人教A版必修一指數(shù)型對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例作業(yè)

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(二十七)指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例(30分鐘50分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2014·金昌高一檢測)一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年,剩余的物質(zhì)為原來的45,要使剩余的物質(zhì)是原來的64125 【解析】選B.設(shè)經(jīng)過x年,剩余的物質(zhì)是原來的64125,令放射性物質(zhì)原來總量為1,則1×45x2.(2014·武漢高一檢測)下列函數(shù)關(guān)系中,可以看作是指數(shù)型函數(shù)y=kax(k∈R,a>0且a≠1)模型的是()A.豎直向上發(fā)射的信號彈,從發(fā)射到落回地面,信號彈的高度與時間的關(guān)系(不計空氣阻力)B.我國人口年自然增長率為1%,這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系C.如果某人ts內(nèi)騎車行進了1km,那么此人騎車的平均速度與時間的函數(shù)關(guān)系D.信件的郵資與其質(zhì)量間的函數(shù)關(guān)系【解析】選中信號彈的高度先增加再減少不符合y=kax的變化;B中若已知人口數(shù)為m,則x年后有m(1+1%)x,符合y=kax;C,D中函數(shù)關(guān)系也不符合指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律.3.據(jù)報道,全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%,如果按此速度,設(shè)2010年北冰洋冬季冰雪覆蓋面積為m,則從2010年起,經(jīng)過x年后,北冰洋冬季冰雪覆蓋面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是()=5x50·m,x∈=5

x50·m,x=·m,x∈N*=·m,x∈N*【解析】選A.設(shè)北冰洋冰雪覆蓋面積每年減少的百分數(shù)為t,即減少t%,則由已知得1×(1-t)50=1×(1-5%),即1-t=5150,所以從2010年起,經(jīng)過x年后y=m(1-t)x=m·5

1504.(2014·深圳高一檢測)深圳市政府早在2009年就開始著力把“互聯(lián)網(wǎng)產(chǎn)業(yè)”打造成重要的新興產(chǎn)業(yè),已知某互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)2013年的產(chǎn)值為125萬元,計劃從2014年起平均每年比上一年增長20%,則這個企業(yè)產(chǎn)值首次超過200萬元是在(參考數(shù)據(jù):lg2=,lg3=()年 年 年 年【解析】選B.設(shè)x年后企業(yè)產(chǎn)值首次超過200萬元,則125(1+20%)x≥200,所以≥,兩邊取對數(shù)得≥,≥,x≥lg1.6lg1.2=lg16-1lg12-1=4故x最小取3,所以2016年企業(yè)產(chǎn)值首次超過200萬元.【變式訓(xùn)練】如果在今后若干年內(nèi),我國國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長8%的水平,那么要達到國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值比2009年翻兩番的年份大約是(lg2=,lg3=,lg108=,=()年 年 年 年【解析】選C.設(shè)2009年總值為a,經(jīng)過x年后翻兩番,則a(1+8%)x=4a,所以lg(1+8%)x=lg4,所以x=2lg2lg1.08=25.某地區(qū)植被被破壞,土地沙漠化越來越嚴重,最近三年測得沙漠增加值分別為萬公頃、萬公頃和萬公頃,則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()= =x=2x10 =+log【解題指南】利用所給函數(shù),分別令x=1,2,3,計算相應(yīng)的函數(shù)值,即可求得結(jié)論.【解析】選C.對于A,x=1,2時,符合題意,x=3時,y=,與相差;對于B,x=1時,y=;x=2時,y=;x=3時,y=,相差較大,不符合題意;對于C,x=1,2時,符合題意,x=3時,y=,與相差,與A比較,更符合題意;對于D,x=1時,y=;x=2時,y=;x=3時,y<,相差較大,不符合題意;故選C.6.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超過1%,則至少要洗的次數(shù)是 【解題指南】先將污垢原量視為單位1,再把洗x次后污垢含量表示出來,列出不等式,最后解不等式求出.【解析】選B.設(shè)至少要洗x次,則1-34x≤1100二、填空題(每小題4分,共12分)7.據(jù)某校環(huán)保小組調(diào)查,某區(qū)垃圾量的年增長率為b,2013年產(chǎn)生的垃圾量為a噸.由此預(yù)測,該區(qū)下一年的垃圾量為噸,2018年的垃圾量為噸.【解析】2014年的垃圾量為a(1+b)噸.2018年的垃圾量為a(1+b)2018-2013=a(1+b)5噸.答案:a(1+b)a(1+b)58.(2014·天水高一檢測)由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展,計算機的成本不斷降低,每隔五年計算機的成本降低13,現(xiàn)在價格為8100元的計算機經(jīng)過15年的價格為【解析】由題意得計算機經(jīng)過15年的價格為8100×1-133答案:2400元9.(2014·溫州高一檢測)某地區(qū)發(fā)生里氏級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測,記錄的部分數(shù)據(jù)如下表:強度(J)×1019×1019×1019×1019震級(里氏)注:地震強度是指地震時釋放的能量.地震強度(x)和震級(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=algx+b(其中a,b為常數(shù)).利用散點圖可知a的值等于.(取lg2=進行計算)【解析】由記錄的部分數(shù)據(jù)可知x=×1019時y=,x=×1019時y=.所以=alg×1019)+b①,=alg×1019)+b②,②-①得=alg3.2×10所以a=0.2lg2=0.2答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)10.一片森林原來面積為a,計劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的14,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的2(1)求每年砍伐面積的百分比.(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?【解析】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1-x)10=12a,即(1-x)10=1解得x=1-12(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的22a(1-x)m=22a,即12

m10=1【舉一反三】本題條件不變的情況下,問今后最多還能砍伐多少年?【解析】設(shè)從今年開始,以后砍n年,則n年后森林剩余面積為22a(1-x)n.令22a(1-x)n≥14a,即(1-x)n由(1)得12n10≥1232,11.(2014·茂名高一檢測)“學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)達到某一水平所需的學(xué)習(xí)時間.假設(shè)“學(xué)習(xí)曲線”符合函數(shù)t=5log2NB(1)已知某人練習(xí)達到40個詞匯量時需要10天,求該人的學(xué)習(xí)曲線解析式.(2)他學(xué)習(xí)幾天能掌握160個詞匯量?(3)如果他學(xué)習(xí)時間大于30天,他的詞匯量情況如何?【解析】(1)把t=10,N=40代入t=5log2NB10=5log240B所以t=5log2N10(2)當N=160時,t=5log216010=5log2(3)當t>30時,5log2N10解得N>640,所以學(xué)習(xí)時間大于30天,他的詞匯量大于640個.

(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2014·寧波高一檢測)某種計算機病毒是通過電子郵件進行傳播的,下表是某公司前5天監(jiān)測到的數(shù)據(jù):第x天12345被感染的計算機數(shù)量y(臺)10203981160則下列函數(shù)模型中能較好地反映計算機在第x天被感染的數(shù)量y與x之間的關(guān)系的是()=10x =5x2-5x+10=5×2x =10log2x+10【解析】選C.由監(jiān)測數(shù)據(jù)可知被感染的計算機數(shù)量y隨著x增大增長速度越來越快.故選指數(shù)型函數(shù).對于y=5×2x,經(jīng)檢驗x=1時y=5×2=10,x=2時,y=5×22=20,x=3時y=5×23=40,x=4時y=5×24=80,x=5時y=5×25=160.與表中數(shù)據(jù)基本一致.故選C.2.(2014·北京高一檢測)一種放射性元素,每年的衰減率是8%,那么a千克的這種物質(zhì)的半衰期(剩余量為原來的一半所需的時間)t等于()0.50.92 0.920.5 C.lg【解析】選C.由題意得a(1-8%)t=a2所以=.兩邊取對數(shù)得=,所以=.故t=lg0.5【誤區(qū)警示】解答本題容易因忽視利用兩邊取對數(shù)的方法求出t的值而致誤.另外對數(shù)的運算性質(zhì)應(yīng)用不當也易導(dǎo)致出錯.3.我國獨創(chuàng)的視力記錄法(繆氏記錄法),將正常視力規(guī)定為5分,無光感規(guī)定為0,使所有視力等級連成一個完整的數(shù)字系統(tǒng).5分記錄法是5分減去視角的對數(shù)值表達視力,如以公式表達,則為L=5-tlgα,已知近視力表最大視標的視角為100',此時α=102,L=,則α=時,L=() 【解析】選C.由題意得=5-tlg102,即3=5-2t,所以t=1,故L=5-lgα.所以當α=時,L==5-=.4.(2014·大慶高一檢測)為了保證信息安全傳輸,有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng),其加密、解密原理如下圖:明文密文密文明文.現(xiàn)在加密密鑰為y=loga(x+2),如上所示,明文“6”通過加密后得到密文“3”,再發(fā)送,接受方通過解密密鑰解密得到明文“6”,問:若接受方接到的密文為“4”,則解密后得到明文為() 【解題指南】審題分析出函數(shù)y=loga(x+2)的自變量及相應(yīng)函數(shù)值的一組數(shù)據(jù).【解析】選C.由加密、解密原理可知,當x=6時,y=3,從而a=2.設(shè)接受方接到密文為“4”的明文為“b”,則有4=log2(b+2),從而有b=24-2=14.即解密后得到的明文為14.二、填空題(每小題5分,共10分)5.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x之間滿足關(guān)系y=a·+b,現(xiàn)已知該廠今年1月份、2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、萬件,則此工廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為萬件.【解析】由題意得1解得a=-2,b=2.所以y=-2×+2,所以當x=3時,y=-2×+2=(萬件).答案:6.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其質(zhì)量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變,假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量M(單位:TBq)與時間t(單位:年)滿足函數(shù)關(guān)系式:M(t)=M02

-t30,其中M0為t=0時銫137的含量,經(jīng)過【解析】設(shè)經(jīng)過t年銫137的含量變?yōu)樵瓉淼?8,則M02

-t30=18M0,所以答案:90【變式訓(xùn)練】如圖,開始時桶1中有a升水,如果桶1向桶2注水,桶1中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y1=a·e-nt(n為常數(shù),t為注水時間),那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt.如果由桶1向桶2中注水5分鐘時,兩桶中的水相等,那么經(jīng)過分鐘桶1中的水只有a8.【解析】由于t=5時兩桶中的水相等,所以a·e-n×5=a-a·e-n×5,所以(e-n)5=12,即e-n=1由條件可得a·e-nt=a8即12t5=1答案:15三、解答題(每小題12分,共24分)7.(2014·福州高一檢測)某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當銷售利潤不超過10萬元時,按銷售利潤的15%進行獎勵;當銷售利潤超過10萬元時,若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進行獎勵.記資金y(單位:萬元),銷售利潤x(單位:萬元).(1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型.(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元?【解析】(1)由題意,得y=0(2)x∈(0,10]時,≤,因為y=,所以x>10,所以+2log5(x-9)=,解得x=34.答:老江的銷售利潤是34萬元.【拓展延伸】巧記函數(shù)建模過程收集數(shù)據(jù),畫圖提出假設(shè);依托圖表,理順數(shù)量關(guān)系;抓住關(guān)鍵,建立函數(shù)模型;精確計算,求解數(shù)學(xué)問題;回到實際,檢驗問題結(jié)果.8.(2014·廣州高一檢測)醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防,將病毒細胞注入一只小白鼠體內(nèi)進行實驗,經(jīng)統(tǒng)計,病毒細胞的總數(shù)與天數(shù)的數(shù)據(jù)記錄如下表.天數(shù)病毒細胞的總數(shù)11223448516632764……已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過108的時候,小白鼠將會死亡.如注射某種藥物,可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%.(1)為了使小白鼠在實驗過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物?(2)第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物,才能維持小白鼠的生命?(答案精確到