專題15圓的有關(guān)性質(zhì)（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）

專題15圓的有關(guān)性質(zhì)（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)4種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.圓（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.圓的有關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)3.垂直于弦的直徑（難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4.弧、弦、圓心角的關(guān)系（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5.圓周角（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)6.圓內(nèi)接多邊形【方法二】實(shí)例探索法題型1.垂徑定理的應(yīng)用題型2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系的應(yīng)用題型3.圓周角定理及其推論的運(yùn)用題型4.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.不能正確理解弧、弦、圓心角之間的關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)2.不能正確理解圓周角及其性質(zhì)【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.弧、弦、圓心角的關(guān)系定理及其推論考法2.垂徑定理考法3.圓周角定理及其推論考法4圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)【方法五】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解圓及弦、?。踊?、優(yōu)?。﹫A心角、圓周角、等圓、等弧、圓內(nèi)接多邊形等有關(guān)概念。通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)圓的對(duì)稱性，理解圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。掌握垂徑定理及其推論，能運(yùn)用垂徑定理及其推論解決實(shí)際問(wèn)題。掌握弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，并能運(yùn)用這些關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。掌握?qǐng)A周角定理及其推論，并能進(jìn)行相關(guān)的證明和算計(jì)?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.圓（重點(diǎn)）(1)動(dòng)態(tài)：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

要點(diǎn)詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合.

要點(diǎn)詮釋：

①定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強(qiáng)調(diào)“在一個(gè)平面內(nèi)”是非常必要的，事實(shí)上，在空間中，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面，一個(gè)閉合的曲面.知識(shí)點(diǎn)2.圓的有關(guān)概念1.弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

2.直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.要點(diǎn)詮釋：

直徑是圓中通過(guò)圓心的特殊弦，也是圓中最長(zhǎng)的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

為什么直徑是圓中最長(zhǎng)的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.

3.弧的有關(guān)概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧；

劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧.

要點(diǎn)詮釋：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)，弧指的是劣弧.4.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.5.等弧

在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.【例1】判斷題(對(duì)的打√，錯(cuò)的打×，并說(shuō)明理由)

①半圓是弧，但弧不一定是半圓；（）

②弦是直徑；（）

③長(zhǎng)度相等的兩段弧是等?。唬ǎ?/p>

④直徑是圓中最長(zhǎng)的弦.（）【答案】①√②×③×④√.

【解析】①因?yàn)榘雸A是弧的一種，弧可分為劣弧、半圓、優(yōu)弧三種，故正確；②直徑是弦，但弦不一定都是直徑，只有過(guò)圓心的弦才是直徑，故錯(cuò)；③只有在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩段弧才是等弧，故錯(cuò)；④直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，正確.

【總結(jié)升華】理解弦與直徑的關(guān)系，等弧的定義.【例2】如圖，圖中⊙O的弦共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)弦的定義即可求解．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，直徑是一個(gè)圓里最長(zhǎng)的弦．【詳解】解：圖中有弦共3條，【例3】下列說(shuō)法中，結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．直徑相等的兩個(gè)圓是等圓B．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧C．圓中最長(zhǎng)的弦是直徑D．一條弦把圓分成兩條弧，這兩條弧可能是等弧【答案】B.提示：A、直徑相等的兩個(gè)圓是等圓，正確，不符合題意；B、長(zhǎng)度相等的兩條弧圓周角不一定相等，它們不一定是等弧，原題的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意；C、圓中最長(zhǎng)的弦是直徑，正確，不符合題意；D、一條直徑把圓分成兩條弧，這兩條弧是等弧，正確，不符合題意，故選：B．【例4】下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

⑴直徑是弦，但弦不一定是直徑；⑵半圓是弧，但弧不一定是半圓；

⑶半徑相等且圓心不同的兩個(gè)圓是等圓；⑷一條弦把圓分成的兩段弧中，至少有一段是優(yōu)弧.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)【答案】⑴、⑵、⑶是正確的，⑷是不正確的.故選C.【例5】（1）圖①中有條弧，分別為；（2）寫(xiě)出圖②中的一個(gè)半圓；劣?。海粌?yōu)?。海敬鸢浮?；,；；；．【詳解】解：（1）圖①中有2條弧，分別為,；故答案為：2，,；（2）寫(xiě)出圖②中的一個(gè)半圓；劣弧：；優(yōu)?。海蚀鸢笧椋?；；．知識(shí)點(diǎn)3.垂直于弦的直徑（難點(diǎn)）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。箯蕉ɡ淼哪娑ɡ?平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

垂徑定理的逆定理2平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦。要點(diǎn)詮釋：

在垂徑定理及其推論中：過(guò)圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過(guò)圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）【例5】（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段和角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問(wèn)題提供了方法和依據(jù)．下列可以運(yùn)用垂徑定理解決問(wèn)題的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】過(guò)圓心作弦的垂線，則可運(yùn)用垂徑定理解決問(wèn)題，從而對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：可以運(yùn)用垂徑定理解決問(wèn)題的圖形是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟記垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。纠?】（2022秋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的弦，M是的中點(diǎn)，且，則的半徑等于（

）A．7 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】連接，根據(jù)M是的中點(diǎn)，得到，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵的弦，M是的中點(diǎn)，∴，，連接，在中，，即：的半徑等于5；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的逆定理．熟練掌握平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)4.弧、弦、圓心角的關(guān)系（重點(diǎn)）1.圓心角定義如圖所示，∠AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．

2.圓心角定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．

3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)的其余各對(duì)量也相等．要點(diǎn)詮釋：

等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；【例7】（2023?杭州二模）如圖，A，B，C是⊙O上三個(gè)點(diǎn)，∠AOB＝2∠BOC，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．∠OBA＝∠OCA B．四邊形OABC內(nèi)接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°【分析】過(guò)O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂徑定理得到＝，于是得到＝＝，推出AE＝BE＝BC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到2BC＞AB，故C錯(cuò)誤；根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A錯(cuò)誤；由點(diǎn)A，B，C在⊙O上，而點(diǎn)O在圓心，得到四邊形OABC不內(nèi)接于⊙O，故B錯(cuò)誤；根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正確；【解答】解：過(guò)O作OD⊥AB于D交⊙O于E，則＝，∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，∴＝＝，∴AE＝BE＝BC，∴2BC＞AB，故C錯(cuò)誤；∵OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，∴∠OBA≠∠OCA，故A錯(cuò)誤；∵點(diǎn)A，B，C在⊙O上，而點(diǎn)O在圓心，∴四邊形OABC不內(nèi)接于⊙O，故B錯(cuò)誤；∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，∵∠BOE+∠OBA＝90°，∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角，弧，弦的關(guān)系，垂徑定理，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【例8】（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，則⊙O的周長(zhǎng)為（）A．4π B．6π C．8π D．9π【分析】如圖，連接OD、OC．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得△AOD是等邊三角形，則⊙O的半徑長(zhǎng)為BC＝4cm；然后由圓的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：如圖，連接OC、OD．∵AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC＝CD＝DA＝4，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴OA＝AD＝4，∴⊙O的周長(zhǎng)＝2×4π＝8π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的判定與性質(zhì)．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)弦的弦心距也相等，即四者有一個(gè)相等，則其它三個(gè)都相等．知識(shí)點(diǎn)5.圓周角（重點(diǎn)）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．【例9】（2023?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，若∠A＝50°，則∠OBC的度數(shù)為（）?A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】根據(jù)圓周角定理求得∠BOC的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理及等邊對(duì)等角即可求得答案．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理及等腰三角形性質(zhì)，它們均為幾何中重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．【例10】（2023?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，則∠ABC＝．【分析】連接AC，根據(jù)圓周角定理及三角形外角性質(zhì)求解即可．【解答】解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，∵∠AED＝100°，∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理，熟記“直徑所對(duì)的圓周角等于90°”是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)6.圓內(nèi)接多邊形一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。1.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．2.圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）【例11】（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，是弦，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，證明，可得，由四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，可得，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵為直徑，∴，∵，∴，∵四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，∴；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．【方法二】實(shí)例探索法題型1.垂徑定理的應(yīng)用1．（2023秋?贛榆區(qū)校級(jí)月考）如圖所示的拱橋，用表示橋拱．（1）若所在圓的圓心為O，EF是弦CD的垂直平分線，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖，找出圓心O．（不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡）（2）若拱橋的跨度（弦AB的長(zhǎng)）為16m，拱高（的中點(diǎn)到弦AB的距離）為4m，求拱橋的半徑R．【分析】（1）作弦AB的垂直平分線，交于G，交AB于點(diǎn)H，交CD的垂直平分線EF于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求作的圓心；（2）首先連接OA，由（1）可得：△AOH為直角三角形，H是AB的中點(diǎn)，GH＝4，即可求得AH的長(zhǎng)，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，即可求得拱橋的半徑R．【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分線，交于G，交AB于點(diǎn)H，交CD的垂直平分線EF于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求作的圓心．（如圖1）（2分）（2）連接OA．（如圖2）由（1）中的作圖可知：△AOH為直角三角形，H是AB的中點(diǎn)，GH＝4，∴AH＝AB＝8．（3分）∵GH＝4，∴OH＝R﹣4．在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）解得：R＝10．（5分）∴拱橋的半徑R為10m．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2023秋?市北區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是一個(gè)半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車(chē)裝滿家具后，高4米，寬米，求這輛送家具的卡車(chē)能否通過(guò)這個(gè)通道．【分析】卡車(chē)能否通過(guò)，關(guān)鍵是車(chē)高4米與AC的比較，BC為米，只需求AB，在直角三角形OAB中，半徑OA為2米，車(chē)寬的一半為DC＝OB＝米，運(yùn)用勾股定理求出AB即可．【解答】解：過(guò)直徑的中點(diǎn)O作直徑的垂線，交下底邊于點(diǎn)D，如圖所示，在Rt△ABO中，由題意知OA＝2，DC＝OB＝，所以AB2＝22﹣2＝，因?yàn)?﹣＝，2＝，＞，所以卡車(chē)可以通過(guò)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，垂徑定理的應(yīng)用，把本題轉(zhuǎn)化為直角三角形利用勾股定理進(jìn)行解答是關(guān)鍵．3．（2023秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)月考）“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)為多少？【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由AB＝10可求出AE的長(zhǎng)，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，∴AE＝BE＝5，設(shè)圓O的半徑OA的長(zhǎng)為x，則OC＝OD＝x∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡(jiǎn)得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，解得：x＝13所以CD＝26（寸）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了學(xué)生對(duì)垂徑定理的運(yùn)用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，做此類題時(shí)要多觀察，多分析，才能發(fā)現(xiàn)線段之間的聯(lián)系．4．（2023秋?諸暨市校級(jí)月考）根據(jù)素材解決問(wèn)題．設(shè)計(jì)貨船通過(guò)圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測(cè)得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測(cè)得EF＝3m，EH＝10m．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運(yùn)載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式．問(wèn)題解決任務(wù)1確定橋拱半徑求圓形橋拱的半徑任務(wù)2擬定設(shè)計(jì)方案根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過(guò)圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過(guò)？【分析】任務(wù)1，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則點(diǎn)O在CD延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CD，則CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，連結(jié)AO，設(shè)橋拱的半徑為rm，則OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂徑定理，列出關(guān)于半徑的方程，即可解決問(wèn)題；任務(wù)2，由勾股定理得到貨船不能通過(guò)圓形橋拱，通過(guò)計(jì)算，即可得到需要增加的貨物的噸數(shù)．【解答】解：任務(wù)1，設(shè)圓心為點(diǎn)O，則點(diǎn)O在CD延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)CD，則CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，連結(jié)AO，如圖，設(shè)橋拱的半徑為rm，則OD＝（r﹣4）m，∵OC⊥AB，∴m，∵OD2+AD2＝OA2，∴（r﹣4）2+82＝r2，∴r＝10，∴圓形拱橋的半徑為10m．任務(wù)2，根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過(guò)圓形橋拱，至少要增加噸的貨物才能通過(guò)．理由：當(dāng)EH是⊙O的弦時(shí)，EH與OC的交點(diǎn)為M，連接OE，OH，如圖，∵四邊形EFGH為矩形，∴EH∥FG，∵OC⊥AB，∴OM⊥EH．∴，∴m，∵OD＝6m，∴，∴根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過(guò)圓形橋拱，∴船在水面部分可以下降的高度m．∵，∴噸，∴至少要增加噸的貨物才能通過(guò)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．題型2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系的應(yīng)用5．（2023秋?建鄴區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上．若，求證：AC＝BD．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到＝，所以AC＝BD．【解答】證明：∵∴+＝+，∴＝，∴AC＝BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．6．（2023秋?沭陽(yáng)縣月考）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點(diǎn)，且AD＝CB，求證：AB＝CD．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出即可．【解答】證明：∵AD＝CB，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能根據(jù)定理求出＝是解此題的關(guān)鍵．7．（2023秋?濱海縣月考）如圖，在扇形AOB中，點(diǎn)C、D在上，，點(diǎn)F、E分別在半徑OA、OB上，OF＝OE，聯(lián)結(jié)DE、CF．（1）求證：DE＝CF；（2）設(shè)點(diǎn)P為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CD、EF、PO，線段PO交CD于點(diǎn)M、交EF于點(diǎn)N．如果PO∥DE，求證：四邊形MNED是矩形．【分析】（1）先證明＝得到∠AOC＝∠BOC，然后證明△OCF≌△ODE得到DE＝CF；（2）連接AB，如圖，利用垂徑定理得到OP⊥CD，OP⊥AB，則利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠OEF＝∠OBA＝90°﹣∠EOF，則可判斷EF∥AB，所以EF∥CD，加上OP∥DE，于是可得到四邊形MNED為平行四邊形，然后利用∠NMD＝90°得到四邊形MNED為矩形．【解答】證明：（1）∵＝，∴+＝+，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，在△OCF和△ODE中，，∴△OCF≌△ODE（SAS），∴DE＝CF；（2）連接AB，如圖，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴OP⊥CD，∵＝，∴＝，∴OP⊥AB，∵OE＝OF，OA＝OB，∠EOF＝∠BOA，∴∠OEF＝∠OBA＝90°﹣∠EOF，∴EF∥AB，∴OP⊥EF，∴EF∥CD，∵OP∥DE，∴四邊形MNED為平行四邊形，∵∠NMD＝90°，∴四邊形MNED為矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和矩形的判定．8．（2023秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB＝CD，OE⊥CD，OF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．比較CE和AF的大小，并證明你的結(jié)論．【分析】由OE⊥CD，得到CE＝CD，同理：AF＝，而AB＝CD，即可證明問(wèn)題．【解答】解：CE＝AF，理由如下：∵OE⊥CD，∴CE＝CD，∵OF⊥AB，∴AF＝，∵AB＝CD，∴CE＝AF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F．（1）求證：CF＝BF；（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半徑及CE的長(zhǎng)．【分析】（1）要證明CF＝BF，可以證明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直徑，則∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，則∠CEB＝90°，則∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，則∠ECB＝∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的長(zhǎng)，即可求得圓的半徑；再利用面積法求得CE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，∴∠ECB＝∠A．又∵C是的中點(diǎn)，∴＝，∴∠DBC＝∠A，∴∠ECB＝∠DBC，∴CF＝BF；（2）解：∵＝，∴BC＝CD＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝10，∴⊙O的半徑為5，∵S△ABC＝AB?CE＝BC?AC，∴CE＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．題型3.圓周角定理及其推論的運(yùn)用10．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，在⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)F．BE平分∠ABC交CD于點(diǎn)E，連接AD，BD，AB＝20，DF＝4．（1）求⊙O的半徑．（2）A，B，E三點(diǎn)是否在以點(diǎn)D為圓心，DE的長(zhǎng)為半徑的圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，OF＝r﹣4，先根據(jù)垂徑定理得到AF＝BF＝10，再利用勾股定理得到102+（r﹣4）2＝r2，然后解方程即可；（2）先根據(jù)垂徑定理得到＝，∠A＝∠DBA，再證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，所以DB＝DE＝DA，于是可判斷A，B，E三點(diǎn)在以點(diǎn)D為圓心，DE的長(zhǎng)為半徑的圓上．【解答】解：（1）連接OB，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，OF＝r﹣4，∵AB⊥CD，∴AF＝BF＝AB＝10，在Rt△OBF中，102+（r﹣4）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑為；（2）A，B，E三點(diǎn)在以點(diǎn)D為圓心，DE的長(zhǎng)為半徑的圓上．理由如下：∵AB⊥CD，∴＝，∴BD＝AD，∠A＝∠DBA，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠C＝∠A，∴∠C＝∠DBA，∴∠DBA+∠ABE＝∠C+∠CBE，∵∠DEB＝∠C+∠CBE，∴∠DEB＝∠DBE，∴DB＝DE，∴DB＝DE＝DA，∴A，B，E三點(diǎn)在以點(diǎn)D為圓心，DE的長(zhǎng)為半徑的圓上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了勾股定理和垂徑定理．11．（2023秋?贛榆區(qū)月考）如圖所示，⊙O的直徑AB為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．（1）判斷△ADB的形狀，并證明；（2）求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）利用角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD，從而可得＝，進(jìn)而可得AD＝BD，然后利用直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論：ADB是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）△ADB是等腰直角三角形，證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形；（2）由（1）得：∠ADB＝90°，AD＝BD，∵AB＝6cm，∴BD＝＝＝3（cm），∴BD的長(zhǎng)為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋?東臺(tái)市月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E．交AB于點(diǎn)D．連接AE、BE，∠BEC＝60°，AC＝6．（1）求四邊形ACBE的面積；（2）求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）四邊形ACBE的面積可以分為兩部分，分別求解兩部分三角形的面積，即可求解；（2）作AF⊥CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，分別求得CF，EF，即可求解．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，又∵弦CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝45°，∴AE＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∵∠BEC＝60°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝12，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，解得，∴，；（2）解：作AF⊥CE，如下圖：由（1）得，∠ACE＝45°，∴△ACF是等腰直角三角形，AF＝CF，由勾股定理得，AF2+CF2＝AC2，AC＝6，解得，∵∠ABC＝30°，∴∠AEC＝30°，∴，由勾股定理得：，∴．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．13．（2023秋?海門(mén)市校級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．（1）求⊙O的半徑；（2）點(diǎn)P為中點(diǎn)，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長(zhǎng)．【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂徑定理求出AH即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，連接OP，PA．設(shè)OP交AB于H．證明△AOP是等邊三角形即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝．（2）如圖2中，連接OP，PA．設(shè)OP交AB于H．∵，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等邊三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．題型4.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的應(yīng)用14．（2023秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四邊形ABCD的一個(gè)外角．求證：∠DAE＝∠DAC．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DBC＝∠DCB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAE＝∠DCB，根據(jù)圓周角定理得到∠DAC＝∠DBC，等量代換證明結(jié)論．【解答】證明：∵DB＝DC∴∠DBC＝∠DCB∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DAE＝∠DCB，∴∠DAE＝∠DBC，由圓周角定理得，∠DAC＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?廣陵區(qū)月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長(zhǎng)線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAB+∠DCB＝180°，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋?高郵市校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，＝，∠BAC＝70°，∠ACB＝50°．（1）求∠ABD的度數(shù)；（2）求∠BAD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)圓周角定理求出∠ABD的度數(shù)；（2）根據(jù)圓周角定理求出∠BCD，進(jìn)而求出∠BCD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠BAC＝70°，∠ACB＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝60°，∵＝，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°；（2）由圓周角定理得：∠ACD＝∠ABD＝30°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝80°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.不能正確理解弧、弦、圓心角之間的關(guān)系1.如圖，∠AOB=90°，CD是的三等分點(diǎn)，連接AB分別交OC，OD于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：AE=BF=CD．【思路點(diǎn)撥】連接AC，BD，根據(jù)∠AOB=90°得出∠AOC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠OFE的度數(shù)．根據(jù)SAS定理得出△ACO≌△DCO，故可得出∠ACO=∠OCD，根據(jù)等角對(duì)等邊可得出AC=AE，同理可得BF=BD，由此可得出結(jié)論．【答案與解析】證明：連接AC，BD，∵在⊙O中，半徑OA⊥OB，C、D為弧AB的三等分點(diǎn)，∴∠AOC=∠AOB=×90°=30°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠AOC=∠BOD=30°，∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，∵C，D是的三等分點(diǎn)，∴AC=CD=BD，在△ACO與△DCO中，，∴△ACO≌△DCO（SAS），∴∠ACO=∠OCD．∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD==75°，∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC．∴AC=AE，同理，BF=BD．又∵AC=CD=BD∴AE=BF=CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等是解答此題的關(guān)鍵．易錯(cuò)點(diǎn)2.不能正確理解圓周角及其性質(zhì)2.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，則∠D=．【答案】96°；提示：解：連結(jié)OC，如圖，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°）=54°，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=180°﹣84°=96°．故答案為96．3.如圖，OA、OB是⊙O的半徑且OA⊥OB，作OA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)C、D，連接CB、AB．求證：∠ABC=2∠CBO．【答案與解析】證明：連接OC、AC，如圖，∵CD垂直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC=60°，∴∠ABC=∠AOC=30°，在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，∵OB=OC，∴∠CBO=15°，∴∠ABC=2∠CBO．【總結(jié)升華】本題考查了圓周角定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1.弧、弦、圓心角的關(guān)系定理及其推論1．（2022?黃石）如圖，圓中扇子對(duì)應(yīng)的圓心角α（α＜180°）與剩余圓心角β的比值為黃金比時(shí)，扇子會(huì)顯得更加美觀，若黃金比取，則β﹣α的度數(shù)是．【分析】根據(jù)已知，列出關(guān)于α，β的方程組，可解得α，β的度數(shù)，即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)周角為360°和已知，列出方程組．2．（2021?南京）如圖，AB是⊙O的弦，C是的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D．若AB＝8cm，CD＝2cm，則⊙O的半徑為cm．【分析】先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系和垂徑定理得出各線段之間的關(guān)系，再利用勾股定理求解出半徑即可．【解答】解：如圖，連接OA，∵C是的中點(diǎn)，∴D是弦AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，∵OA＝OC，CD＝2，∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，在Rt△OAD中，OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，解得OA＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系及垂徑定理的運(yùn)用，做此類型題目通常需要結(jié)合圓心角、弦和三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)進(jìn)行解答．考法2.垂徑定理3．（2023?永州）如圖，⊙O是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為cm．【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，由垂徑定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，即可得出AB的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，∴，由題意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，cm，∴AB＝2AC＝16cm，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，同時(shí)需熟練掌握勾股定理．4．（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m【分析】設(shè)主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，設(shè)主橋拱半徑為Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半徑，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用，涉及勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理列出關(guān)于R的方程解決問(wèn)題．5．（2023?東營(yíng)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為寸．【分析】連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r寸，由垂徑定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圓的直徑長(zhǎng)．【解答】解：連接OA，設(shè)⊙O的半徑是r寸，∵直徑CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直徑CD的長(zhǎng)度為2r＝26寸．故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是連接OA構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用垂徑定理，勾股定理列出關(guān)于圓半徑的方程．考法3.圓周角定理及其推論6．（2023?牡丹江）如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．20° B．18° C．15° D．12°【分析】利用圓周角定理可求∠AOB＝120°，再根據(jù)∠AOB＝4∠BOC，得∠BOC＝30°，所以∠BAC＝∠BOC＝15°．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵∠AOB＝4∠BOC，∴∠BOC＝30°，∴∠BAC＝∠BOC＝15°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．7．（2023?廣西）如圖，點(diǎn)A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】由圓周角定理即可得到答案．【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，∴∠AOB＝80°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理．8．（2023?青海）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D．若∠A＝20°，則∠ABC＝（）A．20° B．30° C．35° D．55°【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADO＝90°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠AOD＝70°，然后利用圓周角定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵∠A＝20°，∴∠AOD＝90°﹣∠A＝70°，∴∠ABC＝∠AOD＝35°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．考法4圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)9．（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠DCB的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可求出∠BOD的度數(shù)．【解答】解：∵∠DCE＝65°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠DCB＝180°，∴∠BAD＝65°，∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023?赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理求得∠BOD的度數(shù)，再結(jié)合已知條件求得∠COD的度數(shù)，然后利用圓周角定理求得∠CBD的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∴∠CBD＝∠COD＝25°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及圓周角定理，結(jié)合已知條件求得∠BOD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是°．【分析】連接OD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠C＝60°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：如圖，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，∴OC＝OD＝CD，∴△COD為等邊三角形，∴∠C＝60°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠C＝180°，∴∠BAD＝120°，故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【方法五】成果評(píng)定法一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?廣陵區(qū)月考）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長(zhǎng)為16，OE長(zhǎng)為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．10【分析】連接OA，如圖，先根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理計(jì)算出OA即可．【解答】解：連接OA，如圖，∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，即⊙O半徑為10．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．（2022秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，則BD所對(duì)的圓心角的度數(shù)是（）A．30° B．25° C．10° D．20°【分析】根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，連接BC，∵∠AOC＝80°，∴∠ABC＝∠AOC＝40°，∵∠P＝30°，∠ABC＝∠P+∠BCD，∴∠BCD＝10°，∴BD所對(duì)的圓心角的度數(shù)的度數(shù)20°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．130° D．140°【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求得∠ACB＝90°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解∠A，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°．又∠ABC＝50°，∴∠A＝40°，∵四邊形ABDC為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝140°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?瀘縣月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AE⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，則AE＝（）A．3 B． C． D．【分析】連接AC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，從而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝7，然后利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)．【解答】解：連接AC，如圖，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝7，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理、勾股定理、角平分線定義等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?沭陽(yáng)縣月考）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．28【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，連接OM，并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)P'，當(dāng)點(diǎn)P位于P'位置時(shí)，OP'取得最大值，據(jù)此求解可得．【解答】解：連接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，連接OM，并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)P'，當(dāng)點(diǎn)P位于P'位置時(shí)，OP'取得最大值，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則OQ＝6、MQ＝8，∴OM＝10，又∵M(jìn)P'＝r＝4，∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14，∴AB＝2OP'＝2×14＝28；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，10），直線y＝kx+2k﹣4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的最小值是（）A． B． C． D．以上都不對(duì)【分析】易知直線y＝kx+2k﹣4過(guò)定點(diǎn)D（﹣2，﹣4），運(yùn)用勾股定理可求出OD，由⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，10），可求出半徑OB＝10，由于過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，因此只需運(yùn)用垂徑定理及勾股定理就可解決問(wèn)題．【解答】解：對(duì)于直線y＝kx+2k﹣4，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣4，故直線y＝kx+2k﹣4恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，﹣4），記為點(diǎn)D．由于過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，即當(dāng)BD⊥OD時(shí)，BC最短，連接OB，OD，如圖所示，∵D（﹣2，﹣4），∴，∵⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，10），∴OB＝10，∴，∵OB⊥OD，∴，∴弦BC的最小值是．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，﹣4）以及運(yùn)用“過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)D的所有弦中，與OD垂直的弦最短”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)是解決該題的關(guān)鍵．7．（2023秋?五華區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，若∠BCD＝28°，則∠ABD等于（）A．28° B．56° C．62° D．68°【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ADB＝90°，根據(jù)圓周角定理求出∠BAD，再利用直角三角形兩銳角互余解答即可．【解答】解：連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BCD＝28°，∴∠BAD＝28°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝62°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?廣陵區(qū)月考）如圖，半圓O的直徑AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】連接BC，OD，相交于點(diǎn)E，連接BD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB＝∠ADB＝90°，從而在Rt△ACB中，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再利用角平分線的定義和圓周角定理可得∠DOB＝∠CAB，從而可得AC∥DO，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠OEB＝∠ACB＝90°，從而利用垂徑定理可得CE＝BE＝BC＝8，進(jìn)而可得OE是△ACB的中位線，再利用三角形的中位線定理可得OE＝AC＝6，從而求出DE的長(zhǎng)，最后在Rt△DEB中，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再在Rt△ADB中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：連接BC，OD，相交于點(diǎn)E，連接BD，∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AB＝20，AC＝12，∴BC＝＝＝16，∵AD平分∠BAC，∴∠CAB＝2∠DAB，∵∠DOB＝2∠DAB，∴∠DOB＝∠CAB，∴AC∥DO，∴∠OEB＝∠ACB＝90°，∴CE＝BE＝BC＝8，∴OE是△ACB的中位線，∴OE＝AC＝6，∵OD＝AB＝10，∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4，在Rt△DEB中，DB＝＝＝4，在Rt△ADB中，AD＝＝＝8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?沭陽(yáng)縣月考）如圖，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧的中點(diǎn)，若∠EOD＝32°，則∠CDA的度數(shù)是（）A．37° B．74° C．53° D．63°【分析】首先根據(jù)“同弧或等弧所對(duì)的弦長(zhǎng)相等，對(duì)的圓心角也相等”求得∠DOA＝74°，再根據(jù)等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如下圖，連接OA，∵A是劣弧的中點(diǎn)，即弧DA＝弧FA，∴∠DOA＝∠FOA，∵∠EOD＝32°，∴，∵OD＝OA，∴，即∠CDA＝53°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．10．（2023秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)月考）簡(jiǎn)易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如圖擺放（無(wú)重疊部分），A為三角板與直尺的交點(diǎn)，B為量角器與直尺的接觸點(diǎn)，C為量角器與三角板的接觸點(diǎn)．若點(diǎn)A處刻度為4，點(diǎn)B處刻度為6，則該量角器的直徑長(zhǎng)為（）A．2 B．2 C．4 D．4【分析】連接OA、OB，由題意得AB＝6﹣4＝2，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，由切線的性質(zhì)定理得∠ABO＝90°，由切線長(zhǎng)定理得∠OAB＝∠OAC＝60°，所以O(shè)B＝AB＝2，所以該量角器的直徑是4．【解答】解：三角尺和量角器放在直尺上的示意圖如圖所示，連接OA、OB，根據(jù)題意得AB＝6﹣4＝2，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∵AB、AC分別與⊙O相切于點(diǎn)B、點(diǎn)C，∴AB⊥OB，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，∴∠ABO＝90°，∴＝tan∠OAB＝tan60°＝，∴OB＝AB＝×2＝2，∴2×2＝4，∴該量角器的直徑是4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．（2023秋?東臺(tái)市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A、B、C作以圓弧，則圓心的坐標(biāo)是（2，1）．【分析】分別作AB、BC的垂直平分線，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為圓心，由圖可得答案．【解答】解：分別作AB、BC的垂直平分線，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為圓心，由圖知，圓心P的坐標(biāo)為（2，1），故答案為：（2，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理與圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A上各點(diǎn)到圓心的距離相等的性質(zhì)．12．（2023秋?路橋區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，DB平分∠ADC，連結(jié)OC，BD，OC⊥BD，若∠A等于70°，則∠ADB的度數(shù)為35°．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BCD，根據(jù)垂徑定理得到＝，進(jìn)而求出∠CDB，根據(jù)角平分線的定義解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝70°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°，∵OC⊥BD，∴＝，∴∠CDB＝∠CBD＝×（180°﹣110°）＝35°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝35°，故答案為：35°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，若AB＝8，OC＝3，則⊙O半徑的長(zhǎng)為5．【分析】根據(jù)垂徑定理得出AC，根據(jù)勾股定理求出即可．【解答】解：連接OA，∵OC⊥AB，∴C為AB的中點(diǎn)，∴，在Rt△AOC中，AC＝4，OC＝3，∴OA＝＝5．∴⊙O的半徑5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能根據(jù)垂徑定理求出AC是解此題的關(guān)鍵．14．（2023秋?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在⊙O中，直徑AB＝10，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，連接DO．若OC＝3，則DE的長(zhǎng)為8．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)垂徑定理即可得到答案．【解答】解：∵AB＝10，∴OD＝5，∵DE⊥AB，∴DE＝2CD，CD＝＝＝4，∴DE＝2CD＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?廣陵區(qū)月考）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺．如圖，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），則這塊圓柱形木材的直徑是26寸．【分析】線段OC垂直且平分線段AB，在Rt△ADO中，OD的長(zhǎng)為（R﹣1）寸．【解答】解：1尺＝10寸．根據(jù)題意可得AD＝AB＝5（寸）．設(shè)圓O的半徑為R，（R﹣1）2+52＝R2，∴R＝13寸，∴這塊圓柱形木材的直徑是：13×2＝26（寸）．故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?6．（2023秋?高郵市校級(jí)月考）如圖，某博覽會(huì)上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點(diǎn)P處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是55°，為了監(jiān)控整個(gè)展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器4臺(tái)．【分析】根據(jù)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，得該圓周角所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角是110°，則共需安裝360°÷110°＝3≈4臺(tái)．【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所對(duì)弧所對(duì)的圓心角是110°，∵360°÷110°＝3，∴最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器4臺(tái)．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了要圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．注意把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠把數(shù)學(xué)和生活聯(lián)系起來(lái)．17．（2023秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，則∠OCD的大小為50°．【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠EBC＝90°，求出∠BCE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD＝180°﹣∠A＝80°，計(jì)算即可．【解答】解：∵EC是⊙O的直徑，∴∠EBC＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠E＝30°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝80°，∴∠OCD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB．若，AD＝2，則CD的長(zhǎng)度為．【分析】根據(jù)圓周角定理，以及∠ADB＝∠CDB，得到∠ADC＝∠ABC＝90°，，利用等角對(duì)等邊，以及勾股定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，勾股定理．熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）19．（2023秋?沭陽(yáng)縣月考）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P，且AB＝2DP，∠P＝18°，求∠AOC的度數(shù)．【分析】連接OD，由AB＝2DP＝2OD可得出OD＝DP，故可得出∠DOP的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠ODC的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求出∠COD的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論．【解答】解：連接OD，∵AB＝2DP＝2OD，∠P＝18°，∴OD＝DP，∴∠DOP＝∠P＝18°．∵∠ODC是△OPD的外角，∴∠ODC＝∠P+∠DOP＝18°+18°＝36°．∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝36°，∴∠COD＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∴