結

合思想和推理能力，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)爺爺、奶奶的血型可知小明父親血型可能是4、AB,BA,8四種血型，

結合母親血型48可計算小明是4型血的概率;x(；+；+：+0)=；.

42444

第8頁，共18頁

故選：c.

根據(jù)爺爺、奶奶的血型可知小明父親血型可能是4、AB,BA、B四種血型，結合母親血

型可計算小明是4型血的概率.

本題考查古典概型應用，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)e。->>2>1得a-b>0得a>b,所以4對；

由Ing>0=/nl得E>1,當a=4>6=2滿足Inf>0,當a=-4<b=-2時也滿足

bbb

ln^>0,不滿足題意，所以B錯；

因為a=2>b=1滿足a。>bb,a=~^<b=1也滿足a。>心，不滿足題意，所以C錯;

因為a=2>b=1滿足工<：,a=-2<b=l也滿足工<工不滿足題意，所以。錯.

abab

故選：A.

根據(jù)ea-b>2>1運算可判斷A；由In^>0=得？>1再運算可判斷B；對a、b舉例

bb

可判斷CD;

本題考查充分條件的判斷、不等式性質應用、指對函數(shù)單調(diào)性應用，考查數(shù)學運算能力

及推理能力，所以基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：由kx-y+2k=0與直線x+ky-2=0,消去k得點P的軌跡方程為/+

y2=4,

設過4與/+>2=4相交時的直線斜率為k,則直線方程為y=k(x+4),

???船W2,解得一在式更，

Vfc2+133

又tan〃UP=-k,：.tanzOAP的最大值為立，

3

故選：B.

可求得點P的軌跡方程為％2+y2=4,直線4P有公共點可求得斜率k的范圍，可求

tan/OAP的最大值.

本題考查點的軌跡與直線與圓的位置關系，屬中檔題.

9【答案】CD

【解析】解：選項4因為n=6,所以展開式共有7項，故A錯誤，

選項8：展開式的常數(shù)項為德無3(|)3=20x8=160,故8錯誤，

選項C：令x=l,則所有項的系數(shù)和為(1+2)6=729,故C正確，

選項Q：所有項的二項式系數(shù)和為26=64,故。正確，

故選：CD.

選項4根據(jù)二項式定理的性質即可判斷，選項&求出展開式的常數(shù)項即可判斷，選

項C：令x=l即可判斷，選項O：根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可判斷.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

10.【答案】ABC

【解析】解:如圖，連接則4道1nBiDi=0,

連接BD,交AC于G,連接0母，則8G〃。。］,且則BG=

ODi，

可得四邊形BODm為平行四邊形，則BO〃D】G,

???4。1=G為4C的中點，;AG1AC,可得B。1AC,

故A正確；

由上可知，BO//DrG,DiGu平面ACDi，BOC平面

8?！ㄆ矫?C￡>i，故8正確；

■:DG=BG,：.點、B、。到平面AC/的距離相等，

=XX1X1X1=,

VD^ADC|||S^AD1C=^xV2xV2Xy=y,

設。到平面力CD1的距離為九，則2x理九=L得h=0，故C正確；

3263

直線直線BO與直線4nl的夾角等于44C1G=也故。錯誤.

故選：ABC.

直接證明4、B正確;利用等體積法求點B到平面AC。1的距離判斷C；求出兩直線的夾角

判斷D.

本題考查空間中點、線、面間的位置關系及距離計算，考查空間想象能力與思維能力,

第10頁，共18頁

考查運算求解能力，是中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)函數(shù)的關系式f(x)=\sinx\+cosx,

對于4：故f(-x)=f(x)故函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；

對于B：由于函數(shù)的最小正周期為2兀，故當％=〃時，函數(shù)的最小值為-1,當x=?時,

函數(shù)的最大值為近，故函數(shù)的值域為［-1,或］,故B正確；

對于C：當x=0時，/(0)=1,當x時，/(今=1,故函數(shù)不單調(diào)，故C錯誤；

對于。：當x時，/(=)=V2,取得最大值，故函數(shù)關于x=?對稱，故。正確；

故選：ABD.

直接利用函數(shù)的性質，周期性，單調(diào)性和對稱性的應用求出結果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的性質，單調(diào)性，周期性和對稱性的應用，主要考查學

生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：設點P(x,y),依題意，［Q+2)2+y2/(x—2)2+y2］=25,

整理得：x2+y2=x/16%2+25—4,

對于4,當x=0時，解得y=±l,即曲線C與y軸的交點為(0,—1),(0,1),A正確；

對于B,因/+(_y)2=x2+y2=-2+25-4,由-y換曠方程不變，曲線C關于X軸

對稱，8正確；

對于C,當%2=|時，y2=|,即點p岑凈在曲線C上，SAPMN=^MN|X￥=⑥C不

正確；

對于D,Sy2=V16x2+25-4-x2>Of#：尤4-8--9WO,解得0W，W9,

于是得|OP『=*2+y2=.16x2+25-46［L9］，解得1<|OP|<3,。正確.

故選：ABD.

根據(jù)給定條件，求出曲線C的方程，由x=0判斷4由曲線方程對稱性判斷B；取特值

計算判斷C；求出/的范圍計算判斷。作答.

本題考查曲線的軌跡方程，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

13.【答案】3

【解析】解：向量無3滿足4=(2,1),a-K=(l,O).

可得坂=(1,1)，

所以五=2+1=3.

故答案為:3.

利用向量的坐標運算求解a然后求解向量的數(shù)量積即可.

本題考查向量的坐標運算，向量的數(shù)量積的求法，是基礎題.

14.【答案】n

【解析】解：圓錐的軸截面是一個頂角為半，腰長為2的等腰三角形，可得圓錐的底面

半徑為：V3.圓錐的高為：1,

圓錐的體積為：X7TX(遮/X1=7T.

故答案為：TT.

求出圓錐的底面半徑以及圓錐的高，然后求解幾何體的體積.

本題考查圓錐的體積的求法，求解圓錐的底面半徑與高是解題的關鍵，是基礎題.

15.【答案I,

【解析】解：依題意，由橢圓定義得|Pa|+|PFz|=12,而|Pa|=7,則|PFZ|=5,

因為點F2是拋物線C2：y2=2px(p>o)的焦點，則該拋物線的準線過點a,如圖，

第12頁，共18頁

過點P作PQJU于點Q,由拋物線定義知|PQ|=IPF2I=5,而QF2〃PQ，

則“?抵=乙F、PQ,所以COS4P&F2=sinz&PQ=鵠=

I產(chǎn)K1I/

故答案為：

利用橢圓定義求出仍4|，再借助拋物線的定義結合幾何圖形計算作答.

本題主要考查橢圓與拋物線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】o封亙?nèi)A

【解析】解：因為/。)=/(一》,

所以/(-1)=/(-5)=/(1)=0,

(x-l)(2x+l)(x2+ax+b)

/(X)=

/(-》=

衰

X2

所以。-1)3+1)(/+5+6)

X2

32432

所以2/+(2a-l)x+(2b—a—l)x—(a+b)x—b=—bx+(Q+b)x+(2b—

a—l)x24-(1—2a)x+2,

所以—b=2且2a—1=Q+b,

所以b=—2,a=—1,

2”-3%3-4汽2+3%+2

所以/(%)二經(jīng)生出.咨*rZ

(8%3-9%2-8汽+3)%2-2%(234-3%3-4%2+3%+2)

1(x)==4—4

所以「(X)在(—8,0),(0,+8)上單調(diào)遞增，

令1(乃=0,得％=當亙，

乂/中=/'(-』)=f(右)=/崢

所以手)=紀誓，

故答案為：0,匹史.

8

由f(x)=八一》，得(T)=/(-《)=/(I)=0,D3+y+2)

(TT"U產(chǎn)fx+1),解得a,b,即可得出;"(%)的解析式，求導分析單調(diào)性，進而可得

答案.

本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)解析式的計算，屬于中檔題.

2

17.【答案】解：⑴「Sn是數(shù)列｛a“｝的前n項和，Sn=n,①

S]=]2=Q],

2

Sn_1=(n-1),②

①一②得：an=2n-lf(n>2),

Qi=1也成立，

?**Q,=271—1,

(2)v---=----------=-(―-----—),

ky

))anan+1(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

數(shù)列七｝的前n項和〃=……++一六)=-六)=

n

2n+l*

【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關系，即可求解結論，

(2)直接裂項求和即可.

本題主要考查數(shù)列通項公式和前幾項和的求解，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題目.

18.【答案】解：(1)因為bs譏4=>/3acosB>

所以由正弦定理可得sbiBsinA=6sinAcosB，

又sinA*0,

可得sinB=V3cosF>可得tanB=V3>

因為B6(0,兀)，

所以B話..W

(2)延長BD到點M,使BD=DM,連接AM,

在△ABM中，AB=4,AM=a,BM=2小,^BAM=―,

由余弦定理，nJWBM2=AB2+AM2-2AB-AM-cosy,即a?+4a-12=0,解得

a=2,或a=-6（舍去）,

第14頁，共18頁

所以a=2.

【解析】（1）利用正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式化簡已知等式可得tanB=g,結

合范圍86（0,兀），可求B的值.

（2）延長BD到點M,使8。=DM,連接4M,在AZlBM中，由余弦定理可得a?+4a-12=

0,解方程即可求解a的值.

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理在解三角形中的應用，

考查了轉化思想，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：???BC=1,PC=2,PB=場,貝IBC?=PC2,

BCLPB,又BCLAB,PBCAB=B,PB,ABu平面P4B,

BC1平面P4B,

而BCu平面ZBC,.?.平面力BC_L平面PAB.

(2)在平面P4B內(nèi)過P作P。14B于點0,連接C。，如圖，

由（1）知，平面ABC1平面/MB,=AB,

則P。1平面4BC,二4PC。是直線PC與平面ABC所成角，

在△PAB中，PA2+PB2=4=AB2,則44PB=90。，PO==隹,

AB2

在Rt/kPOC中，PC=2,則有sin/PCO="=也,

PC4

二直線PC與平面ABC所成角的正弦值班.

4

【解析】（1）根據(jù)給定條件，證明BC,平面PAB,再利用面面垂直的判斷推理作答.

（2）在平面PAB內(nèi)過點P作P。14B于點0,證明C01平面4BC,即可推理計算作答.

本題考查面面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：（1）在比分為8：8后甲先發(fā)球的情況下，甲以11：9贏下此局分兩種情

況：

①后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為|x|x[x；春

②后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為

故所求事件概率為,+5W

OVOv40

(2)由題意可得，X所有可能取值為2,3,4,5,

P(X=2)=-x-=i,

、7339

p(X=3)=XiX-X-=—,

'」z33327

)、

PCX=4)=C-oixl-x—2x—1x—2.H—1x-1x—1x-1=—13,

'J33333333381

c，vl、11128

P(X=5)=CAX-X-X-X-=—,

174333381

故X的分布列為:

X2345

4138

P8

9278181

故E(X)=2X/3X^+4X蓑+5*卷=箸

【解析】(1)在比分為8：8后甲先發(fā)球的情況下，甲以11：9贏下此局分兩種情況，分別

求出對應的概率，并求和，即可求解.

(2)由題意可得，X所有可能取值為2,3,4,5,分別求出對應的概率，再結合期望公

式，即可求解.

本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，需要學生熟練掌握期望公式，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為實軸長為4,即2a=4,a=2,

又(=V2>所以c=2y/2,b2=c2—a2=4<

故C的方程為廿一次=1；

44

(2)由。，A,N,M四點共圓可知，Z.ANM+A.AOM=TC,

又NM0P+N40M=TT,即UNM=NM0P,

故tanz■力NM=tan/MOP=——-—,

tanzOMP

即一心加=竟3所以七"右加=1，

設6(勺,%),W(x2,y2)>

由題意可知4(0,-2),則直線4G；、=竽％-2,直線AH：y=^x-2,

X1x2

第16頁，共18頁

?+2)不

因為M在直線1,所以y“=3代入直線4G方程，可知

yi+2

故M坐標為(啜f\t),所以4?！?繪2,

又/<4N-kAH=今'，

x2

"1+2).yz+2

由^AN,k()M=1，則1,

(t+2)x1X2

整理可得”=汕+2)。2+2),

t*i%2

當直線GH斜率不存在時，顯然不符合題意,

故設直線GH：y=kx+t,代入雙曲線方程：藝-r=1中，

44

2

可得(々2-I)%+2ktx+產(chǎn)_4=0,所以％1+%2==三%

又(%+2)仇+2)=(fc%i+t+2)(fcx2+t+2)

222

=kxrx2+k(t+2)(xi+x2)+(t+2/=k-W+k(t+2)-若+(t+2)=

-(t+2)2

k2-i'

-(t+2)2?

所以手=。1+2)(為+2)__-(t+2)2若(t+240),

X"2一W-'j

故t=2-3即t=l,所以點P坐標為(0,1).

【解析】(1)根據(jù)雙曲線的離心率結合實軸長，可求得a,b,即得答案；

(2)根據(jù)。,4,N,M四點共圓結合幾何性質可推出/^N,k0M=1，設GQi，%)，”(%2，、2)，

M(XM，VM)，從而可以用點的坐標表示出3再設直線GH：y=kx+t,聯(lián)立雙曲線方程,

利用根與系數(shù)的關系式，代入t的表達式中化簡，可得答案.

本題考查了雙曲線方程的求解，以及直線和雙曲線的位置關系的問題，屬于難題.

22.【答案】解：(1)令《=eL則/(為有2個零點，等價于at2-2t+2=0存在兩個正

根，

P>0