人教版高數(shù)選修2第3講：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).1．橢圓的定義在平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則集合P為；(2)若a＝c，則集合P為；(3)若a＜c，則集合P為．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍對稱性頂點軸焦距離心率a，b，c的關(guān)系類型一橢圓的定義及其應(yīng)用例1：如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓練習(xí)１：已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且eq\o(PF,\s\up8(→))1⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，若△PF1F2的面積為9，則b＝________．練習(xí)2：已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的兩焦點，過點F2的直線交橢圓于A，B兩點，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為()A．6 B．5 C．4 D．3類型二求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為________．練習(xí)1：設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________．類型三橢圓的幾何性質(zhì)例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為________．練習(xí)1：已知A、B是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)和雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的公共頂點．P是雙曲線上的動點，M是橢圓上的動點(P、M都異于A、B)，且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))，其中λ∈R，設(shè)直線AP、BP、AM、BM的斜率分別記為k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，則k3＋k4＝________．類型四直線與橢圓的位置關(guān)系例4：(2014·四川卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點為F(－2，0)，離心率為eq\f(\r(6),3).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，T為直線x＝－3上一點，過F作TF的垂線交橢圓于P，Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時，求四邊形OPTQ的面積．練習(xí)1：(2014·陜西卷)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(0，eq\r(3))，離心率為eq\f(1,2)，左、右焦點分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：y＝－eq\f(1,2)x＋m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足eq\f(|AB|,|CD|)＝eq\f(5\r(3),4)，求直線l的方程．類型五圓錐曲線上點的對稱問題例5：橢圓E經(jīng)過點A(2，3)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝eq\f(1,2)，其中∠F1AF2的平分線所在的直線l的方程為y＝2x－1.(1)求橢圓E的方程；(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由練習(xí)1：(2014·湖南)如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(a<b)，原點O為AD的中點，拋物線y2＝2px(p>0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則＝________.1.（2015年高考福建卷）已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．2.已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為________．3.橢圓T：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓T的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．4．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則eq\o(PA1,\s\up7(→))·eq\o(PF2,\s\up7(→))的最小值為__________5.(2014·包頭測試與評估)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左頂點為A，左焦點為F，點P為該橢圓上任意一點；若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率e＝eq\f(1,2)，則eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(FP,\s\up8(→))的取值范圍是________．6.已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，上頂點為A，P為C1上任一點，MN是圓C2：x2＋(y－3)2＝1的一條直徑，與AF平行且在y軸上的截距為3－eq\r(2)的直線l恰好與圓C2相切．(1)求橢圓C1的離心率；(2)若eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(PN,\s\up8(→))的最大值為49，求橢圓C1的方程．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.以橢圓兩焦點為直徑端點的圓，交橢圓于四個不同點，順次連結(jié)這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，那么這個橢圓的離心率等于()A. B. C.－ D.－12.設(shè)F1、F2為橢圓的兩個焦點，橢圓上有一點P與這兩個焦點張成90度的角，且∠PF1F2>PF2F1，若橢圓離心率為，則∠PF1F2：∠PF2F1為()A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：l3.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為()A．4 B．3 C．2 D．54.已知橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于()A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不對5.與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為________．6．若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率分別為e1，e2，則e1e2的取值范圍為________。7.已知雙曲線C與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且離心率互為倒數(shù)．若雙曲線右支上一點P到右焦點F2的距離為4，則PF2的中點M到坐標(biāo)原點O的距離等于________．8.已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點M與C的焦點不重合．若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則|AN|＋|BN|＝______．能力