大學(xué)《微積分》課件8.2 多元函數(shù)的概念

§8.2多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的定義二、二元函數(shù)的定義域三、二元函數(shù)的幾何意義一、多元函數(shù)的定義一元函數(shù)x.RxyoR.fD.f.xyzo.R.f(x,y)(x,y,z)I矩形的面積

S=x×y長方體體積

V=x×y×z二元函數(shù)三元函數(shù)多元函數(shù)圖示R..n元函數(shù)一、多元函數(shù)的定義定義8

2(二元函數(shù))

設(shè)D為一個(gè)非空的二元有序數(shù)組的集合

設(shè)

f

為一對(duì)應(yīng)規(guī)則

使對(duì)于每一有序數(shù)組(x

y)

D

都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)

則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則

f

為定義在D上的二元函數(shù)

記為

z

f(x

y)

(x

y)

D

變量x

y稱為自變量

z稱為因變量

集合D稱為函數(shù)的定義域

也可以記為D(f

)

對(duì)于(x0

y0)

D

所對(duì)應(yīng)的z值稱為當(dāng)(x

y)

(x0

y0)時(shí)函數(shù)z

f(x

y)的函數(shù)值

記為z

f(x0

y0)

或.全體函數(shù)值的集合{z|

z

f(x

y)

(x

y)

D}稱為函數(shù)的值域

記為Z或Z(f

)

一、多元函數(shù)的定義定義8

2(二元函數(shù))

設(shè)D為一個(gè)非空的二元有序數(shù)組的集合

設(shè)

f

為一對(duì)應(yīng)規(guī)則

使對(duì)于每一有序數(shù)組(x

y)

D

都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)

則稱對(duì)應(yīng)規(guī)則

f

為定義在D上的二元函數(shù)

記為

z

f(x

y)

(x

y)

D

變量x

y稱為自變量

z稱為因變量

集合D稱為函數(shù)的定義域

也可以記為D(f

)

全體函數(shù)值的集合{z|

z

f(x

y)

(x

y)

D}稱為函數(shù)的值域

記為Z或Z(f

)

說明：類似可定義三元函數(shù)u

f(x

y

z)

及一般n元函數(shù)u

f(x1

x2

xn).

z

x2

y2是以x

y為自變量

z為因變量的二元函數(shù)

其定義域?yàn)?/p>

D(f

)

{(x,y)|x,y

(

,

)

值域?yàn)?/p>

Z(f

)

{z|z

[0,

)}

例1

設(shè)有一個(gè)長方體

高為h

底是邊長為b的正方形

則其體積為

V

b2h(b

0,h

0)

這是一個(gè)以h

b為自變量

z為因變量的二元函數(shù)

其定義域?yàn)镈(f

)

{(b,h)|b

0

h

0}

值域?yàn)閆(f

)

{V|V

0}

例2

例3

設(shè)Z表示居民人均消費(fèi)收入

Y表示國民收入總額

P表示總?cè)丝跀?shù)

則有中S1是消費(fèi)率(國民收入總額中用于消費(fèi)所占的比例)

S2是居民消費(fèi)率(消費(fèi)總額中用于居民消費(fèi)所占的比例)

上式是一個(gè)以Y

P為自變量

Z為因變量的二元函數(shù)

定義域?yàn)镈(f

)

{(Y,P)|Y

0,P

0}

值域?yàn)閆(f

)

{Z|Z

0}

舉例

二、二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)z

f(x,y)的定義域在幾何上表示一個(gè)平面區(qū)域

函數(shù)z

ln(x

y)的定義域?yàn)閧(x

y)|x

y

0}

它是無界開區(qū)域

舉例

二、二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)z

f(x,y)的定義域在幾何上表示一個(gè)平面區(qū)域

它是xy平面上由圓x2

y2

R2圍成的有界閉區(qū)域

舉例

二、二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)z

f(x,y)的定義域在幾何上表示一個(gè)平面區(qū)域

D

{(x

y)|x2

y2

R2}

它是xy平面上由圓x2

y2

R2圍成的開區(qū)域

練習(xí)三、二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)z

f(x,y)的定義域D是xy平面上的一個(gè)區(qū)域

對(duì)于D中任意一點(diǎn)P(x,y)

必有唯一的數(shù)z與其對(duì)應(yīng)

因此三元有序數(shù)組(x,y,f(x,y))就確定了空間的一個(gè)點(diǎn)M(x,y,f(x,y))

所有這樣確定的點(diǎn)的集合{(x

y

z)|z=f(x

y)

(x

y)

D}就是函數(shù)z

f(x,y)的圖形

二元函數(shù)的圖形是一張曲面

xzyz

f(x,y)