人教版九年級數(shù)學(xué)上冊課外輔導(dǎo)專題：二次函數(shù)

二次函數(shù)【考點總匯】二次函數(shù)的圖象性質(zhì)圖象開口方向向上向下頂點坐標(biāo)對稱軸直線直線增減性當(dāng)時，隨的增大而，當(dāng)時，隨的增大而當(dāng)時，隨的增大而，當(dāng)時，隨的增大而最值當(dāng)時，函數(shù)的當(dāng)時，函數(shù)的微撥爐：用配方法或頂點公式求二次函數(shù)的最值，配方時括號內(nèi)加上一次項系數(shù)一半的平方后，應(yīng)再減去一次項系數(shù)一半的平方，不要遺漏出現(xiàn)錯誤或公式運用錯誤。如，配方后為：。高頻考點1、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【范例】如圖，點在半徑為2的⊙上，過線段上的一點作直線，與⊙過點的切線交于點，且，設(shè)，則的面積關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（）得分要領(lǐng)：二次函數(shù)的頂點式：中的系數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)有以下三方面的關(guān)系：1.時，開口向上，時，開口向下。2.對稱軸為；頂點坐標(biāo)為。3.增減性；當(dāng)時，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大?！究碱}回放】1.已知拋物線與軸有兩個不同的交點，則函數(shù)的大致圖象是（）2.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到圖象的頂點坐標(biāo)是（）A.（－3，－6）B.（1，－4）C.（1，－6）D.（－3，－4）3.拋物線的頂點坐標(biāo)為。4.已知二次函數(shù)。（1）用配方法求其圖象的頂點的坐標(biāo)，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減而增減的情況。（2）求函數(shù)圖象與軸的交點的坐標(biāo)(B在A的右邊)，及△的面積。高頻考點2、求二次函數(shù)解析式及綜合應(yīng)用【范例】已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（1，－1），且過原點（0，0），求該函數(shù)解析式。得分要領(lǐng)：求二次函數(shù)解析式的選擇技巧1.當(dāng)已知拋物線上任意三點時，通常設(shè)為一般式形式。2.當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，通常設(shè)為頂點式形式。3.當(dāng)已知拋物線與軸的交點，0，，0時，通常設(shè)為兩根式?！究碱}回放】1.若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”。（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)。（2）已知關(guān)于的二次函數(shù)和，其中的圖象經(jīng)過點1，1，若與為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)的表達(dá)式，并求當(dāng)時，的最大值。2.如圖，拋物線與軸交于兩點，它們的對稱軸與軸交于點，過頂點作軸于點，連接交于點。已知點的坐標(biāo)為（－1，0）。（1）求該拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)。（2）求△與△的面積之比。高頻考點3、用二次函數(shù)解決實際問題【范例】某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第天銷售的相關(guān)信息如下表所示：銷售量（件）銷售單價（元/件）當(dāng)時，；當(dāng)時，（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件。（2）求該網(wǎng)店第天獲得的利潤關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？得分要領(lǐng)：利用二次函數(shù)解決實際問題的步驟1.根據(jù)題意，列出拋物線解析式，或建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線的解析式，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。2.列出函數(shù)解析式后，要標(biāo)明自變量的取值范圍。3.根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)解決問題，確定最值時，一般最值在頂點處取得，但也要注意，若頂點的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)時，要根據(jù)函數(shù)的增減性來確定最值?！究碱}回放】1.科學(xué)家為了推測最適合某種珍奇植物生長的溫度，將這種植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一定時間后，測試出這種植物高度的增長情況，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：溫度/℃-4-2014植物高度增長量/mm4149494625科學(xué)家經(jīng)過猜想、推測出與之間是二次函數(shù)關(guān)系。由此可以推測最適合這種植物生長的溫度為℃。2.在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍兩邊），設(shè)m。（1）若花園的面積為192m，求的值。（2）若在處有一棵樹與墻的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)），求花園面積的最大值。高頻考點4、二次函數(shù)與方程、不等式【范例】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，的取值范圍是（）A.B.C.D.或得分要領(lǐng)：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1.二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，則兩個交點的橫坐標(biāo)是相應(yīng)的一元二次方程的兩個解。2.二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)由相應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的符號確定?！究碱}回放】1.“如果二次函數(shù)的圖象與軸有兩個公共點，那么一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根。”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面問題：若是關(guān)于的方程的兩根，且，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.2.已知二次函數(shù)中，函數(shù)與的部分對應(yīng)值如下：則當(dāng)時，的取值范圍是。…－10123……105212…3.已知二次函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)為，則對于下列結(jié)論：①當(dāng)時，；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③。其中正確的結(jié)論有（只需填寫序號即可）?！惧e誤診斷】分析下面解題的錯誤并糾正在右邊【例題】若關(guān)于的函數(shù)與軸僅有一個公共點，則實數(shù)的值為。解：函數(shù)與軸僅有一個公共點∴△解得答案：－1【規(guī)避策略】根據(jù)函數(shù)圖象與軸的交點個數(shù)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值，當(dāng)題目中沒有明確說明是二次函數(shù)時應(yīng)分類討論。確定字母參數(shù)的值。【實戰(zhàn)演練】1.函數(shù)的圖象與軸的交點情況是（）A.當(dāng)時，有一個交點B.時，有兩個交點C.當(dāng)時，有一個交點D.不論為何值，均無交點2.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）3.已知二次函數(shù)的圖象如圖，其對稱軸，給出下列結(jié)果：①；②；③；④；⑤，則正確的結(jié)論是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤4.把拋物線沿軸向右平移1個單位后，再沿軸翻折得到拋物線沿軸向右平移1個單位后，再沿軸翻折得到拋物線稱為第二次操作，…，以此類推，則拋物線經(jīng)過第2014次操作后得到的拋物線的解析為（）A.B.C.D.5.二次函數(shù)的圖象的頂點是。6.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②③，④；⑤的實數(shù)，其中正確結(jié)論的序號有。7.某工廠共有10臺機器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制，會產(chǎn)生一定數(shù)量的次品，每臺機器產(chǎn)生的次品數(shù)（千件）與每臺機器的日產(chǎn)量（千件）（生產(chǎn)條件要求）之間變化關(guān)系如表：日產(chǎn)量（千件/臺）…56789…次品數(shù)（千件/臺）…1…已知每生產(chǎn)1千件合格的元件可以盈利千元，但每生產(chǎn)1千件次品將虧損千元。（利潤＝盈利－虧損）（1）觀察并分析表中與之間的對應(yīng)關(guān)系，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識求出（千件）與（千件）的函數(shù)解析式。（2）設(shè)該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤為（千元），試將表示為的函數(shù)；并求當(dāng)每臺機器的日產(chǎn)量（千件）為多少時所獲得的利潤最大，最大利潤為多少？8.某賓館有30個房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天120元時，房間會全部住滿。當(dāng)每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑。賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用。根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于210元。設(shè)每個房間的房價增加元（為10的正整數(shù)倍）。（1）設(shè)一天訂住的房間數(shù)為，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍。（2）設(shè)賓館一天的利潤為元，求與的函數(shù)關(guān)系式。（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？9.如圖，拋物線交軸于兩點，交軸于點，對稱軸為直線，已知：－1，0，0，－3。（1）求拋物線的解析式。（2）求△和△的面積比。（3）在對稱軸上是否存在一個點，使△的周長最小。若存在，請你求出點的坐標(biāo)。若不存在，請你說明理由。10.已知，如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點0，4，與軸交于點，點4，0，拋物線的對稱軸為。直線交拋物線于點2，。（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出點坐標(biāo)。（2）點是線段上的一動點，過點作∥交于，連接，當(dāng)△的面積最大時，求點的坐標(biāo)?！鞠迺r小測】建議用時30分鐘。總分50分一、選擇題（每小題3分，共12分）1.二次函數(shù)的頂點的坐標(biāo)是（）A.（1，2）B.（1，－2）C.（，2）D.（，－2）2.如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是（）A.B.C.且D.或3.已知拋物線過－2，0，0，0，－3，，3，四點，則與的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.不能確定4.已知：兩點關(guān)于軸對稱，且點在雙曲線上，點在直線上，設(shè)點的坐標(biāo)為則二次函數(shù)（）A.有最大值，最大值為B.有最大值，最大值為C.有最小值，最小值為D.有最小值，最小值為二、填空題（每小題4分，共12分）5.已知二次函數(shù)中，函數(shù)與變量的部分對應(yīng)值如表：…－101234……1052125…則和的值以及拋物線的頂點分別是。6.如圖，濟南建邦大橋有一段拋物線型的拱梁，拋物線的解析式為，小強騎自行車從拱梁一端沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面，當(dāng)小強騎自行車行駛10秒時和26秒時拱梁的高度相同，則小強騎自行車通過拱梁部分的橋面共需秒。7.如圖，已知拋物線經(jīng)過（0，－3），請你確定一個的值，使該拋物線與軸的一個交點在（1，0）和（3，0）之間。你確定的值是。三、解答題（共26分）8.（12分）已知－3，和1，是拋物線上的兩點。（1）求的值。（2）判斷關(guān)于的一元二次方程是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由。（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值?！九鄡?yōu)訓(xùn)練】9.（14分）河北內(nèi)丘柿餅加工精細(xì)，色澤潔白，肉質(zhì)柔韌，品味甘甜，在國際市場上頗具競爭力。上市時，外商王經(jīng)理按市場價格10元/kg在內(nèi)丘收購了2000k