幾代課件幾何與代數(shù)第四章

第四章n維向量空間第一節(jié)向量空間的概念一、n維向量和n維向量空間定義1（n維向量）

n個有順序的數(shù)所在組成的數(shù)組稱為一個n維向量。定義3（n維向量空間）：

以實數(shù)域中的數(shù)作為分量的n維向量的全體同時考慮到如上定義的向量的加法和數(shù)乘運算。稱R上的n維向量空間，記為二、向量空間則稱V是實數(shù)域R上的向量空間，也稱V是的子空間。定義4.1設(shè)V是的非空子集合，如果（1）V對加法運算具有封閉性，即，有（2）V對數(shù)乘運算具有封閉性，即

只有一個零向量所構(gòu)成的向量空間稱為零空間。零空間以及本身稱為的平凡子空間例2：對于向量的加法和數(shù)乘是否是R上的向量空間？例1：定義設(shè)是m個n維向量，記

則是一個向量空間，稱為由張成（或生成）的向量空間。記作：span{}定義矩陣A的列向量組成的向量空間稱為A的列空間（的子空間）；矩陣A的行向量組成的向量空間稱為A的行空間（的子空間）。定義齊次線性方程組AX=0，記其解向量的全體為N(A)稱N(A)為A的零空間。齊次線性方程組ATY=0，記其解向量的全體為N(AT)稱N(AT)為A的左零空間。第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性定義4.3（線性組合）重點：如何判斷線性相關(guān)和線性無關(guān)？注：定理：注：解的唯一性和非唯一性！例：定義4.4（線性相關(guān)）

定義4.4’（線性無關(guān)）

若只有在時，才有等式成立，則稱是線性無關(guān)的例：如何判斷線性相關(guān)和線性無關(guān)？？？定理：其中回顧：

Gauss消去法中階梯形拐角元素1的個數(shù)的問題當(dāng)m>n時，即向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)或未知量的個數(shù)大于方程的個數(shù)，

Ax=0有自由變量，故必有非零解，

因此，n+1個n維向量都是線性相關(guān)的。定理4.1：注1：并非所有向量均可由其余m-1表示。2：逆否命題定理4.2：三維的情況！推論：例1：證明：例2：例3：定理4.6：定理：部分相關(guān)———>整體相關(guān)整體無關(guān)———>部分無關(guān)總結(jié)線性表示線性相關(guān)（無關(guān)）證明線性無關(guān)的方法——>反證法!引子:

線性相關(guān)組中含有線性無關(guān)的部分向量組.第三節(jié)向量組的極大無關(guān)組與秩定義1（等價）：一、等價向量組性質(zhì)：自反性對稱性傳遞性定理1：推論1：推論2：推論3：設(shè)T是由n維向量所組成的向量組，則（1）T的每個極大線性無關(guān)組與之等價（2）T的任意兩個極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)是相同的。二、向量組的極大線性無關(guān)組與向量組的秩定義1（極大線性無關(guān)組）注1、條件（2）表示2、只有零向量構(gòu)成的向量組沒有極大無關(guān)組定義2（秩）推論4：推論5：等價的向量組有相同的秩。推論6：定理1：推論1：如果一矩陣列向量組的秩是r，那矩陣的秩為r.推論2：Problem:如何求向量組的秩和極大線形無關(guān)組?

求法1、2、對A進行初等行變換，直至階梯形矩陣A'3、A的秩r即為所求，再找一個r階非零子式（取拐角1所在的列），對應(yīng)的向量構(gòu)成一個極大線性無關(guān)組。例1：例2：證明：例3：重點：確定坐標(biāo)，求解過渡矩陣引子：向量空間---廣義向量組（張成的概念）定義1（基和維數(shù)）第四節(jié)向量空間的基和維數(shù)定義2（坐標(biāo)）注：向量空間的基不是唯一的，可以相互線性表示。相應(yīng)地，同一向量在不同的基下的坐標(biāo)也存在著某種關(guān)系—過渡矩陣。定義3（過渡矩陣）定理1：過渡矩陣A是可逆陣。定理2：例1：對于n維空間中的兩組基

求過渡矩陣，并求向量在后一組基下的坐標(biāo)。例2：引：三維空間中有放射坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系（兩兩正交，單位向量）第四節(jié)標(biāo)準(zhǔn)正交基與Schmidt正交化方法回顧：兩個n維向量內(nèi)積的定義定義1（正交）定理1：

若n維向量是一組兩兩正交的非零向量，則線性無關(guān)。定義2（標(biāo)準(zhǔn)正交基）問：給定一組基—求出相應(yīng)的正交化基？思考：得到標(biāo)準(zhǔn)正交基：－－施密特（Schmidt）正交化方法再令：例1：在R4中取定一組基試求出相應(yīng)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。例2：證明下向量組是一組正交基定義3（正交矩陣）定理2：性質(zhì)：第六節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

設(shè)n個未知量m個方程的齊次線性方程組為AX=0，其中定義1

齊次線性方程組AX=0，記其解向量的全體為N(A)稱為方程組AX=0的解空間（又稱為A的零空間）。

定理1：

齊次線性方程組AX=0的解向量的線性組合仍然是這個方程組的解向量。定義2（基礎(chǔ)解系）定理2：求AX=0基礎(chǔ)解系的方法！