高考物理核心高頻考點專題備考專題44 帶電粒子在有界磁場中運動的臨界極值問題（解析版）

專題44帶電粒子在有界磁場中運動的臨界極值問題許多臨界問題,題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語對臨界狀態(tài)給以暗示,審題時,一定要抓住這些特定的詞語,挖掘其隱藏的規(guī)律,找出臨界條件。1.臨界極值問題的一般解題流程動態(tài)思維畫臨界軌跡找其圓心確定幾何關(guān)系分析臨界列方程2.分析臨界極值問題常用的四個結(jié)論(1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。(2)當速率v一定時,弧長越長,圓心角越大,則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。(3)當速率v變化時,圓心角大的,運動時間長,解題時一般要根據(jù)受力情況和運動情況畫出運動軌跡的草圖,找出圓心,再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑及圓心角等。(4)在圓形勻強磁場中,當運動軌跡圓半徑大于區(qū)域圓半徑時,入射點和出射點為磁場直徑的兩個端點時,軌跡對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大(所有的弦長中直徑最長)?！镜淅?】[直線有界磁場中運動的臨界極值問題]如圖所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計)以速度v從AC邊的中點O垂直AC邊射入磁場區(qū)域。若三角形的兩直角邊長均為2L，要使粒子從CD邊射出，則v的取值范圍為(????)A.qBLm≤v≤22qBLm B.qBL【答案】C【解析】粒子在磁場中做圓周運動，粒子從CD邊射出磁場的臨界運動軌跡如圖所示：由幾何知識得：r1=L2，r2=(1+2)L，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=mv2r，解得：v=qBrm；v【典例2】[圓形有界磁場中運動的臨界極值問題]利用磁場可以屏蔽帶電粒子。如圖所示，真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為r和3r的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，磁感應(yīng)強度大小為其橫截面如圖所示。一帶電粒子從P點正對著圓心O沿半徑方向射入磁場。已知該粒子的比荷為k，重力不計。為使該帶電粒子不能進入圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，粒子的最大速度為(????)A.kBr B.2kBr C.3kBr D.4kBr【答案】D【解析】由題意知當粒子的運動軌跡與圖中實線圓相切，粒子的速度最大，如圖所示：粒子的軌跡半徑為R，由幾何關(guān)系知：(R+r)2?R2=(3r)2，得R=4r，粒子做圓周運動，洛倫磁力提供向心力，則：qvB=mv2R【典例3】[組合型有界磁場中運動的臨界極值問題]一勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab?為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為(

)A.7πm6qB B.5πm4qB C.4πm3qB【答案】C【解析】對于同種粒子在磁場中運動的時間與速度大小無關(guān)，由在磁場中運動軌跡對應(yīng)圓心角決定，即t=θ2πT。如圖所示，粒子垂直ac，則圓心必在ac直線上。采用放縮法可知，將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大，在r<0.5R和r>1.5R時，粒子將分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場中的軌跡為半圓，運動時間等于半個周期。當0.5R<r<1.5R時，粒子從半圓邊界射出，運動時間顯然大于半個周期；若粒子從ab圓弧邊任意一點e出射，軌跡如圖所示，對應(yīng)的圓心為o1，設(shè)∠o1ce=α，由幾何關(guān)系可知粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角θ=∠co1e=180°+2α，由此可知當α角越大時，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角越大，粒子在磁場中運動的時間越長；由幾何關(guān)系可知當線段ce與半圓ab相切時α角最大，如圖乙所示，此時三角形ceo為直角三角形，可知α角為30°

，

【典例4】[多區(qū)域有界磁場中運動的臨界極值問題]（多選）如圖所示，平面直角坐標系xOy內(nèi)，與x軸成θ=60°角的虛線OM將第一象限分成兩個區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，兩區(qū)域內(nèi)分別存在大小不同，方向均垂直于紙面的勻強磁場(圖中未畫出)。一帶正電的粒子從y軸上的P點以平行于x軸正方向的速度v射入?yún)^(qū)域Ⅰ，一段時間后，該粒子經(jīng)過OM上的Q點并垂直于x軸射入?yún)^(qū)域Ⅱ，偏轉(zhuǎn)后從O點射出區(qū)域Ⅱ。已知入射點P到O點的距離為(3+1)d，不計粒子重力，下列說法正確的是（A.區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強度大小之比為2︰1

B.P、Q兩點之間的距離為d

C.粒子離開O點時，速度與x軸正方向的夾角為120°

D.粒子在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運動的時間為2πd【答案】AD【解析】A、粒子的運動軌連如圖，設(shè)粒子在區(qū)域Ⅰ內(nèi)運動的軌道半徑為r，子在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運動的軌道半徑為R，由圖可知R=2r，設(shè)區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁場磁感應(yīng)強度大小為B1，區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場磁感應(yīng)強度大小為B2，qvB1=mv2r；qvB2=mv2R，聯(lián)立解得B1：B2=2：1，故A正確；B、由圖可知，r+3r=(3+1)d，解得r=d，P，Q兩點間的距離為2d，故B錯誤；C、由圖可知粒子離開【點對點01】如圖所示，真空中狹長區(qū)域內(nèi)的勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里，區(qū)域?qū)挾葹閐，邊界為CD和EF，速度為v的電子從邊界CD外側(cè)沿垂直于磁場方向射入磁場，入射方向跟CD的夾角為θ，已知電子的質(zhì)量為m、帶電荷量為e，為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應(yīng)滿足的條件是(

)A.v>Bedm(1+cos?θ) B.v<【答案】A【解析】由題意可知電子從邊界EF射出的臨界條件為到達邊界EF時，速度與EF平行，軌跡與EF相切，如圖所示，由幾何知識得R+Rcos?θ=d，R=mv0eB，解得v0=Bedm(1+【點對點02】如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點．大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場．若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點分布在三分之一圓周上．不計重力及帶電粒子之間的相互作用．則v2:vA.3:2 B.2:1 C.3:1【答案】C【解析】當粒子在磁場中運動半個圓周時，打到圓形磁場的位置最遠．則當粒子射入的速度為v1，如圖，由幾何知識可知，粒子運動的軌道半徑為r1=Rcos60°=12R；同理，若粒子射入的速度為v2，由幾何知識可知，粒子運動的軌道半徑為r2【點對點03】如圖所示，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，僅在第二象限內(nèi)有垂直于紙面向外的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子在紙面所在平面內(nèi)從A點射入磁場。當粒子速度為v0時，最遠到達y軸上的C點，已知OA=OC=d，則下列說法中正確的是（）A.若粒子從O、C間通過y軸，則其速度一定小于v0

B.若粒子從O、C間通過y軸，則其速度一定大于qBd2m

C.若粒子從O、A間通過x軸，則其速度一定小于qBd2m

D.若粒子通過【答案】B【解析】由題意知，粒子速度為v0時，最遠到達y軸上的C點，可知粒子是垂直于AC連線射入磁場的，其軌跡圓心在AC中點，半徑為22dA.由于粒子進入磁場的方向不確定，所以若粒子從O、C間通過y軸，則其速度不一定小于v0，故A錯誤；BCD.若粒子通過O點，則其軌跡圓心一定在OA的中垂線上，最小半徑為12d，由qvB=mv2r可得，vmin=qBd2m當速度大于qBd2m時，控制射入方向，粒子可以從A、O間或O、C【點對點04】如圖所示，在直角三角形abc區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，∠a=60°，∠b=90°，邊長bc=L。一個粒子源在b點將質(zhì)量為m，電荷量為q的帶負電粒子以大小和方向不同的速度射入磁場，在磁場中運動時間最長的粒子中，速度的最大值是（）A.qBL3m B.3qBL3m C.3【答案】A【解析】粒子帶負電，故由左手定則可知，粒子在磁場中做逆時針圓周運動；又有粒子在磁場中運動，洛倫茲力做向心力，所以有：Bvq=mv2R，那么半徑為：R=mvqB，周期為：T=2πRv=2πmqB；所以，粒子運動周期相等，轉(zhuǎn)過的中心角越大，運動的時間越大；若粒子以和bc邊成α角進入磁場后從bc邊射出磁場，則粒子轉(zhuǎn)過的中心角為2α；若粒子以相同角度α進入磁場，那么粒子從ac邊射出轉(zhuǎn)過的中心角必小于從bc邊射出時轉(zhuǎn)過的中心角；所以，在磁場中運動時間最長的粒子為沿ab邊進入磁場，從bc邊離開磁場的粒子；那么在磁場中運動時間最長的粒子中，運動軌跡與ac邊相切時半徑最大，如圖所示，所以有：L?R=R【點對點05】（多選）如圖所示，P、Q為一對平行板，板長與板間距離均為d，板間區(qū)域內(nèi)充滿勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B，方向垂直紙面向里。一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子(重力不計)，以水平初速度v0從P、Q兩板間左側(cè)中央沿垂直磁場方向射入，粒子打到板上，則初速度v0大小可能為（A.qBd8m B.3qBd4m C.qBdm【答案】BC【解析】根據(jù)洛淪茲力提供向心力有：qvB=mv2r，若粒子恰好打在板左端，即r1=d4，則有：v1=qBd4m；若粒子恰好打在板右端，有：r22=【點對點06】（多選）如圖所示，等腰直角三角形abc區(qū)域內(nèi)(包含邊界)有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B，在bc的中點O處有一粒子源，可沿與ba平行的方向發(fā)射大量速率不同的同種粒子，這些粒子帶負電，質(zhì)量為m，電荷量為q，已知這些粒子都能從ab邊離開abc區(qū)域，ab=2l，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用。關(guān)于這些粒子，下列說法正確的是(????)A.速度的最大值為(2+1)qBlm B.速度的最小值為qBlm

C.在磁場中運動的最短時間為πm【答案】AD【解析】粒子從ab邊離開磁場時的臨界運動軌跡如圖所示：由幾何知識可知：r1=l2，2r2=r2+l解得r2=(1+2)lAB、粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=mv2r解得v=qBrm，則粒子的最大速度為vmax=(2+1)qBlm，粒子的最小速度為vmin=qBl2【點對點07】（多選）如圖所示，在xOy坐標系的第二、三象限內(nèi)有半圓形有界磁場，磁場方向垂直于坐標平面向里，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，半圓的圓心在坐標原點O，半徑為R。在坐標為(?1.5R,0.5R)的P點有一粒子源可以沿x軸正向發(fā)射速率在一定范圍內(nèi)的同種帶負電的粒子，已知粒子的質(zhì)量為m、電荷量為?q，速度最大的粒子剛好不過y軸，速度最小的粒子剛好不過x軸，不計粒子的重力，則下列判斷正確的是（A.粒子最大速度的大小為RqB2m

B.粒子最小速度的大小為RqB4m

C.經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后偏向角為180°的粒子速度的大小為RqB【答案】BD【解析】運動軌跡如圖：A.由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中做圓周運動的最大半徑rm=R2?(12R)2=32R，由牛頓第二定律可知，qυmB=mvm2rm，求得vm=3RqB2m，故A錯誤；B.粒子在磁場中做圓周運動的最小半徑rmin=R【點對點08】如圖所示，半徑為R的半圓區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強磁場，AC為半圓直徑，P為圓弧上一點，圓弧PA長為πR6，在P點沿垂直于AC方向以初速度v0向磁場內(nèi)射入質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，結(jié)果粒子在磁場中的軌跡剛好與AC邊相切，不計粒子的重力，求：(1)勻強磁場的磁感應(yīng)強度大少；(2)改變粒子的速度大小，使粒子出磁場時速度方向豎直向上，則粒子的速度大小為多少?！敬鸢浮拷猓?1)由于圓弧PA長為：πR6=112×2πR

因此，P點和O點的連線與OA的夾角為30°

粒子射入磁場后，軌道剛好與AC相切，軌跡如圖甲所示

根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中做圓周運動的半徑：r1=Rsin30°=12R

根據(jù)牛頓第二定律可知：qv0B=mv02r1

解得：B=2mv0【點對點09】如圖所示，在正六邊形ABCDEF的內(nèi)切圓范圍內(nèi)存在著方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小可以調(diào)節(jié)，正六邊形的邊長為l，O為正六邊形的中心點，M、N分別為內(nèi)切圓與正六邊形AB邊和BC邊的切點。在M點安裝一個粒子源，可向磁場區(qū)域內(nèi)沿著垂直磁場的各個方向發(fā)射比荷為qm、速率為v的粒子，不計粒子重力。

(1)若沿MO方向射入磁場的粒子恰能從N點離開磁場，求勻強磁場的磁感應(yīng)強度B0的大小(2)若勻強磁場的磁感應(yīng)強度的大小調(diào)節(jié)為B′=3mv【答案】解：(1)粒子以速率v沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，其運動軌跡如圖1中的實線MN

由幾何條件可知，磁場圓的半徑為R=32l

設(shè)粒子的運動軌跡半徑為r1，∠MON為θ，則tanθ2=

tanπ6(2)當磁感應(yīng)強度變化后，大量此類粒子從M點射入磁場，由牛頓第二定律有qvB′=mv2r2

解得r2=3l

粒子在磁場中運動時間最長時，弧長(劣弧)最長，對應(yīng)的弦長最長(磁場圓的直徑)，其運動軌跡如圖2中的實線MP

由幾何關(guān)系得α=π【點對點10】科學儀器常常利用磁場將帶電粒子“約束”在一定區(qū)域內(nèi)，使其不能射出．某同學為探究帶電粒子“約束”問題，構(gòu)想了如圖所示的磁場區(qū)域：勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B、垂直于紙面，其邊界分別是半徑為R和2R的同心圓，O為圓心，A為磁場內(nèi)在圓弧上的一點，P為OA的中點．若有一