高一數(shù)學(xué)測(cè)試卷-平面向量-立體幾何-復(fù)數(shù)(含答案)

第=page11頁，共=sectionpages11頁第=page22頁，共=sectionpages22頁高一數(shù)學(xué)測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）如果向量a=(k,1)與b=(4,k)共線且方向相反，則k=(

A.±2 B.?2 C.2 D.0已知平面向量a，b滿足a?(a+b)=5，|a|=2，|b|=1A.3 B.33 C.?3 已知向量a=(2,3)，b=(?1,2)，若ma+nb與aA.?12 B.12 C.?2在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，C=π3，若m=(c?6,a?b)，n=(a?b,c+6)，且A.3 B.932 C.33已知△ABC和點(diǎn)M滿足MA+MB+MC=0.A.2 B.3 C.4 D.5等腰三角形ABC中，AB=AC=5，∠B=30°，P為BC邊中線上任意一點(diǎn)，則CP?BC的值為(

A.752 B.?252 C.5已知非零向量則△ABC為(

)A.等邊三角形 B.等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形如圖，在5×5的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a,b,c滿足a=xA.0

B.1

C.55

D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）如圖，線段AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，EF?//?AB，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB=2，EF=AD=1，則下述正確的是(

)A.OF?//?平面BCE

B.BF⊥平面ADF

C.點(diǎn)A到平面CDFE的距離為217

D.三棱錐C?BEF在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AA.AC1⊥EG B.GC//ED

C.B1F⊥平面BGC1在三棱錐P?ABC中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，AB=2，PA=PC=5，二面角P?AC?B的余弦值為?63A.AC⊥PB B.點(diǎn)P到平面ABC的距離為1

C.三棱錐P?ABC的體積為2 D.三棱錐P?ABC的外接球的體積為9π已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是(????)A.若x，y∈C，則x+yi=1+i的充要條件是x=y=1

B.(a2+1)i(a∈R)是純虛數(shù)

C.若z12+z22三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）在△ABC中，若BC?BA+2AC?AB=已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，則AB?BC=________在中，角所對(duì)的邊的邊長(zhǎng)為設(shè)是的面積，若，則下列結(jié)論中：①；②；③;④是鈍角三角形，其中正確結(jié)論的序號(hào)是

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）(本小題滿分12分)

已知求．

已知復(fù)數(shù)z=x+yi，(Ⅰ)若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1+3i?z，求z的共軛復(fù)數(shù)z；(Ⅱ)若x=m?1，y=m+1(m∈R)，當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)且z≤22時(shí)，求m的取值范圍．

在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m=(2sin(A+C),3)(1)求角B的大??；(2)若sinAsinC=sin2B，求a?c的值．

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，截去三棱錐A1?ABD，求：

(1)截去的三棱錐A1?ABD的表面積；

(2)剩余的幾何體19、(本小題滿分12分)一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖4所示，其中俯視圖中．為側(cè)棱的中點(diǎn)．求證：平面；若為側(cè)棱上的一點(diǎn)，且，則為何值時(shí)，平面？并求此時(shí)幾何體的體積．

已知：a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(2,1)．(Ⅰ)若|c|=25，且c//a，求c(Ⅱ)若|b|=52，且a+2b與2a?b垂直，求a與b的夾角θ．

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查平行向量的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．向量

a=(k,1)與b=(4,k)共線且方向相反等價(jià)于4k=k1，且解：∵向量

a=(k,1)與b=(4,k)共線且方向相反，

∴4k=k1，且k<0，

解得

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了利用平面向量的數(shù)量積求夾角的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，即可求出向量a、b的夾角θ以及θ的正切值．

【解答】

解：設(shè)a、b的夾角為θ，則θ∈[0,π]，

又a?(a+b)=5，|a|=2，|b|=1，

∴a2+a?b=22+2×1×cosθ=5，

解得cosθ=12，

∴θ=【解析】【分析】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的充要條件，

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的充要條件即可求得m的值．

【解答】

解：a=(2,3)，b=(?1,2)，

所以ma+nb=(2m?n,3m+2n),a?2b=(4,?1)，

所以2m?n×?1=4×3m+2n，

【解析】【分析】本題考查本題考查了向量共線定理、余弦定理及三角形面積計(jì)算公式，根據(jù)題意可得(a?b)2=(c??6?)(c+?【解答】解：∵m∴(a?b)2=(c??6?)(c+?6?)，化為：a2+故選C．

5.【答案】B

【解析】【分析】

本試題主要考查向量的基本運(yùn)算，考查角平分線定理．解題時(shí)應(yīng)注意到MA+MB+?MC=0，則解：由MA+MB+MC=0知，點(diǎn)M為△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，

則AM=23AD=2

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題在底角為30度的等腰三角形中，求兩個(gè)向量的數(shù)量積，著重考查了平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系，可得向量CP、BC的坐標(biāo)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可算出CP?BC的值．解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC=5，∠B=30°，

∴BC=3AB=53，AD=52，

以C為原點(diǎn)，

可得B(?53,0)，P(?53∴CP=(?532,t)，BC=(53,0)，

7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)向量的性質(zhì)可得：|AB|AB||=|AC|AC||=1，

∴AB|AB|+AC|AC|在∠BAC的角平分線上(設(shè)角平分線為AD)，

∵((AB|AB|)+AC|AC|)?BC=0，

∴AD⊥BC，

∴AB=AC【解析】解：將向量a,b,c放入如圖所示的直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，

則a=(1,3),b=(1,?1),c=(?2,4)，

因?yàn)閍=xb+yc，所以(1,3)=x(1,?1)+y(?2,4)，

則有1=x?2y3=?x+4y，解得x=5y=2，所以x+y=7．

故選：D【解析】【分析】

本題考查簡(jiǎn)單多面體(棱柱、棱錐、棱臺(tái))及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，球的表面積和體積，

線面平行的判定，線面垂直的判定，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題．

由線面平行與垂直的判定定理，等體積轉(zhuǎn)化，球的體積公式對(duì)選項(xiàng)逐一判定可得結(jié)論．

【解答】

解：

對(duì)于A，連接OF，∵EF?//?AB，AB=2，EF=1，∴EF=?//OB，

則四邊形OBEF是平行四邊形，∴OF//BE，∵BE?平面BCE，

OF?平面BCE，∴OF//平面BCE，故A正確；

對(duì)于B，由題意，平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

AD⊥AB，AD?平面ABCD，∴AD⊥平面ABEF，BF?平面ABEF，∴AD⊥BF，

又∵AB是圓O的直徑，∴BF⊥AF，AF∩AD=A，AF、AD?平面ADF，

∴BF⊥平面ADF，故B正確；

對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)A到平面CDFE的距離為h，即點(diǎn)A到平面CDF的距離為h，

∵由A可得，四邊形ABEF是等腰梯形，AB=2，BE=AF=EF=1，取AO的中點(diǎn)G，

過點(diǎn)G作GM//AD，與CD交于點(diǎn)M，連接GF，MF，則GF⊥AO，

又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，GF?平面ABEF，

∴GF⊥平面ABCD，且易得GF=32，

∵AD⊥AO，∴MG⊥AO，MG∩GF=G，MG、GF?平面MGF，

∴AO⊥平面MGF，MF?平面MGF，∴AO⊥MF，則CD⊥MF，

且MF=MG2+GF2=1+34=72，

∵VA?CDF=VF?ACD，∴13×12CD·MF·?=13×12CD·AD·GF，

∴MF·?=AD·GF，解得?=1×3272=217，故C正確；

對(duì)于【解析】解：如圖，對(duì)于A，連接B1D1，A1C1，則EG//B1D1，又B1D1⊥平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，即AC1⊥EG，故A正確；

對(duì)于B，取B1C1的中點(diǎn)M，連接CM，EM，可得四邊形CDEM為平行四邊形，

∴CM//ED，因此GC//ED不正確；

對(duì)于C，∵C1G與B1D1不垂直，∴C1G與B1F不垂直，

因此B1F⊥平面BGC1不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，∵D1D//B1B，EF和DD1所成角為π4．

∴EF和BB1所成角為π4.故D正確．

故選：AD．

對(duì)于【解析】解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，連接PO，OB，由OP⊥AC，OB⊥AC知∠POB為二面角P?AC?B的平面角，

故cos∠POB=?63.在平面PBO內(nèi)過點(diǎn)P作BO的垂線交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，cos∠POD=63．

由OP⊥AC，OB⊥AC得AC⊥平面PBO，所以AC⊥PB，故A正確；

AC⊥PD，得PD⊥平面ABC，OP=AP2?OA2=5?2=3；

所以O(shè)D=OPcos∠POD=3×63=2，DP=OP2?OD2=1，

即點(diǎn)P到平面ABC的距離為1，故B正確；

三棱錐P?ABC的體積V=13×12×AB×BC×PD=23，故C錯(cuò)誤；

OA=OC=OD=OB=2，則四邊形ABCD為正方形，

從而易聯(lián)想到將此三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體ABCD?EFGP．

所以三棱錐P?ABC的外接球即為長(zhǎng)方體【解析】解：若x，y∈C，則x+yi=1+i，設(shè)x=a+bi，y=c+di，a，b，c，d∈R，

所以a+c=1b+d=1，所以A不正確；

因?yàn)閍2+1≥1，所以(a2+1)i(a∈R)是純虛數(shù)，所以B正確；

若z12+z22=0，則z1=z2=0，反例z1=i，z2=1，所以C不正確；

當(dāng)m=4時(shí)，復(fù)數(shù)lg(m【解析】【分析】

利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及正余弦定理進(jìn)行求解即可．

【解答】

解：在△ABC中，設(shè)三邊分別為a，b，c，三角分別為A，B，C，

由BA→·BA→+2AC→·AB→=CA→·CB→，

得accosB+2bccosA=bacosC，

由余弦定理得：

12(a2+c【解析】【分析】

本題考查向量的數(shù)量積，夾角的概念．

【解答】

解：由題設(shè)AB→與BC→的夾角，

則AB→?BC→=1×1×?12=?【解析】【分析】由題意可得：bcsinAsinA<acsinBcosB，又bsinA=asinB>0，可得cosB>sinA>0，可得A、B均是銳角，從而可得A+B<90°，∠C>90°，由余弦定理及兩角和的余弦公式結(jié)合三角函數(shù)值的符合即可判斷得解．【解答】解：∴2×bcsinA×sinA<cacosBsinB，

∴可得：bcsinAsinA<acsinBcosB，

又由正弦定理可得：bsinA=asinB>0，

則cosB>sinA>0，

可得：B是銳角，

①若A為銳角，

而cosB=sin(90°?B)，

故有sin(90°?B)>sinA，即90°?B>A，

則A+B<90°，∠C>90°，

∴由余弦定理可得：即有：c2>a2+b2，故②正確，

∴由余弦定理可得：可得a2<b2+c2，故①正確；

∴△ABC是鈍角三角形，故④正確；

∵cosBcosC?sinBsinC=cos(B+C)=?cosA<0，故③不正確；

②若A可得a2>b2+c2，故①不正確；

∴△ABC是鈍角三角形，故④正確；

∵cosBcosC?sinBsinC=cos(B+C)=?cosA>0，故③

16.【答案】

【解析】

17.【答案】解：(Ⅰ)∵復(fù)數(shù)z=x+yi，(x,y∈R)∴由已知得，x2∴x2+y2∴z(Ⅱ)∵x=m?1，y=m+1，當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，∴z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(m?1,m+1)即m?1<0m+1>0∴?1<m<1．又∵|z|≤22，∴x2∴?3∴m的取值范圍為(?1,1)

【解析】(Ⅰ)設(shè)出復(fù)數(shù)z=x+yi，(x,y∈R)，代入條件，利用復(fù)數(shù)相等，解出x，y，再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得z的共軛復(fù)數(shù)zˉ；(Ⅱ)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(m?1,m+1)，得到m?1<0m+1>0，再由復(fù)數(shù)的模得到(m?1)2+

18.【答案】解：(1)∵m//n，∴2sin(A+C)1?2cos2B2?3cos2B=0，

∴?2sinBcosB=3cos2B，即sin2B=?3cos2B，解得tan2B=?3，

∵B∈(0,π2)，∴2B∈(0,π)，∴2B=2π【解析】本題考查了正弦定理余弦定理的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

(1)由m//n，可得2sin(A+C)1?2cos2B2?3cos2B=0，解得tan2B=?3，可得B．

(2)sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：ac=b2，再利用余弦定理即可得出．

19.【答案】解：(1)∵正方體AB