新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第20講數(shù)列的通項(xiàng)公式教師版

第20講數(shù)列的通項(xiàng)公式一．選擇題（共7小題）1．（2021春?赤坎區(qū)校級月考）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，2，3，，則它的通項(xiàng)公式是A．100 B． C．101 D．【解答】解：，，，又，，即，，即，又，，，故選：．2．（2021?廬山區(qū)校級期中）已知數(shù)列，，滿足：，若是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和是A． B． C． D．【解答】解：數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，，，，兩式相減得：，，當(dāng)時(shí)，，即滿足上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，，數(shù)列的前項(xiàng)的和，①，②，故選：．3．（2021?黃州區(qū)校級二模）數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為A． B． C． D．【解答】解：依題意，由，可得，故．，，，．各項(xiàng)相加，可得，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則．故選：．4．（2021?天水校級期末）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為A． B． C． D．【解答】解：①②，①②得：，即：，所以，所以故選：．5．（2021春?麗水期末）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的最小項(xiàng)為A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以：；又；所以：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列；故；；；；上面等式相乘可得：；又；，；當(dāng)時(shí)符合等式；故，因?yàn)闉檎麛?shù)，故當(dāng)或4時(shí)，數(shù)列取最小項(xiàng)為；故選：．6．（2021?福州一模）已知數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，所以，所以，令，則，兩邊取對數(shù)得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．所以，所以：，即，從而，將代入，解得：，故選：．7．（2021?德州期末）對于數(shù)列，規(guī)定△為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△，對自然數(shù)，規(guī)定△為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中△△△．若，且△△，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題中定義，可得，即，即，等式兩邊同時(shí)除以，得，且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，．故選：．二．填空題（共5小題）8．（2021?廣西月考）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則．【解答】解：，，，，，是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，即．故答案為：．9．設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，2，3，，則，．【解答】解：，2，3，，，又，，，，，，故答案為：；．10．（2021?山東月考）已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足，則；．【解答】解：（1）數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足，，解得．（2）時(shí)，，化為：，．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為2．．．故答案為：，．11．（2021?重慶模擬）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和．【解答】解：依題意，由，，可得．?dāng)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，．，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．，．．．故答案為：．12．（2021?江西月考）已知數(shù)列滿足，．記，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值為0．【解答】解：，，可得，，即有，即，若，可得，不成立，則，且，可得，同號，則，可得，則，故答案為：0．三．解答題（共35小題）13．（2021?浙江月考）已知數(shù)列的各項(xiàng)都不為零，其前項(xiàng)和為，且滿足：．（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在滿足題意的無窮數(shù)列，使得？若存在，求出這樣的無窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）數(shù)列的各項(xiàng)都不為零且滿足①，解得（2分）②，②①得，整理得到，（5分）是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，．（7分）（2）根據(jù)（1），，可得或，（11分）從第二項(xiàng)開始每一項(xiàng)都有兩個(gè)分支，通項(xiàng)為的數(shù)列滿足題意，使得（其他符合的答案類似給分）．（15分）14．（2021?迎澤區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的值．【解答】解：（1），，，變形為：，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為4，，．．（2）．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和．．．15．（2021?殷都區(qū)校級月考）（1）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由，，得，，，，累加得：．上式成立，；（2）．16．（2021?湖南模擬）在正項(xiàng)數(shù)列中，，，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由，可得．，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，由于，可得；（2），則前項(xiàng)和．17．（2021?重慶三模）已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若____，求的前項(xiàng)和，并求的最小值．從以下所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問題的橫線上，并解答此問題．①數(shù)列滿足：，；②數(shù)列的前項(xiàng)和；③數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則由，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，所以，所以，所以．（2）選擇①：因?yàn)椋?，所以，所以；；；；所以，?dāng)時(shí)也成立．所以，所以，因?yàn)槭沁f增的，所以的最小值為，選擇②：由可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)亦滿足此關(guān)系，所以所以所以，，所以，因?yàn)槭沁f增的，所以的最小值，選擇③：因?yàn)?，所以，兩式相減得，即，所以而，即所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由于，故，由在為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．18．（2021春?萊蕪區(qū)校級月考）在數(shù)列中，，．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】證明：（1）數(shù)列中，，．整理得（常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；故，則，解：（2）由于，故．19．（2021?河西區(qū)二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足，是和的等比中項(xiàng)．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求；【解答】解：（1），，兩式相減，整理得：，當(dāng)時(shí)，有，解得，數(shù)列是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，．設(shè)數(shù)列的公差為，，是和的等比中項(xiàng)，，即，解得或2，公差不為0，，故；（2），；（3），，．20．（2021?葫蘆島月考）在數(shù)列中，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）證明：數(shù)列中，，可得，數(shù)列為首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列，可得，則；（2），則前項(xiàng)和，，相減可得，化簡可得．21．（2021?秦州區(qū)校級月考）已知數(shù)列中，，．（1）令，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（3）為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【解答】解：（1）證明：數(shù)列中，，．所以，所以（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（2）由于數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以，由于，所以．（3）由于，所以．22．（2021?西城區(qū)校級月考）數(shù)列中，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?，，所以，，．（Ⅱ）因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．，即．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是．（Ⅲ）數(shù)列的前項(xiàng)和．23．（2021?赫山區(qū)校級期中）已知數(shù)列中，，．（1）求證是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；【解答】解：（1）證明：，，可得，可得是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即有，可得；（2）前項(xiàng)和，可得．24．（2021?沈陽月考）在等差數(shù)列中，已知，公差，其前項(xiàng)和滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式．【解答】解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，又，則，解得，所以等差數(shù)列的公差，所以；（2）由（1）可知，則；所以，兩式相減得，則，所以．25．（2021?五華區(qū)校級月考）已知數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，，求正整數(shù)的最小值．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，由已知，得，所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．所以，所以，所以．（6分）（2）令，，因?yàn)椋?）（3），（4）（4），由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的不同增長模型可得：時(shí)，，所以正整數(shù)的最小值為4．（12分）26．（2021?湖南月考）已知在數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由，得，所以，又滿足上式，所以；（2）由（1）可知，則，所以．27．（2021?青羊區(qū)校級開學(xué)）在①，，成等差數(shù)列，且；②，且；③為常數(shù)）從這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并給出解答．問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為_____，其中．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】（1）若選①，，成等差數(shù)列，且．問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，其中，，成等差數(shù)列，其中．解：，，成等差數(shù)列，其中．，化為：，，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，．若選②，且．問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，其中．解：，化為：，，，即，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，．若選③為常數(shù)）．問題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，為常數(shù)），其中．解：由，為常數(shù)），其中．取，可得：，，化為：，解得．時(shí)，，相減可得：，即，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，．（2）解：，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，，，化為：．28．（2021?明山區(qū)校級月考）在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1），，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，時(shí)，，，又，滿足上式，當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)也滿足，，，（2），．29．（2021?邯鄲開學(xué)）在數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由，，可得，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為2的等差數(shù)列，可得；（2），所以．30．（2021?全國Ⅰ卷月考）已知數(shù)列中，，且滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求滿足的的最小值．【解答】（1）證明：因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．（2）因?yàn)?，所以，解得，所以滿足的的最小值為10．31．（2021?天河區(qū)月考）已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，且對任意，都有．（1）求、、，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1），對任意，都有．時(shí)，，解得；時(shí)，，解得；時(shí)，，解得．時(shí)，，化為：，，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，．（2）時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和；時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和．．32．（2021春?雅安期末）已知數(shù)列中，，．（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列，滿足．（ⅰ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ⅱ）若不等式對一切恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）證明：由，得，則，又，得，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故，即；（2）（?。┯桑?）可知；則，所以；，兩式相減得，所以；（ⅱ）由（?。┑茫詫σ磺泻愠闪?，令，則是遞增數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，又，所以，綜上所述，的取值范圍是．33．（2021?遂寧模擬）已知數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【解答】解：數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，解得；兩邊同除以，整理得（常數(shù)），故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；所以，整理得．（2）由（1）得：，所以①，②，①②得：，整理得．34．（2021?北京月考）已知數(shù)列中，，且且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的所有正整數(shù)的值．【解答】解：（1）因?yàn)榍?所以,則,上式對也成立，故；（2）等價(jià)為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,令,其前項(xiàng)和為,則有,,,故,,,當(dāng)時(shí)，,則有,綜上可得,不等式成立的或2．35．（2021?溧陽市期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，數(shù)列滿足，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明列數(shù)是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)數(shù)列滿足對任意的成立的值．【解答】解：（1）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也適合，的通項(xiàng)公式為（2）其首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列（3）由（2）得由題意得36．（2021春?長陽縣校級期中）已知數(shù)列中，，，，（Ⅰ）證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（Ⅰ），，又，數(shù)列是以7為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，；，，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，；．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，，，，，37．已知在數(shù)列中，，，．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若且，，是否存在直線，使得當(dāng)，，成等差數(shù)列時(shí)，點(diǎn)列，在上？若存在，求該直線的方程并證明；若不存在，請說明理由．【解答】（1）解：，，又，數(shù)列是以2為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，，，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，；（2）結(jié)論：存在滿足條件的直線．理由如下：假設(shè)，，成等差數(shù)列，則，，整理得：，依題意，且，，下面對、進(jìn)行討論：①若、均為偶數(shù)，則，解得：，與且，矛盾，舍去；②若為奇數(shù)、為偶數(shù)，則，解得：；③若為偶數(shù)、為奇數(shù)，則，解得：，與且，矛盾，舍去；④若、均為奇數(shù)，則，解得：，與且，矛盾，舍去；綜上①②③④，只有當(dāng)為奇數(shù)、為偶數(shù)時(shí)，，，成等差數(shù)列，此時(shí)滿足條件點(diǎn)列，落在直線在上．38．（2021春?內(nèi)江期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時(shí)，．（1）計(jì)算：，；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）令，得，又，所以；令，得，所以．（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，于是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，故．（3）因?yàn)?，則，于是，．39．（2021春?新津縣校級月考）已知數(shù)列中，，且．（1）求，的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求并比較與的大?。窘獯稹拷猓海?）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由累加法得，因?yàn)?，所以時(shí)，有，即，又時(shí)，，故．（2）時(shí)，，則．記函數(shù)，所以，則，所以．由于，此時(shí)，，此時(shí)，，此時(shí)，由于，故時(shí)，（3），此時(shí)．綜上所述，當(dāng)，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．40．（2021春?廣東期中）已知數(shù)列滿足，且，．（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意都成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1），，數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，，，，故數(shù)列是等差數(shù)列，．（2）．（3），，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故．41．（2008?深圳二模）已知數(shù)列滿足，．（Ⅰ）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？若不是，請說明理由；若是，試求出通項(xiàng)．（Ⅱ）如果時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．試求出，并證明．【解答】解：（Ⅰ），．令，則．分，當(dāng)時(shí)，，則．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列．當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列．分當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為2．，即．解得．分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，．令，①則，②由①②：，，分則．分，當(dāng)時(shí)，，則．分，則．分因此，．分．42．（2021?南城縣校級月考）設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：．等比數(shù)列滿足：．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)，有．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，而即當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)也成立，．．．解：．，（1），（2），（1）（2）得，．（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，，43．（2021春?壽縣校級月考）設(shè)數(shù)列滿足：，．令．（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，求證：．【解答】證明：（1）由，得，代入得，，，，是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，（2）法一：由（2）得法二：同理由44．（2021?北侖區(qū)校級期中）已知數(shù)