人教版高數(shù)必修五第1講：正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教學(xué)重點：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定義，公式的變形應(yīng)用教學(xué)難點：公式的變形，解直角三角形的應(yīng)用邊與角之間的關(guān)系及變形，判斷三角形的形狀正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即中，若所對的邊分別為則解三角形一般地，我們把三角形的三個角及其對邊分別叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。利用正弦定理可以解決以下兩類解三角形問題：已知三角形的任意兩角與一邊，求其他邊和角，有唯一解；已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，求其他的邊和角。正弦定理的常見公式拓展：=1\*GB3①（為的外接圓半徑）=2\*GB3②（邊化角公式）=3\*GB3③(角化邊公式)=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥余弦定理=1\*GB3①定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。=2\*GB3②定義式：余弦定理的變形式和特例=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥余弦定理可以解決的兩類三角形問題已知三邊長，求三個內(nèi)角；已知兩邊長和它們的夾角，求第三邊長和其他角。類型一：已知三角形兩角及任意一邊，解三角形；已知三邊長，求夾角。例1：（2015山東濰坊一中月考）在中，已知則等于（）A.B.C.D.解析：由已知可得由得，故選C答案：C練習(xí)1：在中，若,,則()答案：B練習(xí)2：在中，已知求答案：例2：在中，若試求解析：由余弦定理的變形公式，得因為所以答案：練習(xí)3：在中，若試求答案：練習(xí)4：在中，若試求答案：規(guī)律總結(jié)：已知邊求角時，需運用正弦定理余弦定理公式及公式的變形。類型二：已知三角形兩邊及其中一角，解三角形；已知兩邊長和它們的夾角，求第三邊長和其他角。例3：(2014北京高考)在中，則=（）A.B.C.D.解析：根據(jù)得，代入數(shù)值得,故選B答案：B練習(xí)5：（2015廣東六校聯(lián)盟第三次聯(lián)考）)在中，則此三角形的最短邊的長度是__________答案：練習(xí)6：（2014廣東深圳模擬）已知分別為內(nèi)角所對的邊，且則的值_________答案：例4：設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為若則角為（）A.B.C.D.解析：由正弦定理知代入得由余弦定理知故選B答案：B練習(xí)7：在△ABC中，b＝5，c＝5eq\r(3)，A＝30°，則等于()A.5B.4答案：A練習(xí)8：在△ABC中，已知，則角A等于()答案：C類型三：判斷三角形形狀及面積例5：（2015遼寧錦州月考）在中分別為內(nèi)角所對的邊，若則的形狀為（）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上皆有可能解析：由正弦定理及已知條件得而故,整理得又因為所以即所以是直角三角形。答案：C練習(xí)9：在中，如果則的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：A練習(xí)10：在中，如果,則的形狀為()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：A例6：在中，則的面積為____解析：由正弦定理知所以,當時,當時，答案：練習(xí)11：在中，則的面積等于多少答案：例7：(2014·江西理)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，則△ABC的面積是()A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)解析：由題設(shè)條件得a2＋b2－c2＝2ab－6，由余弦定理得a2＋b2－c2＝ab，∴ab＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).選C．答案：C練習(xí)12：以4、5、6為邊長的三角形一定是________三角形．(填：銳角、直角、鈍角)答案：銳角練習(xí)13：若2、3、x為三邊組成一個銳角三角形，則x的取值范圍為________．答案：(eq\r(5)，eq\r(13))規(guī)律總結(jié)：做這塊的類型題，熟練應(yīng)用正弦定理公式變形，面積的求解時需考慮三角形本身的角度問題。1.在△ABC中，AB＝eq\r(3)，∠A＝45°，∠C＝75°，則BC等于()A．3－eq\r(3)B．eq\r(2)C．2 D．3＋eq\r(3)答案：A2.在銳角△ABC中，角A、B所對的邊長分別為a、若2asinB＝eq\r(3)b，則角A等于()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案：D3.已知△ABC外接圓半徑是2cm，∠A＝60°，則BC邊的長為__________．答案：2eq\r(3)cm4.在△ABC中，A＝30°，C＝45°，c＝eq\r(2)，則邊a＝________.答案：15．在△ABC中，B＝45°，AC＝eq\r(10)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，求邊BC的長．答案：BC＝3eq\r(2).6.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c滿足b2＝ac，且c＝2a，則cosBA.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(2),3)答案：B7.在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，則sin∠BAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(\r(5),5)答案：C__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.在中，若，，則＝________.答案：30°2.在中，若，則＝________；＝________.答案：3.在中，(1)求的值；(2)求的值．答案：4．等腰三角形的周長為8，底邊為2，則底角的余弦等于（）A.B.C.D.答案：C5．在△中，已知，則等于（）A.B.C.D.答案：C6.在△中，角的對邊分別為，已知，則（）A.B.C.D.答案：B7.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求答案：b＝eq\r(19).能力提升8.在△中，角所對的邊分別為，若,則△為()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形答案：A9.在銳角三角形中，分別是內(nèi)角的對邊，設(shè)，則的取值范圍是()A．B．C．D．答案：D10．在△中，內(nèi)角的對邊分別為若，且，則＝()A．B．C．D．答案：A11．設(shè)分別是△中所對邊的邊長，則直線與的位置關(guān)系是()A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直答案：C12．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則AC邊上的高為()A.eq\f(3\r(2),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(3,2)D.3eq\r(3)答案：B13.在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，則這個三角形是()A．不等邊三角形B．等邊三角形C．等腰三角形 D．直角三角形答案：B14.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a、c的值；(2)求sin(A－B)的值．答案：(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB得，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(7,9)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3)，∵a＝c，∴A為銳角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3).∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(7,9)－eq\f(1,3)×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(10\r(2),27).15．在△中，如果判斷三角形解的情況．答案：解法一：由題意知：∴此題無解．解法二：由正弦定理得：∴此題無解．16.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形ABCD的面積．答案：如圖，連結(jié)AC．∵B＋D＝180°，∴sinB＝sinD．S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)AB·BC·sinB＋eq\f(1,2)AD·DC·sinD＝14sinB．由余弦定理，得AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD，即40－24cosB＝32－32cosD．又cosB＝－cosD，∴56cosB＝8，cosB＝eq\f(1,7).∵0°<B<180°，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(3),7).∴S四邊形ABCD＝14sinB＝8eq\r(3).17．在△中，內(nèi)角的對邊分別為已知(1)求的值；(2)若，求△的面積．答案：(1)由，得.又(2)由，得由正弦定理，得.∴△的面積18．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面積為eq\r(3)，求a、b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面積．答案：(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，又c＝2，C＝eq\f(π,3)，∴a2＋b2－ab＝4.由已知得S△ABC＝eq\r(3)＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab，∴ab＝4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2