新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第30講長(zhǎng)方體四面體旋轉(zhuǎn)體模型教師版

第30講長(zhǎng)方體，四面體，旋轉(zhuǎn)體模型一．選擇題（共18小題）1．（2021?天津校級(jí)期中）空間四邊形的兩條對(duì)角線，的長(zhǎng)分別為4，5，則平行于兩條對(duì)角線的截面四邊形在平移過(guò)程中，其周長(zhǎng)的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，設(shè)，，，，周長(zhǎng)．又，周長(zhǎng)的范圍為．故選：．2．（2021?余姚市校級(jí)模擬）在正四面體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，，分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則能使點(diǎn)的軌跡是圓的條件是A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，正四面體中，取、、、的中點(diǎn)、、、，因?yàn)?、分別是棱，的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)也為定點(diǎn)；由對(duì)稱性知，和的中點(diǎn)都在中截面上；由，所以；又在正四面體中，對(duì)棱垂直，所以；所以，即；若點(diǎn)的軌跡是以為圓心的圓，則為定值．故選：．3．（2021?浙江開(kāi)學(xué)）在正四面體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，，分別是直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡圍成的區(qū)域的面積是A． B． C． D．【解答】解：在正四面體中，取，，，的中點(diǎn)，，，，如圖所示，因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以的中點(diǎn)也為定點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，和的中點(diǎn)都在中截面（正方形）上，由，所以，設(shè)，在中截面上的投影分別為，，所以，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，作，，如圖所示，則，因?yàn)?，所以，取，則，兩式相減可得，過(guò)點(diǎn)作，所以，所以，所以的中點(diǎn)在上，同理的中點(diǎn)在，，上，因?yàn)?，故定點(diǎn)的軌跡是邊長(zhǎng)為的正方形，所以其軌跡圍成的區(qū)域的面積為．故選：．4．（2021?3月份模擬）在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，為正四面體中心（滿足，若，則長(zhǎng)度為A． B． C．3 D．2【解答】解：將正四面體放在棱長(zhǎng)為4的正方體中，則，為正方體的中心，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，所以，，連結(jié)，設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)，，，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，，同理可得，，，因?yàn)?，所以，則，即，所以，則，因?yàn)?，所以，又，，，，平面，所以平面，又平面，所以，在中，．故選：．5．（2021春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在中，，．若平面外的點(diǎn)和線段上的點(diǎn)滿足，，則四面體的體積的最大值為A． B． C． D．1【解答】解：由題意可知，，可以看成是繞軸旋轉(zhuǎn)形成的．點(diǎn)在邊上每選定一個(gè)位置，則底面的面積就為定值，此時(shí)，當(dāng)平面垂直于底面時(shí)，四面體的體積就取得最大值．此時(shí)過(guò)點(diǎn)作的垂線，則該垂線即為三棱錐的高，且高等于中邊上的高線，如圖所示．在中，，，則．設(shè)，則．在中，由余弦定理，可得．，，所以四面體的體積，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即，即點(diǎn)為邊的中點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為．故選：．6．（2021?河南二模）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)在面上的射影在直線上，當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到，則所形成軌跡的長(zhǎng)度為A． B． C． D．【解答】解：由題意，將沿折起，使平面平面，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足，由翻折的特征知，連接，則，故點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓上一弧，根據(jù)長(zhǎng)方形知圓半徑是，如圖當(dāng)與重合時(shí)，，取為的中點(diǎn)，得到是正三角形．故，，其所對(duì)的弧長(zhǎng)為，故選：．7．（2021春?鹿城區(qū)校級(jí)月考）單位正方體內(nèi)部或邊界上不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四面體體積的最大值為A． B． C． D．【解答】解：要使四面體的體積最大，則四面體的四個(gè)頂點(diǎn)應(yīng)該在正方體的表面上，了敘述方便，把此時(shí)的四面體稱為正方體的內(nèi)接四面體，記正方體的外接球?yàn)榍?，由題意知正方體的內(nèi)接四面體體積的最大值不大于球的內(nèi)接四面體的體積的最大值，球的內(nèi)接四面體以正四面體的體積最大，此時(shí)正四面體恰好是正方體的內(nèi)接四面體，正方體為1時(shí)，內(nèi)接正四面體的體積為．故選：．8．（2021?桐鄉(xiāng)市一模）如圖，已知，為的角平分線，沿直線將翻折成△，所成二面角的平面角為，則A．， B．， C．， D．，【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，，②當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)投影在上，，連結(jié)，，，，即‘．綜上，，．故選：．9．（2021?上海模擬）已知矩形，，，將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中A．存在某個(gè)位置，使得直線和直線垂直 B．存在某個(gè)位置，使得直線和直線垂直 C．存在某個(gè)位置，使得直線和直線垂直 D．無(wú)論翻折到什么位置，以上三組直線均不垂直【解答】解：對(duì)于，若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，，平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，則在上，當(dāng)在平面上的射影在上時(shí)，．故正確；對(duì)于，若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，作，則平面，，顯然這是不可能的，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，則平面，，，即，顯然這是不可能的，故錯(cuò)誤．故選：．10．（2021?榆社縣校級(jí)期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，沿直線將翻折成△，使二面角為直角，點(diǎn)，分別在線段，上，沿直線將四邊形向上折起，使與重合，則線段A． B． C．1 D．2【解答】解：設(shè)，翻折后，與重合，，，，，，，取的中點(diǎn)，連接，二面角為直角，，，平面，在中，，，，由余弦定理可得，，，，，解得，故選：．11．（2021?滑縣期末）在直三棱柱中，若，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C．0 D．【解答】解：如圖所示，把直三棱柱，補(bǔ)為正方體．由正方體的性質(zhì)可得：．異面直線與所成角的余弦值為0．故選：．12．（2021?浙江月考）設(shè)點(diǎn)是長(zhǎng)方體的棱的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在面上，若平面分別與平面和平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)的軌跡為A．橢圓的一部分 B．拋物線的一部分 C．一條線段 D．一段圓弧【解答】解：建系，如圖，設(shè)，5，，，0，，，0，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，則，故，而平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，，即，即，為一個(gè)平面，故點(diǎn)的軌跡為一條線段．故選：．13．（2021?海淀區(qū)校級(jí)月考）若空間中四條兩兩不同的直線，，，，滿足，，，則下列結(jié)論一定正確的是A．一定與垂直 B．一定與平行 C．一定與共面 D．與的位置關(guān)系可能是平行，相交，或異面【解答】解：如圖所示，與的位置關(guān)系可能是平行，相交，或異面．故選：．14．（2021?百色模擬）如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得異面直線與成的角，則線段長(zhǎng)的取值范圍是A． B．， C．， D．，【解答】解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，1，，，2，，，0，，設(shè)，0，，，，，則，0，，1，，，，，，異面直線與成的角，，，，，解得，，，線段長(zhǎng)的取值范圍是，．故選：．15．（2021?寧波二模）在正四面體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）．設(shè)與平面所成角為，與平面所成角為，與平面所成角為，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，由選項(xiàng)可知，該題可以使用特殊值法，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，取為的中點(diǎn)，連接，，則，，又，平面，則，由平面，平面，則平面平面，且平面平面，則，由余弦定理可得，，設(shè)底面中心為，過(guò)作，則底面，．則．．，．故選：．16．（2021?平湖市模擬）已知矩形中，，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），現(xiàn)將沿直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中不可能成立的是A．存在某個(gè)位置，使直線與垂直 B．存在某個(gè)位置，使直線與垂直 C．存在某個(gè)位置，使直線與垂直 D．存在某個(gè)位置，使直線與垂直【解答】解：設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，直線與垂直，，當(dāng)時(shí)，直線與垂直，，當(dāng)時(shí)直線與垂直，所以在翻折的過(guò)程中不可能成立的是：存在某個(gè)位置，使直線與垂直，故選：．17．（2021?越城區(qū)校級(jí)期末）已知在矩形中，，，，分別在邊，上，且，，如圖所示，沿將四邊形翻折成，則在翻折過(guò)程中，二面角的大小為，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解：過(guò)作的垂線交與，交于，于，設(shè)在平面內(nèi)的投影為，則在直線上，過(guò)作的垂線，垂足為，則為二面角的平面角，設(shè)由題意，，由，，，，，令，可得解得，所以；故選：．18．（2021春?浙江月考）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)在平面上，棱與平面所成的角為，點(diǎn)在平面上的射影為，正方體繞直線旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)直線與所成角最小時(shí)，側(cè)面在平面上的投影面積為A． B． C． D．2【解答】解：依題意，顯然當(dāng)平面平面時(shí)，能使直線與所成角最小，此時(shí)直線平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，平面，所以為二面角的平面角，又，所以平面在平面上的投影面積．故選：．二．多選題（共4小題）19．（2021春?濱湖區(qū)校級(jí)期中）已知正方體，下列命題正確的是A．正方體的12條棱所在的直線中，相互異面的有24對(duì) B．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)作為四面體的頂點(diǎn)，可得到64個(gè)不同的四面體 C．從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為的共有36對(duì) D．若給正方體每個(gè)面著一種顏色且相鄰兩個(gè)面不同色，有4種顏色可供選擇，則不同著色方法共有96種【解答】解：先找出與棱所在直線異面其它棱所在直線：，，，共4條，相互異面的共（對(duì)，故對(duì)；從8個(gè)頂點(diǎn)取4個(gè)頂點(diǎn)的組合數(shù)為：，由正方體的6個(gè)面和6個(gè)對(duì)角面可知四點(diǎn)共面的情況有12種組合，可得到（個(gè)不同的四面體，故錯(cuò)；與面對(duì)角線成的面對(duì)角線有：，，，，，，，共8條，所有面對(duì)角線構(gòu)成共對(duì)，故錯(cuò)；當(dāng)用3種顏色時(shí)，所有相對(duì)面顏色相同，有（種方法．當(dāng)用4種顏色時(shí)，有2組對(duì)面顏色相同，有．共（種涂色方法，故對(duì)．答案故選：．20．（2021?大連期末）如圖所示，已知平面四邊形，，，，，沿直線將翻折成△，下列說(shuō)法正確的是A． B． C．直線與成角余弦的最大值為 D．點(diǎn)到平面的距離的最大值為【解答】解：如圖：由平面四邊形，，，，，取中點(diǎn)為，則，，，故．取為基底向量，由已知得，，設(shè)．結(jié)合圖形以及誘導(dǎo)公式可知：（當(dāng)半平面與半平面反向時(shí)取最小值，同向時(shí)取最大值）．故，故對(duì)；，故錯(cuò)；，，設(shè)直線與成角余弦為，則，當(dāng)時(shí)，分母最小，故的值最大為，故正確；當(dāng)點(diǎn)繞著轉(zhuǎn)到，即時(shí)，點(diǎn)到平面的距離小于或等于，結(jié)合，可知平面，而此時(shí)，有，故平面不存在，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．21．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面．在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，為垂足．設(shè)，則的取值可以是A． B． C． D．1【解答】解：設(shè)，，則，，平面平面，平面平面，平面，平面，，由勾股定理知，，，，，化簡(jiǎn)整理得，，在上單調(diào)遞增，，故的取值范圍為，．故選：．22．（2021?番禺區(qū)期末），為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論中正確的是A．當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角 B．當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角 C．直線與所成角的最小值為 D．直線與所成角的最小值為【解答】解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，直線的方向單位向量，1，，，直線的方向單位向量，0，，，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，其中為與的夾角，，，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，，，，，設(shè)與所成夾角為，，則，，，，正確，錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為，，，當(dāng)與夾角為時(shí)，即，，，，，，，此時(shí)與的夾角為，正確，錯(cuò)誤．故選：．三．填空題（共6小題）23．（2021?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，這對(duì)對(duì)角線所成的角為的概率為．【解答】解：在正方體中，與上平面中一條對(duì)角線成的直線有8條，而正方體有12條對(duì)角線，所以共有（對(duì)對(duì)角線所成角為，而有一半是重復(fù)的，所以從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為的共有48對(duì)，所以概率為．故答案為：．24．（2021春?桃城區(qū)校級(jí)月考）若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，，，則①③④．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）①四面體每個(gè)面的面積相等②四面體每組對(duì)棱相互垂直③連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分④從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)都可以作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)【解答】解：由題意可知四面體為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線組成的三棱錐，如圖所示；由四面體的對(duì)棱相等可知四面體的各個(gè)面全等，它們的面積相等，則①正確；當(dāng)四面體棱長(zhǎng)都相等時(shí)，四面體的每組對(duì)棱互相垂直，則②錯(cuò)誤；由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知四面體的對(duì)棱中點(diǎn)連線必經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方體的中心，由對(duì)稱性知連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分，則③正確；由，，，可得過(guò)四面體任意一點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)為的三邊長(zhǎng)，則④正確．故答案為：①③④．25．（2021?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知三棱柱的底面的三邊長(zhǎng)分別是，，，側(cè)棱且與底面所成角為，則此三棱柱的體積為．【解答】解：由，，，得，則是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，．又側(cè)棱且與底面所成角為，到底面的距離為，即三棱柱的高為．此三棱柱的體積為．故答案為：．26．（2021?3月份模擬）在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，為正四面體中心（滿足，若，則長(zhǎng)度為．【解答】解：如圖，將正四面體放置在棱長(zhǎng)為4的正方體中，則，為正方體的中心，設(shè)、分別是、的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，，，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，為的中位線，，，同理，，，，，，即，則，，，，，，，平面，可得，在中，．故答案為：．27．（2021春?西城區(qū)校級(jí)期末）已知，是異面直線．給出下列結(jié)論：①一定存在平面，使直線平面，直線平面；②一定存在平面，使直線平面，直線平面；③一定存在無(wú)數(shù)個(gè)平面，使直線與平面交于一個(gè)定點(diǎn)，且直線平面；④一定存在平面，使直線平面，直線平面．則所有正確結(jié)論的序號(hào)為②③．【解答】解：（1）假設(shè)①正確，則存在直線平面，使得，又，故，，顯然當(dāng)異面直線，不垂直時(shí)，結(jié)論錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤；（2）設(shè)異面直線，的公垂線為，平面，且，均不在內(nèi)，則，均與平面平行，故②正確；（3）在直線上取點(diǎn)，顯然過(guò)點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面均與直線平行，故③正確；（4）假設(shè)④正確，則由，可得，顯然這與，是異面直線矛盾，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．28．（2021?迎澤區(qū)校級(jí)月考）有兩塊直角三角板：一塊三角板的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1，；另一塊三角板的兩條直角邊的長(zhǎng)均為，已知這兩塊三角板有兩對(duì)頂點(diǎn)重合，且構(gòu)成的二面角，則不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離等于2或．【解答】解：有兩塊直角三角板：一塊三角板的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為1，，另一塊三角板的兩條直角邊的長(zhǎng)均為，這兩塊三角板有兩對(duì)頂點(diǎn)重合，且構(gòu)成的二面角，如圖一：直角中，，，，直角中，，，且平面平面，平面，，不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離；如圖二：直角中，，，，直角中，，，且平面平面，，平面，，不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離．綜上，不重合的兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離等于2或．故答案為：2或．四．解答題（共3小題）29．（2010?浙江）如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別在線段，上，．沿直線將翻折成△，使平面平面．（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）點(diǎn)，分別在線段，上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榧笆堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫鐖D建立空間直角坐標(biāo)系則，2，，，8，，，0，，，0，．故，2，，，0，．設(shè)，，為平面的一個(gè)法向量，，取，則．又平面的一個(gè)法向量，故．所以二面角的余弦值為（Ⅱ）設(shè)，則，0，，因?yàn)榉?/p>