2021屆人教a版（文科數(shù)學） 隨機變量及其分布單元測試

2021屆人教A版(文科數(shù)學)隨機變量及其分布單元測

試

1、抽查10件產(chǎn)品，設事件A為至少有2件次品，則A的對立事件為()

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

2、分別拋擲2枚質地均勻的硬幣，設“第1枚為正面”為事件A,“第2枚為正面”

為事件B,“2枚結果相同”為事件C,有下列三個命題：

①事件A與事件B相互獨立；

②事件B與事件C相互獨立；

③事件C與事件A相互獨立.

以上命題中，正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

5

P(C1)=-

3、設隨機變量1?B(2，P),n?B(4,p),若9,貝！)P(n22)的值為()

32116516

A.81B.27C.81D.81

4、兩位工人加工同一種零件共100個，甲加工了40個，其中35個是合格品，乙

加工了60個，其中有50個合格，令A事件為”從100個產(chǎn)品中任意取一個，取出

的是合格品”，8事件為”從100個產(chǎn)品中任意取一個，取到甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，則

P(A|8)等于()

2

A.cD

5-?-7

5、已知兩個正態(tài)分布密度函數(shù),的圖象如圖所示，則

(piG0由g(x3=1,2)

A.Hl<N2,5<。2B.m>N2,5>o

2

C.m<N2,d>。2D.Ml>N2,5>02

6、如圖所示的平面圖形是由正方形和其內(nèi)切圓及另外4個四分之一圓弧構成，若

在正方形內(nèi)隨機取一點，用A表示事件“點落在正方形的內(nèi)切圓內(nèi)”，B表示事件“點

落在陰影部分內(nèi)”，則P(B|A)=()

nnn-2n-2

一1________

A.4B.4c.4D.兀

7、

小華與另外4名同學進行“手心手背，，游戲，規(guī)則是：5人同時隨機選擇手心或手背

其中一種手勢，規(guī)定相同手勢人數(shù)更多者每人得1分，其余每人得0分,現(xiàn)5人共進行

了3次游戲，記小華3次游戲得分之和為X,則EX為（）

1533153

A.16B.16C.8D.2

8、

隨機變量S的概率分布規(guī)律為P(廠k);a(ll-2k)(k=123,4,5),其中a是常數(shù)，則

513

23的值為（)

3348

A.5B.25C.5D.25

3

9、在區(qū)間（0,1）內(nèi)隨機投擲一個點M（其坐標為x）,若A乂0<x<；｝,Bx|_<x<一

44

則尸（5|A）)

10、已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為目，已知

16

P（g=1）=茲，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為（）

A.10%B.20%C.30%D.40%

1K10張獎券中有3張是有獎的,某人從中不放回地依次抽兩張,則在第一次抽到中

獎券的條件下，第二次也抽到中獎券的概率為（）

12、設隨機變量&等可能取值1,2,3,n,如果P（g〈4）=0.3,那么n的

值為（）

A.3B.4C.9D.10

13、給定一組數(shù)據(jù)X?X2）,X2。若這組數(shù)據(jù)的方差為3,則數(shù)據(jù)2X.+3,2X?+3,,2X2O+3的方

差為

14、如圖所示，在邊長為1的正方形OABC內(nèi)任取一點P,用A表示事件“點P恰

好取自由曲線y=?與直線x=l及x軸所圍成的曲邊梯形內(nèi)”，B表示事件“點

P恰好取自陰影部分內(nèi)”，則P(B\A)=

15、有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質量分別為隨機變量Xi，X2,已知E(XD=E(X2),

V(XI)>V(X2),則自動包裝機的質量好.

]

2

16、對于正態(tài)分布N(O,1)的概率密度函數(shù)P(x)=岳，有下列四種說法：①P(x)

1

為偶函數(shù)；②P(x)的最大值為后；③P(x)在x>0時是單調(diào)減函數(shù)，在xWO時是

單調(diào)增函數(shù)；④P(x)關于。=1對稱.不正確的是(填序號).

17、某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：

X24568

y3040605070

乘法求y關于

x的線性回歸方程￡=

(II)試預估銷售額為95.5萬元時，廣告費支出大約為多少萬元？

555

參考數(shù)據(jù)：=145EX2=13500?>,?=1380

i=li=li=l

18、判斷函數(shù)f(x)=ln(sinx+J]石&)的奇偶性.

19、某研究機構準備舉行一次數(shù)學新課程研討會，共邀請50名一線教師參加，使

用不同版本教材的教師人數(shù)如下表所示：

版本人教A版人教B版蘇教版北師大版

人數(shù)2015510

(1)從這50名教師中隨機選出2名，求2人所使用版本相同的概率；

(2)若隨機選出2名使用人教版的老師發(fā)言，設使用人教A版的教師人數(shù)為f,求

隨機變量f的分布列.

20、有兩盒卡片，一個盒子裝有4張，分別標有數(shù)字1、1、2、3,另一個盒子也裝

有4張，分別標有數(shù)字2、2、3、4.現(xiàn)從兩個盒子中各取一張卡片.

(1)求取出的兩張卡片上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；

(2)記J為所取兩張卡片上的數(shù)字之和，求f的分布列和數(shù)學期望.

21、某數(shù)學老師對本校2013屆高三學生的高考數(shù)學成績按1:200進行分層抽樣抽

取了20名學生的成績，并用莖葉圖記錄分數(shù)如圖所示，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失，

同時得到如下所示的頻率分布表：

分數(shù)段（分）[50,70.)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)總計

頻數(shù)b

頻率a0.25

（1）求表中a,b的值及分數(shù)在［90,100）范圍內(nèi)的學生人數(shù)，并估計這次考試全校

學生數(shù)學成績的及格率（分數(shù)在［90,150）內(nèi)為及格）：

（2）從成績在［100,130）范圍內(nèi)的學生中隨機選4人，設其中成績在［100,110）內(nèi)

的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

22、2016年1月1日，我國實施“全面二孩”政策，中國社會科學院在某地（已婚

男性約15000人）隨機抽取了150名己婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，經(jīng)

統(tǒng)計，該100名男性的年齡情況對應的頻率分布直方圖如下：

（1）求這100名已婚男性的年齡平均值嚏和樣本方差（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點值

代替，結果精確到個位）；

（2）①試估計該地愿意生育二孩的已婚男性人數(shù)；

②由直方圖可以認為，愿意生育二孩的已婚男性的年齡J服從正態(tài)分布

其中〃近似為樣本的平均值kb?近似為樣本的方差52.試問：該地愿意生育二孩且

處于較佳的生育年齡J（Je（26,31））的總人數(shù)約為多少？（結果精確到個位）.

附：若J?N（〃Q2）,則

P(〃一b<必+b)=0.6826尸(〃一"<J<M+2CT)=0.9544

參考答案

1、答案B

,至少有n個的否定是至多有n-1個

又?.?事件A：“至少有兩件次品”，

二事件A的對立事件為：

至多有一件次品.

故選B

2、答案D

根據(jù)相互獨立事件的定義可判斷A,B,C兩兩獨立.

詳解

P（A）=；,P（B）=：P（C）《P（AB）=P（AC）=P（BC）=：

因為P（AB）=；=P（A）P（B）,故A,B相互獨立；

因為P（AC）=；=P（A）P（C）,故A,C相互獨立；

因為P（BC）=：=P（B）P（C）,故B,C相互獨立；

綜上，選D.

名師點評

判斷兩個事件AB是否相互獨立，可以根據(jù)實際意義來判斷（即一個事件的發(fā)生與否不

影響另一個事件的發(fā)生），也可以根據(jù)P（AB）=P（A）P（B）來確定兩個事件是相互獨立的.

3、答案B

5

P（U1）=-

9

1

=>C；p(l-p)+南=2p-p2=j=p

3

22233441412111

、=C4p(1-p)+Cp(1-p)+Cp=6x-x-+4x—X-+—=—

P(n22)4992738127,選民

4、答案C

曲明需二嚅吟/故選c

考查目的：條件概率

5、答案A

正態(tài)曲線關于x=u對稱，且目越大圖象越靠近右邊，第一個曲線的均值比第二個圖象

的均值小，又有。越小圖象越瘦高，得到正確的結果.

詳解

正態(tài)曲線是關于x=u對稱，且在x=u處取得峰值高，由圖易得Ni<N2,故（pi（x）的圖象更

“瘦高”，s（x）的圖象更“矮胖”，則.故選A.

名師點評

本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查密度函數(shù)中兩個特征數(shù)均值和

標準差對曲線的位置和形狀的影響，是一個基礎題.

6、答案D

分析：利用幾何概型概率公式分別求出P(A)與P(AB)的值，由條件概率公式可得結果.

詳解：正方形面積為3

271

1xn=n,P(A)=-

正方形內(nèi)切圓面積為名

/I1\

4x-nx12--x1x1=n-2

內(nèi)切圓內(nèi)陰影部分的面積為M2J,

n-2

???P(AB)=——

4,

n-2

P(AB)4n-2

P(B/A)=--------=—=——

P(A)nn

4,故選D.

名師點評：本題主要考查條件概率以及“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何

概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關的幾何概型問

題關維是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失

分，在備考時要高度關注：(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；

(2)基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；(3)利用幾何概型的概率公式時，

忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.

7、答案B

分析：首先確定獲勝的概率值，然后結合分布列的特征近似相應的概率值，最后求解數(shù)

學期望即可.

詳解：設0表示手背，1表示手心，用5為的二進制數(shù)表示所有可能的結果，

其中第一位表示小華所出的手勢，后四位表示其余四人的手勢，

如下表所示，其中標記顏色的部分為小華獲勝的結果.

00000000010001000011

00100001010011000111

01000010010101001011

0110001101onio01111

10000100011001010011

10100101011011010111

11000110011101011011

11100111011111011111

2211

P=—=—

由古典概型計算公式可知，每次比賽小華獲勝的概率為3216,

X可能的取值為。，123,該分布列為超幾何分布,

p(X=0)=C°Xp(X=1)=c

'3

P(X=2)=C；p(X=3)=Cjx

則數(shù)學期望:

33

E(X)=C

3喧X胃16

本題選擇5選項.

名師點評：本題主要考查古典概型的計算，離散型隨機變量的期望，超幾何分布及其應

用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

8、答案D

1/513\

??.P卜〈小

**?a=，

由題意，由所有概率的和為1可得a(9+7+5+3+l),25

538

P(S=3)+P(￡=4)=—+—

252525,故選D.

9、答案A

因為區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機投擲一個點M(其坐標為x),若4=卜|0＜》＜5,8=「《＜》＜(

則P(B|A)=；,選A

10、答案B

設10件產(chǎn)品中存在n件次品，從中抽取2件，其次品數(shù)為目，

由「(六1)噂得，生爐吟

r'Jv^iQ'IJ

化簡得n"10n+16=0,

解得n=2或n=8；

又該產(chǎn)品的次品率不超過40%,，n?4；

應取n=2,

2

.,?這10件產(chǎn)品的次品率為—=20%.

10

本題選擇B選項.

11、答案B

設第一次抽到中獎券記為事件A,第二次抽到中獎券記為事件B,則兩次都抽到中獎券為

1

事件AB.則P(A)=W-,P(AB)=3x2=—,P(B|A)^豈空^=4=2.

1010x915P(A)29

10

12、答案D

13、答案12

14、答案,

4

由于曲線y=4與直線為=1圍成的面積為￡=卜6公=*P-0=*，即P(A)=上

o31J33

曲線y=?與直線y=x圍成的面積為

1nil1

?of—2

S2=^-x)dx=-P-0一一(1-0)=----=一，即尸(AB)=±,所以由條件事

,、323266

件的概率公式可得P(B|A)="萼=lx-=i,應填答案

P(A)6244

名師點評：本題旨在考查幾何概型的計算公式及運用，求解時，充分依據(jù)題設條件借助

定積分的計算公式分別求出幾何概型中的區(qū)域面積，然后再運用條件概率的計算公式分

析求解，最終使得問題巧妙獲解。

15、答案乙

期望值相等的前提下，方差越小，穩(wěn)定性越好，質量也越好.

16、答案④

X?N(O,1),，曲線的對稱軸為x=u=0.

17、答案解：(I)由已知可得元=5,5=50,

555

Zx；=145,ZN；=13500，Z%y,=1380,

<=1z=!Z=l

5

Vxy.-5xy

白團J1380—5x5x50，「

b=3--------------=----------------；—=6.5,

fx,2-5x2145-5x5-

Z=1

—板=50—6.5x5=17.5,

因此，所求回歸直線方程是f，=6.5x+17.5.

(II)根據(jù)上面求得的線性回歸方程，當銷售額95.5萬元時，95.5=6.5x+17.5(萬元),

解得x=12,即這種產(chǎn)品的銷售收入大約為12萬元.

18、答案,；sinx+甘sil/x/sinx+16(),

若兩處等號同時取到，

則sinx=0且sinx=1矛盾，

...對xeR都有sinx+J1+占X>0.

：f(x)=ln(sinx+

=ln(Jl+s妤xsinx)

=ln(J1+甜x+sinx)1

=ln(sinx+Jl+sT/x)=f(x),

.?.f(x)為奇函數(shù).

19、答案(1)從50名教師中隨機選出2名的方法數(shù)為

2

C50=l225.

選出2人使用版本相同的方法數(shù)為

2222

C2O+CI5+C5+C1O=35O.

3502

故2人使用版本相同的概率為：=-.

12257

⑵§=0)=絳=』，尸(4=1)=堡二%，

617役119

P(§=2)=玲=里，

4119

...f的分布列為

012

36038

p

17H9119

20、答案（1）從兩個盒子中各取一張卡片共有種取法，取出的兩個數(shù)字恰

為相鄰整數(shù)的情況有8種，所以取出的兩張卡片上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為

162

（2）由題意可知自的可能取值為3,4,5,6,7.

P?=3)=喏_1尸?=4）=良蕓>1D"C；+1+C

——，二=一，P億=5)=-------:

441616

1

二-，

8

所以J的分布列為:

J34567

p￡J_51

4416816

J的數(shù)學期望為EJ=3XL+4XL+5XW+6X1+7X」-=4.5.

4416816

16

21、答案1.65%;2.7

（1）由莖葉圖可知分數(shù)在［50,70）范圍內(nèi)的有2人，在［110,130）范圍內(nèi)的有3人，

—=0.1,

,a=20b=3；分數(shù)在［70,90）內(nèi)的人數(shù)20X0.25=5,結合莖葉圖可得分數(shù)在

［70,80）內(nèi)的人數(shù)為2,所以分數(shù)在［90,100）范圍內(nèi)的學生人數(shù)為4,故數(shù)學成績及格的

13

學生為13人，所以估計這次考試全校學生數(shù)學成績的及格率為為X100%=65%.

（2）由莖葉圖可知分數(shù)在［100,130）范圍內(nèi)的有7人，分數(shù)在［100,110）范圍內(nèi)的有4