山西省三重教育2023屆高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★啟用前（新高考卷）數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知復數(shù)，滿足，，則A． B． C． D．63．已知一個足球場地呈南北走向．在一次進攻時，某運動員從A點處開始帶球沿正北方向行進16米到達B處，再轉(zhuǎn)向北偏東60°方向行進了24米到達C處，然后起腳射門，則A，C兩點的距離為A．米 B．米 C．32米 D．米4．已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，點在C上，過P作l的垂線，垂足為O，若（O為原點），則F到l的距離為A．1 B．2 C．4 D．65．有一個棱柱形狀的石料，底面是邊長為6的等邊三角形，該石料側(cè)棱垂直于底面，若可以將該石料打磨成四個半徑為的石球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為A． B． C． D．6．已知向量，，其中．若，則A． B． C． D．7．現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為A．3.5 B．4 C．4.5 D．58．已知橢圓M：的上頂點為A，過點A且不與y軸重合的直線l與M的另一個交點為（其中），過B作l的垂線，交y軸于點C．若，則l的斜率k=A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．已知等比數(shù)列的公比為，前n項積為，若，則A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且存在，使得在上單調(diào)遞增，則下列選項正確的是A．的最小正周期 B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象不可能關于點對稱 D．函數(shù)在內(nèi)不存在極值點11．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點（其中A在B的左側(cè)），記面積為S，則A． B．時，C．S的最大值為 D．當時，12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．若在R上單調(diào)遞增，則B．若，設的解集為，則C．若有兩個極值點，，且，則D．若，則過僅能做曲線的一條切線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．A，B兩籃球運動員在球衣號分別為6，8，9，18的四件球衣中各隨機選一件，則A選的是偶數(shù)號球衣的不同選法共有種．14．已知直線過定點，則的最小值為．15．若在圓C：上存在一點P，使得過點P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為．16．若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的周長為6．（1）證明：；（2）求△ABC面積的最大值．18．（12分）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，，，且．（1）若，求的前n項和；（2）若為等比數(shù)列，且不為等比數(shù)列，求的值．19．（12分）一對夫要計劃進行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛，且約定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人駕車，另一人休息；②若前一天由丈夫駕車，則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為，由妻子駕車的概率為；③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．（1）求在剛開始的三天中，妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學期望；（2）設在第n天時，由丈夫駕車的概率為，求數(shù)列的通項公式．20．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，，，．（1）證明：；（2）求二面角A-PC-B的余弦值．21．（12分）已知雙曲線C：的焦距為8．過左焦點F的直線與C的左半支交于A，B兩點，過A，B作直線l：的垂線，垂足分別為M，N，且當AB垂直于x軸時，．（1）求C的標準方程；（2）設點，判斷是否存在，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．22．（12分）設函數(shù)，其中，．（1）若，且在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，求t的最小值：（2）證明：對任意正數(shù)a，b，僅存在唯一零點．絕密★啟用前（新高考卷）數(shù)學參考答案1．【答案】A【解析】易知，因為，所以，所以．2．【答案】C【解析】因為，所以．3．【答案】D【解析】由題意可知，，則．4．【答案】C【解析】因為，所以，即，所以F到l的距離為4．5．【答案】B【解析】易知該石料底面內(nèi)切圓半徑為，所以打磨而成的石球，與該石料的各個側(cè)面均相切，因為最多打磨成四個，所以該石料的高度最小值為，所以該石料的體積，又四個石球的總體積，所以至少需要打磨掉的體積為．6．【答案】B【解析】因為，所以，所以，即，其中，，所以，所以．【另解】易解得，，則．7．【答案】D【解析】設甲組數(shù)據(jù)為，，…，，乙組數(shù)據(jù)為，，…，，則，，，，所以新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新數(shù)據(jù)的方差．8．【答案】C【解析】由條件得直線AB的斜率，設，直線CB的斜率，因為，所以，即，又因為B在橢圓上，所以，即，所以，又因為，則消去，解得，即點C坐標為，所以，將代入，整理得，解得，即，所以．9．【答案】AC【解析】因為，所以，又，所以，所以，即，即A正確，B錯誤；因為，所以，因為，所以，即C正確，D錯誤．10．【答案】AC【解析】因為，所以，即A正確；因為，圖象關于點對稱，所以在上不是單調(diào)遞增，即B錯誤；因為，且，，所以函數(shù)的圖象不可能關于點對稱，即C正確；當，，又，且，所以函數(shù)在內(nèi)存在極小值，即D錯誤．11．【答案】ACD【解析】由對稱性可知，，所以，即A正確；設，，則x，，，且，所以，解得，即B錯誤；易知，又，所以，當且僅當時，上述等號成立，即C正確；設，，則，由余弦定理，可知，所以，所以，所以，即，代入橢圓，解得，所以，即D正確．12．【答案】ACD【解析】，則，令，解得，易知，若在R上單調(diào)遞增，則，所以，即A正確；因為，所以當時，，又，所以存在，使得，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，因為，所以，則當時，，所以，所以，即B錯誤；由B項過程可知，當時，僅有一個極值點，不符題意，當時，易知在上恒成立，且當時，，由A項過程可知，，所以，即，此時存在，，使得，即，設，則，所以，解得，設，由可知，，所以單調(diào)遞減，且，，所以，所以，所以，即C正確；當時，，則，設切點為，則切線方程為，因為切線過，所以，即，設，則，令，解得或，易知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，又，所以存在唯一的，使得，所以過僅能做曲線的一條切線，即D正確．13．【答案】9【解析】A選的是偶數(shù)號球衣的不同選法種數(shù)是，B只能從剩下的三件球衣中選取，有種不同選法，所以A，B所選球衣中A選的是偶數(shù)號球衣的不同選法為．14．【答案】【解析】因為直線過，所以，所以，當且僅當，時，上述等號成立．15．【答案】【解析】因為切線長為，所以，所以圓C與以M為圓心，以為半徑的圓有公共點，又，所以，解得．16．【答案】【解析】設公切線與曲線的切點為，與曲線的切點為，因為，，所以在處的切線方程為，同理可得，在處的切線方程為，由題意可知，，即，因為，所以，所以，即，消去，整理得，設，，則，令，解得，易知，又，所以．17．【解析】（1）因為，且，所以，展開整理得，命題得證；（2）因為，所以，所以或，即或，又，所以，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即△ABC面積的最大值為．18．【解析】（1）因為，所以，所以，即數(shù)列為等差數(shù)列，公差，所以；（2）設的公比為q，因為，所以，所以，即，因為不為等比數(shù)列，所以不是常數(shù)，所以，．19．【解析】（1）設妻子駕車的天數(shù)為隨機變量X，則X可能取值為0，1，2，則，，，則；（2）【方法一】易知，，且，所以，又，所以，由累加法可知，【方法二】根據(jù)題意有，，即，設，則，所以，故20．【解析】（1）如圖，作，垂足為O，連接CO，因為，且，所以△PBO是等腰直角三角形，又，所以，又，，，由余弦定理可知，所以，即，又，OP，平面POC，所以OB⊥平面POC，又平面POC，所以，即；（2）【方法一】因為平面PAB⊥平面ABC，且平面平面，，平面PAB，所以PO⊥平面ABC，又平面ABC，所以，以O為原點建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz，則，，，，所以，，，設平面APC的法向量為，則，取，則，所以，設平面BPC的法向量為，則，取，則，所以，設二面角B-PC-A為θ，由圖可知，θ為銳角，所以【方法二】設線段PC中點為D，分別連接OD，AD，BD．由（1）知，，∴．根據(jù)條件可得，，∴，∴．∵，∴．∴∠ADB就是二面角A-PC-B的平面角．又，，在△ABD中，由余弦定理得，所以，二面角A-PC-B的余弦值為．21．【解析】（1）由題意可知，，即，所以，設，，則，，當AB與x軸垂直時，因為，則，所以，解得，，即雙曲線C的標準方程為．（2）由（1）可知，，，設直線AB：，因為直線AB與雙曲線左支相交于兩點，所以，與C的方程聯(lián)立，，消去x，整理得，所以，，所以，因為，所以，且，所以．同理可得．所以，整理得，所以，整理得，因為為定值，所以或，解得或22．【解析】（1）當時，，則，設，則，令，解得或，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，當時，存在，，，使得，及，易知在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，即不符題意，當時，在上恒成立，則存在，使得