八年級數(shù)學(xué)上冊單元題型精練（基礎(chǔ)題型+強(qiáng)化題型）（北師大版）：最短路徑模型（強(qiáng)化）（解析版）

專題1.4最短路徑模型1．如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在點的螞蟻想吃到點的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是13．【解答】解：展開圓柱的半個側(cè)面是矩形，矩形的長是圓柱的底面周長的一半，即為12，矩形的寬是圓柱的高5．根據(jù)兩點之間線段最短，知最短路程是矩形的對角線的長，即，故答案為：13．2．如圖，長方體的高為，底面是正方形且邊長為，現(xiàn)有一只螞蟻從點出發(fā)，沿長方體表面到達(dá)點，螞蟻行走的最短路程為5．【解答】解：如圖1所示，，如圖2所示，，，它爬行的最短路程為．故答案為：5．3．如圖，長方體盒子的長為5，寬為4，高為3．在頂點處有一滴蜂蜜，一只螞蟻在頂點處，要沿著長方體盒子的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是．【解答】解：第一種情況：如圖1，把我們所看到的前面和右面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是9和3，則所走的最短線段；第二種情況：如圖2，把我們看到的左面與底面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是23和10，所以走的最短線段；第三種情況：如圖3，把我們所看到的前面和底面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是15和18，所以走的最短線段；三種情況比較而言，第三種情況最短．故答案為：．4．如圖，圓柱的底面周長為，是底面圓的直徑，點是上的一點，且，．一只螞蟻從點出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點最短路程是．A．17 B．16 C．15 D．13【解答】解：如圖所示，圓柱的底面周長為，．，，在中，．故選：．5．如圖，矩形為圓柱體的橫截面，是上底的直徑，其中為，底面圓周長為，一只螞蟻從點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點，則爬行的最短路程是A． B． C． D．【解答】解：底面周長為，半圓弧長為，畫展開圖形如下：由題意得：，，根據(jù)勾股定理得：．故選：．6．如圖，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為．在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為．A．15 B． C．12 D．18【解答】解：如圖所示，將圓柱沿過的母線剪開，由題意可知，需在杯口所在的直線上找一點，使最小，故先作出關(guān)于杯口所在直線的對稱點，連接與杯口的交點即為，此時，根據(jù)兩點之間線段最短，即可得到此時最小，并且最小值為的長度，如圖所示，延長過的母線，過作垂直于此母線于，由題意可知，，，由勾股定理得：，故螞效到達(dá)蜂蜜的最短距離為，故選：．7．如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿的點處，則該螞蟻要吃到飯粒需爬行的最短路徑長是A． B． C． D．【解答】解：如圖：高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點處，，，將容器側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，連接，則即為最短距離，．故選：．8．如圖，正四棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，一只螞蟻從點出發(fā)，沿棱柱外表面到點處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是A． B． C． D．【解答】解：當(dāng)沿著平面、平面爬行時，如圖所示，，當(dāng)沿著平面、平面爬行時，，因為，所以螞蟻需要爬行的最短路徑的長是，故選：．9．如圖，長方體的長、寬、高分別是6、3、5，一只螞蟻要從點爬行到點，則爬行的最短距離是A． B． C．10 D．【解答】解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是8和6，則所走的最短線段是；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是11和3，所以走的最短線段是；第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是9和5，所以走的最短線段是；，三種情況比較而言，第一種情況最短，最短路程，故選：．10．葛藤是一種多年生草本植物，為獲得更多的雨露和陽光，其常繞著附近的樹干沿最短路線盤旋而上．現(xiàn)有一段葛藤繞樹干盤旋2圈升高為，如果把樹干看成圓柱體，其底面周長是，如圖是葛藤盤旋1圈的示意圖，則這段葛藤的長是．A．1.3 B．2.5 C．2.6 D．2.8【解答】解：葛藤繞樹干盤旋2圈升高為，葛藤繞樹干盤旋1圈升高為，如圖所示：．這段葛藤的長．故選：．11．如圖，在長為3，寬為2，高為1的長方體中，一只螞蟻從頂點出發(fā)沿著長方體的表面爬行到頂點，那么它爬行的最短路程是A． B． C． D．【解答】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得；（2）展開前面上面由勾股定理得；（3）展開左面上面由勾股定理得．所以最短路徑的長為．故選：．12．如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，點離點的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短路程是A． B．5 C． D．【解答】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖長方體的寬為2，高為4，點離點的距離是1，；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖長方體的寬為2，高為4，點離點的距離是1，；只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖長方體的寬為2，高為4，點離點的距離是1，；，螞蟻爬行的最短距離是5．故選：．13．如圖，圓柱的底面半徑為，是底面圓的直徑，點是上一點，且，一只螞蟻從點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點的最短距離是A． B． C． D．【解答】解：側(cè)面展開圖如圖所示：圓柱的底面半徑為，圓柱的底面周長為，．在中，．故選：．14．如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階上兩個相對的端點，點處有一只螞蟻，想到點處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點的最短路程為A．15 B．17 C．20 D．25【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為，寬為，則螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到點最短路程為，由勾股定理得：，解得．故選：．15．如圖，長方體長為8，寬為10，高為6，已知點與點距離為2，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是．【解答】解：如圖（1）；（2）；（3）．，需要爬行的最短距離是，故答案為：．16．如圖，一個正方體木箱子右邊連接一個正方形木板，甲螞蟻從點出發(fā)，沿，，三個面走最短路徑到點；同時，乙螞蟻以相同的速度從點出發(fā)，沿，兩個面走最短路徑到點．請你通過計算判斷哪只螞蟻先到達(dá)目的地？【解答】解析展開，，與在同一平面內(nèi)，如圖所示．由題意可知，甲螞蟻走的路徑為，．乙螞蟻走的路徑為，．因為，所以，故乙螞蟻先到達(dá)目的地．17．如圖，圓柱形容器的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿與蚊子相對的點處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離．【解答】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點，連接交于，則即為最短距離．高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿與蚊子相對的點處，，，在直角△中，．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為．18．如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于、、，和是這兩個臺階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點的最短路線有多長？【解答】解：將臺階展開，如下圖，因為，，所以，所以，所以螞蟻爬行的最短線路為．答：螞蟻爬行的最短線路為．19．如圖，是放在地面上的一個無蓋的長方形盒子，長、寬、高分別是，，．一只螞蟻想從盒底的點沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c，你能幫螞蟻設(shè)計一條最短的路線嗎？螞蟻要爬行的最短行程是多少？【解答】解：（1）如圖1所示：，如圖2所示：．，螞蟻沿著正面和右面爬行即可；螞蟻爬行的最短路程是．20．（1）如圖1，長方體的長為，寬為，高為．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為，寬為，高為．現(xiàn)有一只螞蟻從點處沿長方體的表面爬到點處，求它爬行的最短路程．（3）若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離底部的點處有一飯粒，此時