特訓(xùn)07 第25-26章解答題匯編解析

特訓(xùn)07第25-26章解答題匯編基礎(chǔ)特訓(xùn)基礎(chǔ)特訓(xùn)練特訓(xùn)第一階——基礎(chǔ)特訓(xùn)練一、解答題1．計算：（1）sin260°-tan30°?cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根據(jù)特殊的銳角三角函數(shù)值以及基本的四則運(yùn)算法則可直接求解最后結(jié)果．【解析】解：（1）原式==

=．（2）原式===-=-【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)函數(shù)值，熟記特殊的銳角三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．2．計算：；【答案】2【分析】首先代入特殊角的三角函數(shù)值，然后進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可．【解析】解：【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確進(jìn)行二次根式的運(yùn)算是關(guān)鍵．3．如圖，在Rt△ABC中，設(shè)a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分線AD＝，求∠B，a，c的值．【答案】∠B＝30°，a＝8，c＝16【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)，可以求得∠CAD的度數(shù)，從而可以得到∠CAB的度數(shù)，然后即可得到∠B的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得到a、c的值．【解析】解：∵∠C=90°，b=8，∠CAB的平分線AD，∴cos∠CAD，∴∠CAD=30°，∴∠CAB=60°，∴∠B=30°，∴c=2b=16，a8，即∠B=30°，a=8，c=16．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答．4．如圖，四邊形是平行四邊形，聯(lián)結(jié)，．（1）求的度數(shù)．（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）過點(diǎn)A作，由余弦的定義解得，，再由勾股定理解得，最后根據(jù)正切定義解題即可；（2）過點(diǎn)作，由等積法解得，中，利用勾股定理解得，最后由正弦定義解題即可．【解析】解：（1）過點(diǎn)A作，中；（2）過點(diǎn)作，如圖，四邊形是平行四邊形，中，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，已知AB=20，；求：（1）求線段AE的長；（2）求cos∠DAE的值．【答案】（1）12.5；（2）【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)直角三角形的面積，可得，再由銳角三角函數(shù)，即可求解．【解析】解：（1），，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，；（2），，∴，∵，，AB=20，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．已知在中，，，為邊上的中線．（1）求的長；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)即可求出AB，故可得到AC的長；（2）過點(diǎn)F作FG⊥BD，利用中位線的性質(zhì)得到FG，CG，再根據(jù)正切的定義即可求解．【解析】（1）∵，∴∴AB=10∴=；（2）過點(diǎn)F作FG⊥BD，∵為邊上的中線．∴F是AD中點(diǎn)∵FG⊥BD，∴∴FG是△ACD的中位線∴FG=3CG=∴在Rt△BFG中，=．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)的定義．7．如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．(1)求CE的長；(2)求∠ADE的余弦．【答案】(1)(2)的余弦為【分析】（1）利用正切函數(shù)求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；（2）取CD的中點(diǎn)F，利用梯形中位線定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函數(shù)的定義即可求解．（1）解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，∴=，即=，∴DE=4，由勾股定理得CE=；（2）解：取CD的中點(diǎn)F，連接EF，∵E是AB的中點(diǎn)，∴EF是梯形ABCD的中位線，∴AD//EF，∴∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，，，，由勾股定理得，∴，∴，即的余弦為．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線，解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB＞∠B，CD是斜邊AB上的中線，過點(diǎn)A作∠CAE=∠B，交BC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)H，且AH=2CH．(1)求sinB的值；(2)當(dāng)CD=時，求BE的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）證明⊥，進(jìn)而根據(jù)AH=2CH，∠CAE=∠B即可求得sinB的值；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得AB=，解Rt△ABC可得BC=4，解Rt△ACE可得CE=1，根據(jù)BE=即可求得的長．（1）∵，CD是上的中線，∴．∴．∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠DCB∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠ACD+∠CAE=90°，即⊥∵AH=2CH，設(shè)，則，∴sin∠CAE=∴sinB=（2）∵，CD是上的中線，CD=，∴AB=在Rt△ABC中，∵sinB=∴AC=2∴BC=4在Rt△ACH中，∵tan∠CAE=，∴CE=1∴BE=3【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解直角三角形，第一問中證明⊥是解題的關(guān)鍵．9．已知中，，，，，點(diǎn)是的重心，延長線交于點(diǎn)．（1）求的長；（2）求證：．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）在Rt△ABD中利用正切的定義得到AD＝2BD，然后利用勾股定理計算出BD＝1，則AD＝2，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD＝AD＝2，從而得到BC的長；（2）利用三角形重心的性質(zhì)得到AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，則計算出DE的長，則，于是可判斷△EDG∽△EBA，所以∠EDG＝∠B，然后根據(jù)平行線的判定得到結(jié)論．【解析】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∵tanB＝＝2，∴AD＝2BD，∵BD2＋AD2＝AB2，∴BD2＋4BD2＝（）2，解得BD＝1，∴AD＝2，在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝2，∴BC＝BD＋CD＝1＋2＝3；（2）解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，∴DE＝BE?BD＝?1＝，∵，，∴，而∠DEG＝∠BEA，∴△EDG∽△EBA，∴∠EDG＝∠B，∴DG∥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了解直角三角形和平行線的判定．10．如圖，梯形ABCD是某水庫大壩的橫斷面，其壩頂寬5米，壩底寬33米，壩的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，求：水壩橫截面的面積．【答案】水壩橫截面的面積為152平方米【分析】根據(jù)壩的迎水坡度是i1=1:2，背水坡的坡度i2=2:3，壩頂寬5米，壩底寬33米，設(shè)AE=DF=2x米，則BE=4x米，CF=3x米，可得方程，可以求得AE=8米，根據(jù)梯形面積公式，即可得到水壩橫截面的面積．【解析】∵i1=1:2,背水坡的坡度i2=2:3設(shè)AE=DF=2x米，則BE=4x米，CF=3x米∵AD=5米∴EF=5米∵BC=33米∴AE=8米∴水壩橫截面的面積為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了坡度的求解，根據(jù)坡度求得，的長是解題的關(guān)鍵．11．如圖，樓頂上有一個廣告牌AB，從與樓BC相距12米的D處測得廣告牌頂部A的仰角為37°，測得廣告牌底部B的仰角為30°，求廣告牌AB的高度．（結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】廣告牌的高度為米【分析】利用CD及正切函數(shù)的定義求得BC，AC長，把這兩條線段相減即為AB長．【解析】解：根據(jù)題意，可知，，米，．在中，，得米．在中，，得米．∴．答：廣告牌的高度為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．如圖，在距某輸電鐵塔GH（GH垂直地面）的底部點(diǎn)H左側(cè)水平距離60米的點(diǎn)B處有一個山坡，山坡AB的坡度i＝1：，山坡坡底點(diǎn)B到坡頂A的距離AB等于40米，在坡頂A處測得鐵塔頂點(diǎn)G的仰角為30°（鐵塔GH與山坡AB在同一平面內(nèi)）．(1)求山坡的高度；(2)求鐵塔的高度GH．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)山坡的高度為20米(2)鐵塔的高度GH為米．【分析】（1）過點(diǎn)A作AD垂直HB于D，由坡度的定義計算出BD與AD的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出AD；（2）作AEBH交GH于點(diǎn)E，根據(jù)題意得到四邊形ADHE是平行四邊形，解直角三角形即可得到結(jié)論．（1）如圖，過點(diǎn)A作AD垂直HB，交HB的延長線于點(diǎn)D，即∠ADB＝90°，由題意得：i＝1：，AB＝60（米），∴，即；又∵AB2＝AD2+BD2，即，∴AD＝20（米），答：山坡的高度為20米；（2）作AEBH交GH于點(diǎn)E，∵AD⊥BH，GH⊥BH，∴AD∥GH，即：四邊形ADHE是平行四邊形，由題意可知：∠GAE＝30°，BH＝60（米），∵（米），∴（米），在Rt△AGE中，，∴（米），又∵EH＝AD＝20（米），∴（米），答：鐵塔的高度GH為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)、坡度的意義是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為了測量建筑物的高度，先從與建筑物的底部點(diǎn)水平相距100米的點(diǎn)處出發(fā)，沿斜坡行走至坡頂處，斜坡的坡度，坡頂?shù)降木嚯x米，在點(diǎn)處測得建筑物頂端點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)在同一平面內(nèi)，根據(jù)測量數(shù)據(jù)，請計算建筑物的高度(結(jié)果精確到1米)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】建筑物的高度為68米【分析】利用斜坡的坡度（或坡比）為，求出的長，從而得出，再利用即可求出的長．【解析】解：斜坡的坡度（或坡比）為，，米，米，米，（米，（米．答：建筑物的高度為68米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確坡度、仰角、俯角是解題的關(guān)鍵．14．某船以每小時36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時后到達(dá)點(diǎn)B，測得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁．

（1）試說明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外？（2）若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險？請說明理由．【答案】（1）BC=18>16，在暗礁區(qū)域外；（2）C到AB的距離為，小于16，繼續(xù)向東有危險【分析】（1）作CD⊥AB于D點(diǎn)，可先求出CD的長，再求出CB的長即可；（2）根據(jù)（1）中求出的CD值，進(jìn)行比較即可．【解析】解：（1）作CD⊥AB于D點(diǎn)，設(shè)BC為x海里，在Rt△BCD中∠CBD＝60°，∴BD＝x海里．CD＝x海里．在Rt△ACD中∠CAD＝30°tan∠CAD＝＝，∴＝．解得x＝18．∵18>16，∴點(diǎn)B是在暗礁區(qū)域外；（2）∵CD＝x＝9海里，∵9＜16，∴若繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險．【點(diǎn)睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題解決．15．如圖，小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試?yán)脽o人機(jī)測量他所住小區(qū)的樓房BC的高度，當(dāng)無人機(jī)在地面A點(diǎn)處時，測得小區(qū)樓房BC頂端點(diǎn)C處的仰角為30°，當(dāng)無人機(jī)垂直向上飛行到距地面60米的D點(diǎn)處時，測得小區(qū)樓房BC頂端點(diǎn)C處的俯角為45°．(1)求小區(qū)樓房BC的高度；(2)若無人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行，問：經(jīng)過多少秒后，無人機(jī)無法觀察到地面上點(diǎn)A的位置（計算結(jié)果保留根號）【答案】(1)米(2)秒【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，可得四邊形ABCE為平行四邊形，從而得到AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，然后在和中，利用銳角三角函數(shù)，可得，DE=CE，即可求解；（2）設(shè)直線DM交AC延長線于點(diǎn)F，則DF∥AB，可得∠F=∠BAC=30°，在中，可得米，再除以速度，即可求解．（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)題意得：AD⊥AB，BC⊥AB，AD=60米，∠BAC=30°，∠CDE=45°，∴AD∥BC，AB∥CE，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AB=CE，AE=BC，∠ACE=30°，在中，∠ACE=30°，∴，在中，∠CDE=45°，∴∠DCE=45°，∴∠CDE=∠DCE，∴DE=CE，∴，解得：米，即小區(qū)樓房BC的高度為米；（2）如圖，設(shè)直線DM交AC延長線于點(diǎn)F，則DF∥AB，∴∠F=∠BAC=30°，在中，米，∴秒，即經(jīng)過秒后，無人機(jī)無法觀察到地面上點(diǎn)A的位置．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，熟練掌握特殊角銳角三角函數(shù)值，并構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．將拋物線先向下平移3個單位，再向右平移個單位，所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5）．(1)求新拋物線的表達(dá)式；(2)新拋物線關(guān)于y軸對稱后的圖象解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)“將拋物線先向下平移3個單位，再向右平移個單位，”可得新拋物線的表達(dá)式為，再把點(diǎn)（1，5）代入，即可求解；（2）先求出新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-3），可得關(guān)于y軸對稱后的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-3），即可求解．(1)解：∵將拋物線先向下平移3個單位，再向右平移個單位，∴新拋物線的表達(dá)式為，∵所得新拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，5），∴，解得：或-1（舍去），∴新拋物線的表達(dá)式為；(2)解：∵新拋物線的表達(dá)式為，∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-3），∴關(guān)于y軸對稱后的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-3），∴新拋物線關(guān)于y軸對稱后的圖象解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，拋物線的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．已知一個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為(1，0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，1)．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出這個二次函數(shù)的圖象．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，將代入解析式求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式作圖即可．(1)設(shè)拋物線解析式為，將代入得：，∴；(2)二次函數(shù)圖像如下圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像以及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，掌握頂點(diǎn)式的形式是解題的關(guān)鍵．18．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（1，5）、B（﹣1，9），C（0，8）．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)如果點(diǎn)D（x1，y1）和點(diǎn)E（x2，y2）在函數(shù)圖象上，那么當(dāng)0＜x1＜x2＜1時，請直接寫出y1與y2的大小關(guān)系：y1y2．【答案】(1)y=-x2-2x+8(2)＞【分析】（1）由題意直接根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）根據(jù)題意先求得拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．(1)解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（1，5）、B（-1，9），C（0，8），∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為y=-x2-2x+8.(2)∵y=-x2-2x+8=-（x+1）2+7，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1，∴當(dāng)x＞-1時，y隨x的增大而減小，∵0＜x1＜x2＜1，∴y1＞y2．故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為，且經(jīng)過．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)將該二次函數(shù)圖像向右平移幾個單位，可使平移后所得圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得圖像與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，然后用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)出平移后的表達(dá)式為，將原點(diǎn)代入即可求出平移后的表達(dá)式，當(dāng)時，即可求出與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：將代入得：解得：∴，即；(2)解：設(shè)將該二次函數(shù)圖像向右平移個單位，∴平移后的表達(dá)式為，∵平移后所得圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴將原點(diǎn)代入得，，即，解得：(舍去)，∴，∴平移后的表達(dá)式為，當(dāng)時，即，解得：，∴平移后所得圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，∴平移后所得圖像與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系等知識點(diǎn)，牢記相關(guān)的知識點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵．20．已知拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：x…-2-1012…y…3430-5…(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線沿x軸向右平移個單位，使得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，求m的值以及新拋物線的表達(dá)式．【答案】(1)y=-（x+1）2+4；(2)m=3；y=-（x-2）2+4．【分析】（1）利用拋物線的對稱性得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a即可；（2）根據(jù)平移的規(guī)律得到y(tǒng)=-（x+1-m）2+4，把原點(diǎn)代入即可求得m的值，從而求得平移后的拋物線的不等式．（1）∵x=-2，y=3；x=0，y=3，∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）2+4，把（0，3）代入得a（0+1）2+4=3，解得a=-1，∴拋物線解析式為y=-（x+1）2+4；（2）將拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向右平移m（m＞0）個單位，得到y(tǒng)=-（x+1-m）2+4，∵經(jīng)過原點(diǎn)，∴0=-（0+1-m）2+4，解得m1=3，m2=-1（舍去），∴m=3，∴新拋物線的表達(dá)式為y=-（x-2）2+4．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．21．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a≠0)圖象的頂點(diǎn)為A(1，－4)．(1)求該二次函數(shù)關(guān)系式；(2)將該二次函數(shù)圖象向上平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)函數(shù)關(guān)系式為y=(x－1)2－4；(2)向上平移3個單位．與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)．【解析】解：(1)由題意，得解得∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=(x－1)2－4；(2)由頂點(diǎn)式可知，向上平移3個單位．與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)．22．已知拋物線y＝x2+mx+3的對稱軸為x＝﹣2．(1)求m的值；(2)如果將此拋物線向右平移n個單位后，新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6，8），求新拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（0，8）或（0，80）【分析】（1）根據(jù)對稱軸進(jìn)行求m的值即可；（2）利用（1）的結(jié)果求得該拋物線的解析式，然后根據(jù)“左加右減”的原則求得平移后的拋物線的解析式，然后代入坐標(biāo)（6，8）求解即可．(1)解：由題意得，∴；(2)解：由（1）知，m=4，∴此拋物線的表達(dá)式為y=x2+4x+3=（x+2）2-1．∵向右平移n個單位后，所得拋物線的表達(dá)式為y=（x+2-n）2-1，∵新的拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6，8），∴，∴，解得或，∴新的拋物線解析為或，∴令，解得或，∴新的拋物線與y軸的交點(diǎn)為（0，8）或（0，80）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)對稱軸公式，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．23．拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）若點(diǎn)在軸上，且的面積是9，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為：，對稱軸是直線；（2）、【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y），根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【解析】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，，解得，拋物線的解析式為：，對稱軸是直線；（2）設(shè)點(diǎn)，則，，，，，，，、．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形面積，掌握坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．24．已知二次函數(shù)．(1)用配方法把二次函數(shù)化為的形式，并指出這個函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如果將該函數(shù)圖像沿軸向下平移5個單位，所得新拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，求的面積．【答案】(1)（1）頂點(diǎn)式為，圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；(2)2【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象平移規(guī)律“上加下減”求得新拋物線的解析式，求出A、B、C坐標(biāo)即可求解．(1)解：（1）=，∴該二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為，圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）；(2)解：平移后的新拋物線的解析式為=，∴C(1，－2)，當(dāng)y=0時，由得：，，∴A（2，0），B（0，0），即AB=2，∴的面積為=2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、坐標(biāo)與圖形、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B頂點(diǎn)為C，(1)求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)D在這條拋物線的對稱軸上，當(dāng)DC=DA時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)；頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為【分析】（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入,利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線x=2，，設(shè)點(diǎn)D（2，t），根據(jù)DC=DA，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式列方程求出t的值，即可求得D的坐標(biāo)．（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入得解得，∴拋物線解析式為，∵，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）由（1）知，拋物線的對稱軸為直線x=2，設(shè)D（2，t），∵，且DC=DA∴解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．26．已知拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A（－1，0）和B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C，拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D，（1）求物線的解析式（2）求證：∠ACB＝∠ABD（3）沿著y軸所在直線上下平移拋物線，使平移后的拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為E且E在B的右側(cè)，若∠EDB＝45°，求平移后的拋物線表達(dá)式．【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）見解析；（3）y=x2-2x-143【分析】（1）直接把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式進(jìn)行求解即可；（2）先求出C、D的坐標(biāo)，從而得到∠OCB=∠OBC=45°，，，，，由勾股定理的逆定理可得∠BCD=90°，則，即可得到∠CBD=∠ACO，則∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠CBD=∠ABD；（3）過點(diǎn)A作AF∥BC交y軸于F，則∠AFO=∠OCB=∠BDE=45°，然后證明△FAC∽△DBE，得到，然后求得AO=FO=1，得到，，即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)平移后的拋物線解析式為，代入E點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．【解析】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）如圖所示，連接AC，BC，BD，CD，∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴OA=1，OB=3∵C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3），∴OC=OB=3，∵∠COB=90°，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴，∵D是拋物線的頂點(diǎn)，∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4），∴，，，∴，∴∠BCD=90°，∴，∴，∴∠CBD=∠ACO，∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠OBC+∠CBD=∠ABD；（3）如圖所示，過點(diǎn)A作AF∥BC交y軸于F，∴∠AFO=∠OCB=∠BDE=45°，∴∠ACB=∠AND=∠ACF+∠OCB=∠ACF+∠AFC，∵∠FAC=180°-∠ACF-∠AFC，∠DBE=180°-∠ABD，∴∠FAC=∠DBE，∴△FAC∽△DBE，∴，∵∠AOF=90°，∴∠AFO=∠FAO=45°，∴AO=FO=1，∴，∵，∴，∴，∵B（3，0），E在x軸上且在B點(diǎn)右側(cè)，∴E（13，0），設(shè)平移后的拋物線解析式為，∴，∴，∴平移后的拋物線解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，勾股定理的逆定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，兩點(diǎn)距離公式，三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．培優(yōu)特訓(xùn)培優(yōu)特訓(xùn)練特訓(xùn)第二階——拓展培優(yōu)練一、解答題1．（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點(diǎn)K，H是AF的中點(diǎn)，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，證出，得出比例式求出，即可得出結(jié)果；（2）由正方形的性質(zhì)求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，F(xiàn)M=2，∠AMF=90°，根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出AF，即可得出結(jié)果．（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，∴DG=CG-CD=2，，∴，∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴，∴；（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF-AB=31=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點(diǎn)，∴，在Rt△AMF中，由勾股定理得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)才能得出結(jié)果．2．（2022·廣東·東莞市光明中學(xué)一模）在四邊形中，和的平分線、交于邊上的點(diǎn)且，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，當(dāng)四邊形是矩形時，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由平分得，進(jìn)而可得，則AB∥CD,再證得，最后可證得結(jié)果；（2）先證得為等腰直角三角形，可得，從而證得為等腰直角三角形，得到≌，從而求得結(jié)果．（1）證明：平分，，，，，，，，平分，平分，，，，又，四邊形是平行四邊形；（2）解：四邊形是矩形，，，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，≌，設(shè)，，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定定理和銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·上海徐匯·九年級期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊AC上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作，射線DE交邊AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作射線DE的垂線，垂足為點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D是邊AC中點(diǎn)時，求的值；(2)求證：；(3)當(dāng)時，求．【答案】(1)；(2)見解析；(3)5：3【分析】（1）過D作DH⊥AB于H，設(shè)，，由勾股定理得，由中點(diǎn)定義和三角形的等面積法求得DH，再根據(jù)勾股定理求得AH、BH，由求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明△DEB∽△ADB、△DFB∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（3）設(shè)，，則DF=4k，根據(jù)余切定義和勾股定理可求得EB、BF、BD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AB即可求解．(1)解：過D作DH⊥AB于H，在中，，，設(shè)，，∴，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=AC=，∴，∴，在Rt△AHD中，，∴BH=AB－AH=－=，在Rt△BHD中，；(2)證明：∵∠BDE=∠A，∠DBE=∠ABD，∴△DEB∽△ADB，∴，∵∠F=∠C=90°，∠BDE=∠A，∴△DFB∽△ACB，∴，∴即；(3)解：由可設(shè)，，則DF=4k，∵，∴cot∠BDE=cot∠A=，∴，∴，又∠F=90°，∴，，∵△DEB∽△ADB，∴即，∴AB=8k，∴AE=AB－EB=5k，∴AE：EB=5k：3k=5：3．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．4．（2022·上海松江·九年級期末）如圖，已知ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是邊AB上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），DE平分∠CDB，交邊BC于點(diǎn)E，EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．(1)當(dāng)DE⊥BC時，求DE的長；(2)當(dāng)CEF與ABC相似時，求∠CDE的正切值；(3)如果BDE的面積是DEF面積的2倍，求這時AD的長．【答案】(1)(2)1或(3)【分析】（1）證明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根據(jù)＝tan∠B＝，即可求得答案；（2）分兩種情況：①當(dāng)△CEF∽△ABC時，可證得∠CDB＝90°，再根據(jù)DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函數(shù)值即可求得答案；②當(dāng)△CEF∽△BAC時，則∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函數(shù)定義即可求得答案；（3）如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面積是△DEF面積的2倍，可得出BD＝2DF，進(jìn)而推出DE＝BE，設(shè)BE＝x，則DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，，根據(jù)△CDE∽CBD，得出，建立方程求解即可．(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵，∴，∴DE＝；(2)∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF與△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①當(dāng)△CEF∽△ABC時，則∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②當(dāng)△CEF∽△BAC時，則∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴，綜上所述，∠CDE的正切值為1或；(3)如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面積是△DEF面積的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，

∴DE＝BE，設(shè)BE＝x，則DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，，∴，∴，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，

∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴，即，解得：CD＝3，，∴，故這時AD的長為．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形面積，三角函數(shù)等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識，運(yùn)用分類討論思想和方程思想解決問題．5．（2022·河北·邢臺市第六中學(xué)九年級階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個題目如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO∶CO=1∶3，求AB的長．經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，如圖②，過點(diǎn)B作BDAC，交AO的延長線于點(diǎn)D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題．(1)請寫出求AB長的過程．(2)如圖③，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=75°，BO∶OD=1∶3．若AO=，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）先根據(jù)BDAC，得到∠D=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，進(jìn)而推出∠ABD=∠D，，則；（2）如圖所示，過點(diǎn)B作交AC于E，先證明△BOE∽△DOA，推出，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=30°，然后解直角三角形ABE即可．（1）解：∵BDAC，∴∠D=∠OAC=75°，△BOD∽△COA，∴∠ABD=180°-∠D-∠BAD=75°，，∴∠ABD=∠D，，∴AB=AD，，∴；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)B作交AC于E，∴，△BOE∽△DOA，∴，∴，∴，∵∠BAC=30°，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·北京市廣渠門中學(xué)九年級期中）在中，，，點(diǎn)D在線段BC上（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，將AD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接BE．(1)依題意補(bǔ)全圖1；(2)探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．(3)若，，求的長（直接寫出答案）．【答案】(1)補(bǔ)全圖見解析(2)AB＝BD+BE．證明過程見解析(3)BE的長為2或4【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)畫出圖形即可；（2）只要證明△CAD≌△BAE．推出BE＝CD，可得AB＝BC＝CD+BD＝BD+BE；、（3）如圖2中，作EH⊥CB交CB的延長線于H．設(shè)BE＝x．在Rt△EBH中，∠EBH＝60°，推出∠BEH＝30°，可得BHx，EHx，在Rt△DEH中，根據(jù)勾股定理得到，，構(gòu)建方程即可解決問題；（1）解：如圖1中，旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示．（2）結(jié)論：AB＝BD+BE．理由：∵∠C＝60°，AC＝BC，AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ACB，△ADE都是等邊三角形，∴AC＝AB＝BC，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，在△CAD和△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS），∴BE＝CD，∴AB＝BC＝CD+BD＝BD+BE．（3）如圖2中，作EH⊥CB交CB的延長線于H．設(shè)BE＝x．∵AC＝AB＝6，AB＝BD+BE，∴DB＝6﹣x，∵△CAD≌△BAE，∴∠ABE＝∠C＝60°，在Rt△EBH中，∠EBH＝60°，∴∠BEH＝30°，∴BHx，EHx，在Rt△DEH中，∵，DE＝AD＝2，DH＝6x，∴，解得x＝2或4，∴BE的長為2或4．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、特殊角的三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于常考題型．7．（2021·陜西·西安高新第一中學(xué)初中校區(qū)一模）如圖，山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，且，一場臺風(fēng)過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面已知山坡的坡角，量得樹干傾斜角，大樹被折斷部分和坡面所成的角，米．(1)求的度數(shù)；(2)求這棵大樹折斷前的高度結(jié)果保留根號【答案】(1)(2)米【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)平角的定義計算，求出；（2）過點(diǎn)A作，垂足為M，根據(jù)正弦的定義求出、根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)正弦的定義求出，結(jié)合圖形計算，得到答案．（1）解：在中，，，，；（2）過點(diǎn)A作，垂足為M，在中，，米，（米），（米），在中，，（米），（米），米，答：這棵大樹折斷前高為米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用——坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇泰州·九年級專題練習(xí)）中國建筑師以潛望鏡為靈感設(shè)計了一個在私密空間內(nèi)也能享受到窗外美景的未來公共衛(wèi)生間（如圖1）．該建筑總高BE=6.2m，剖面設(shè)計如圖2，BE⊥ED，CD⊥ED，ABCGED，點(diǎn)F為CG與BE的交點(diǎn)，F(xiàn)E=4.2m，其中HI為平面鏡，在墻面BC上也全部安裝與之貼合的鏡面，HIBC，HI=0.6m，HE=1.2m，記BC與CG的夾角為α，AB與GF之間為外界光線入射的區(qū)域．（提示：法線垂直于平面鏡，入射角等于反射角，外界射入的均為與地面平行的水平光線）(1)如圖3，當(dāng)α=60°時（其中JK為入射光線，HK為反射光線，LK為法線）：①求∠BKH的度數(shù)；②若入射光線JK經(jīng)平面鏡BC反射后，剛好到達(dá)平面鏡HI的最頂端H處成像，求該入射光線與地面的距離；(2)當(dāng)α=45°時，利用圖2分析，要在不影響觀景體驗(yàn)的同時盡可能地節(jié)約建筑成本，可以在BC邊上安裝鏡面時減少米耗材．（直接在橫線上填寫答案，參考數(shù)據(jù)：≈1.41）【答案】(1)①120°；②3.7米(2)1.62米【分析】（1）①根據(jù)題意可知法線LK垂直于平面鏡BC，可知，再借助平行線的性質(zhì)可推導(dǎo)，然后計算，根據(jù)光的反射定律可知，再由計算∠BKH的度數(shù)即可；②由①可知，，由直角三角形的性質(zhì)可知，再借助三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)，即可證明為等腰三角形，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可知，由已知條件計算，，由即可計算入射光線與地面的距離；（2）假設(shè)入射光MP經(jīng)鏡面反射正好到達(dá)I處，先證明四邊形BPIH為平行四邊形，借助平行四邊形的性質(zhì)可知，當(dāng)入射光線到達(dá)鏡面在P點(diǎn)之下時，反射后也無法到達(dá)HL，故只需要在BP處安裝鏡面，借助三角函數(shù)可求得，由即可確定減少耗材的數(shù)量．（1）解：①∵法線LK垂直于平面鏡BC，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②由①可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴N為BH中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，，∴入射光線與地面的距離為3.7米；（2）當(dāng)時，，∵，∴，假設(shè)入射光MP經(jīng)鏡面反射正好到達(dá)I處，如下圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形BPIH為平行四邊形，∴，當(dāng)入射光線到達(dá)鏡面在P點(diǎn)之下時，反射后也無法到達(dá)HL，∴只需要在BP處安裝鏡面，∵，∴，∴，即可減少1.62米耗材．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、利用三角函數(shù)解直角三角形等知識，綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是讀懂題意，結(jié)合光的反射定律分析問題．9．（2022·四川自貢·九年級專題練習(xí)）某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中，大壩頂上有一瞭望臺PC，PC正前方有兩艘漁船M，N．觀察員在瞭望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角α為31°，漁船N的俯角β為45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為E，且PE長為30米．(1)求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；(2)已知壩高24米，壩長100米，背水坡AD的坡度，為提高大壩防洪能力，請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進(jìn)行加固，壩底BA加寬后變?yōu)锽H，加固后背水坡DH的坡度，完成這項工程需填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)兩漁船M，N之間的距離約為20米(2)需要填筑的土石方為43200立方米【分析】（1）在Rt△PEN中，由等腰直角三角形的性質(zhì)解得PH的長，在Rt△PEM中，由正切定義解得ME的長，最后利用線段的和差解答；（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，利用坡度的定義解得AG，GH的長，繼而解得AH的長，最后根據(jù)三角形面積公式解答．（1）解：由題意得∠E＝90°，，，PE＝30米．在Rt△PEN中，PE＝NE＝30米，在Rt△PEM中，∴（米）．∴MN＝EM－EN≈50－30＝20（米）答：兩漁船M，N之間的距離約為20米（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，壩高DG＝24米，∵背水坡AD的坡度i＝1：0.25，∴DG：AG＝1：0.25，∴AG＝24×0.25＝6（米），∵背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，∴DG∶GH＝1∶1.75，∴GH＝24×1.75＝42（米）∴AH＝GH－GA＝42－6＝36（米）∴（平方米）∴需要填筑的土石方為432×100＝43200（立方米）答：需要填筑的土石方為43200立方米．【點(diǎn)睛】本題考查仰角的定義及坡度、正切定義等知識，是重要考點(diǎn)，要求學(xué)生能借助構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（2022·浙江浙江·一模）三折傘是我們生活中常用的一種傘，它的骨架是一個“移動副”和多個“轉(zhuǎn)動副”組成的連桿機(jī)構(gòu)，如圖1是三折傘一條骨架的結(jié)構(gòu)圖，當(dāng)“移動副”（標(biāo)號1）沿著傘柄移動時，折傘的每條骨架都可以繞“轉(zhuǎn)動副”（標(biāo)號2—9）轉(zhuǎn)動；圖2是三折傘一條骨架的示意圖，其中四邊形CDEF和四邊形DGMN都是平行四邊形，AC=BC=13cm，DE=2cm，DN=1cm．（1）若關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，則BN=_________；（2）在（1）的條件下，折傘完全撐開時，∠BAC=75°，則點(diǎn)H到傘柄AB距離是_________．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到）【答案】

23

69.8【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，得到AF=EF=11，利用平行四邊形的性質(zhì)，即可求解；（2）作出如圖的輔助線，解直角三角形求解即可．【解析】解：（1）∵四邊形CDEF是平行四邊形，∴CF=DE=2cm，∵AC=BC=13cm，∴AF=AC-CD=11(cm)，又∵關(guān)閉折傘后，點(diǎn)A、E、H三點(diǎn)重合，∴AF=EF=11(cm)，CD=EF=11(cm)，又∵DN=1cm，∴CN=CD-DN=10(cm)，∴BN=BC+CN=23(cm)；故答案為：23；（2）如圖：連接AH，過點(diǎn)F作FP⊥AE于點(diǎn)P，過點(diǎn)G作GQ⊥EH于點(diǎn)Q，過點(diǎn)C作CL⊥AB于點(diǎn)L，過點(diǎn)M作MK∥AH與過點(diǎn)H作MK的垂線于點(diǎn)K，由（1）知：AF=EF=11(cm)，則AP=EP，∵∠BAC=75°，∴∠PFA=75°，∴AP=AFsin75°11×0.97=10.67(cm)，∴AE=2AP=21.34(cm)，在Rt△ACL中，cos∠BAC=，∵∠BAC=75°，AC=13cm，∴AL13×0.26=3.38(cm)，AB=2AL=6.76(cm)，∵AB∥PF，∴∠AFP=∠BAC=75°，由題意知：GH=GE，∴∠GHE=∠GEH=15°，∵AH∥MK，∴∠HMK=∠GHE=15°，∴∠MHK=75°，又∵HK=AB=6.76(cm)，在Rt△MHK中，cos∠MHK=，∴MH26(cm)，又∵DN=1cm，四邊形DGMN是平行四邊形，∴DN=GM=1cm，∴GH=MH-MG=25(cm)，又∵∠QGH=∠MHK=75°，在Rt△QGH中，sin∠QGH=，

∴QH24.25(cm)，EH=2QH=48.5(cm)，∴AH=AE+EH=21.34+48.569.8(cm)，

∴點(diǎn)H到傘柄AB距離是69.8cm．故答案為：69.8．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的性質(zhì)，該題是一個比較常規(guī)的解直角三角形問題，建立模型是解題的關(guān)鍵．11．（2022·上海奉賢·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B頂點(diǎn)為C．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為D，如果，求平移的距離；(3)設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，將拋物線向左平移3個單位，如果點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)Q落在內(nèi)，求m的取值范圍．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)平移的距離為(3)m的取值范圍為【分析】（1）由直線解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后再代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)E，由（1）可得：，拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后可得，進(jìn)而問題可求解；（3）由（1）可知點(diǎn)，，拋物線的對稱軸為直線，則有點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)圖象的平移可進(jìn)行求解．（1）解：令x=0時，則有，即點(diǎn)，令y=0時，則有，解得：，即點(diǎn)，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意可得如下圖象：過點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)E，由（1）可得：，拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴，∴平移距離；（3）解：由（1）可知點(diǎn)，，拋物線的對稱軸為直線，∴點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵將拋物線向左平移3個單位，且點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)Q落在內(nèi)，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·上海金山·二模）已知：在直角坐標(biāo)系中直線與軸、軸相交于點(diǎn)、，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如果直線與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)，求的長；(3)是線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線，與軸相交于點(diǎn)，把沿直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，如果點(diǎn)在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)是坐標(biāo)是【分析】（1）先根據(jù)直線求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出拋物線的對稱軸為直線x=1，代入y=-x+4，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明四邊形為正方形，得點(diǎn)坐標(biāo)是，從而可得方程，求解方程即可得到答案．（1）直線與軸、軸相交于點(diǎn)、，當(dāng)y=0，則-x+4=0，解得，x=4，當(dāng)x=0，則y=4，∴、.，代入得，，解得，，，∴拋物線的解析式為.（2）∵∴拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)x=1時，∴，∴.（3）如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，，∴，∵，∴，∴，又，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∴點(diǎn)是坐標(biāo)是，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴點(diǎn)是坐標(biāo)是【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的判定和正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中某些特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．13．（2022·上海靜安·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B在x軸上，（如圖所示），二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)O、A、B三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．(1)求點(diǎn)B與點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求二次函數(shù)圖像的對稱軸與線段AB的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平移后，點(diǎn)A落在原二次函數(shù)圖像的對稱軸上，點(diǎn)D落在線段AB上，求圖像平移后得到的二次函數(shù)解析式．【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）(2)（，）(3)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為，先根據(jù)OB=AB，利用勾股定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）先求出直線AB的解析式，再根據(jù)（1）所求得到拋物線對稱軸，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）只需要求出平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得到答案．（1）解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），經(jīng)過A、B、O三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為，∵OB=AB，∴，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；（2）解：設(shè)直線AB的解析式為，∴，∴，∴直線AB的解析式為，∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，當(dāng)時，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；（3）解：∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平移后，點(diǎn)A落在原二次函數(shù)圖像的對稱軸上，∴點(diǎn)A向右平移了個單位長度；∴平移后拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，∴平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），∴平移后的拋物線解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14．（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、、都不重合）．(1)求拋物線解析式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)設(shè)直線PB與直線AC相交于點(diǎn)M，且存在這樣的點(diǎn)P，使得，試確定點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可得；（2）求出時，的值即可得；（3）過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)，則，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，解方程即可得．（1）解：將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為．（2）解：當(dāng)時，，解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：如圖，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，對于二次函數(shù)，當(dāng)時，，即，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入得：，即，，，，，即，即或，解得或，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的幾何應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法和相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2022·上?！ぞ拍昙墕卧獪y試）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B．點(diǎn)在拋物線上，直線BC交x軸于點(diǎn)E．(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)連接AB，求∠B的余切值；(3)點(diǎn)G為線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作CB的垂線交x軸于點(diǎn)M（位于點(diǎn)E右側(cè)），當(dāng)△CGM與△ABE相似時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)；E（2，0）(2)3(3)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）或（7，0）【分析】（1）由對稱軸可求得a的值，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得c的值，則可求得拋物線表達(dá)式，則可求得B、C的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得AB、AC和BC的長，可判定△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，利用三角形的定義可求得答案；（3）設(shè)M（x，0），當(dāng)∠GCM＝∠BAE時，可知△AMC為等腰直角三角形，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)∠CMG＝∠BAE時，可證得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性質(zhì)可求得x的值，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）∵拋物線對稱軸為x＝1，∴＝1，解得a＝，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得c＝，∴拋物線表達(dá)式為，∵∴B